2021-2022學(xué)年廣東省深圳市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知全集。={123,4,5},A={2,3,4）,8={3,5},則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.Q,A={1,5}C.A8={3}D.A8={2,4,5}

【答案】B

【解析】利用集合的包含關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用集合的基本運(yùn)算可判斷BCD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】己知全集〃={123,4,5},A={2,3,4},B={3,5}.

對(duì)于A選項(xiàng)，B<zA,A選項(xiàng)錯(cuò)誤：

對(duì)于B選項(xiàng)，電4={1,5},B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，AuB={2,3,4,5},C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，AcB={3},D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:B.

2.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x3B.y=9-x2C.y=|x|D.y=—

X

【答案】c

【解析】根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可容易判斷選擇.

【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,為奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于8,j=9-x2,為偶函數(shù)，在（0,田）上單調(diào)遞減，不符合題意；

對(duì)于c,y=\x\=\'~八，既是偶函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意；

[-x,x<0

對(duì)于Q，y=」為奇函數(shù)，不符合題意；

X

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查常見(jiàn)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬簡(jiǎn)單題.

3.設(shè)〃=0.5°",^=log040.3,c=log80.4,則a,b,c的大小關(guān)系是

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【答案】c

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

【詳解】V0<a=0.5°-4<0.5°=l,

b=log(>.40.3>logo,40.4=1,

C=lOg80.4<lOg81=0，

?1.a,b,c的大小關(guān)系是cVaVb.

故選C.

【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或

式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮基函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí).，

考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來(lái)進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值0』的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其

“橋梁”作用，來(lái)比較大小.

4.利用二分法求方程log’》=3-x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】設(shè)/(x)=log3X-3+x,根據(jù)當(dāng)連續(xù)函數(shù)/(刈滿足/.(a).f(b)<0時(shí)，/(x)在區(qū)間(4向

上有零點(diǎn)，即方程log3》=3-x在區(qū)間(“涉)上有解，進(jìn)而得到答案.

【詳解】解：設(shè)/(x)=log3X-3+x,

當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(?)-/(b)<0時(shí)，f(x)在區(qū)間(a,切上有零點(diǎn)，

即方程log?X=3-X在區(qū)間㈤上有解，

又.f(2)=log32-l<0,f(3)=log,3-3+3=l>0,

故/(2)?/(3)<0,

故方程1%x=3-尤在區(qū)間(2,3)上有解，

即利用二分法求方程logsx=3-x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是(2,3).

故選：C.

5.設(shè)命題使x；+2毛+a=0(aeR),則使得。為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a>-2B.a<2C.a<\D.a<0

【答案】D

【分析】首先求出命題。為真命題的充要條件，再根據(jù)集合的包含關(guān)系得到一個(gè)充分不必要條件.

【詳解】解：設(shè)/（力=/+2工+“，則。為真命題，

0/（力在R內(nèi)零點(diǎn)，

<=>△=22-46r>0<=>tZ<l,

即命題〃為真命題的充要條件為4小，

因?yàn)椋═,0）（Y°，l]，

所以命題夕為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是a<0；

故選：D.

6.若x<3,則，9-6x+x2-|x-6|的值是（）

A.-3B.3C.-9D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)x的范圍化簡(jiǎn)根式和絕對(duì)值，由此求得表達(dá)式的值.

【詳解】依題意x<3,所以萬(wàn)一6<0/-3<0,所以

\l9—6x+x2—|x—6|=J（3-x）2_|x-6|=|3-乂-k-6]=3—x+x—6=-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根式和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

7.設(shè)lg2=a,lg3=6,則logsl2等于（）

人2a+b門(mén)a+2b-a+2b八2a+b

A.----B.------C.-----D.-----

1+。\+a1一。\-a

【答案】D

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式直接求得.

2

lg12_lg（3x2）_|g3+21g2_2a+b

【詳解】由題意得：>512=而=u=]_但2

故選：D.

8.已知二次函數(shù)/（X）=x2+bx+c,若對(duì)任意的%2￡[-1,1J,有If（x/）-f（%2）|<6,則6的取值

范圍是（）

A.[—5,5]B.[—4,4]C.[—3,3]D.[—2,2]

【答案】C

【分析】由題意得，當(dāng)打，X2@-1，1]，函數(shù)值的極差不大于6,進(jìn)而可得答案.

【詳解】:二次函數(shù)f(x)=9+云+。=卜+^)+(：_*,對(duì)稱軸x=-y,

①-gv-1即人>2時(shí)，函數(shù)/(x)在［-1,1］遞增，

f(x)min=f(-1)=1-b+c,f(x)max=f(1)=l+b+c,

故/(-I)-f(l)=-24］(1)-/(-1)|=|2/W6得203,

②時(shí)，即b<-2時(shí)，|/(1)-f(-1)|=|2切W6得-34〃<-2,

③當(dāng)-IW-gwi,即-2W6W2時(shí)，函數(shù)f(x)在［-1,-g］遞減，函數(shù)f(x)在［-?,1］遞增,

［A(1)-/(-1)1<6,且/(-1)-/<-區(qū)6,

BPI—+/?+1|<6,月.1忙-H1IW6,解得：-3W6W3,又-2W6W2,

44

故。的取值范圍是［-3,3］

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

二、多選題

9.下列命題中，正確的有()

A.函數(shù)y=y7T-GT與函數(shù)y=77二1表示同一函數(shù)

B.已知函數(shù)/(2X+1)=4X-6,若f(a)=10,貝必=9

C.若函數(shù).f(&-l)=x-3?,則”X)=X2—X—2(X...—1)

D.若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?,2］,則函數(shù)〃2x)的定義域?yàn)椋?,4］

【答案】BC

【分析】A.兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；解方程組m=：1=r=：

［4X-6=10［a=9

故B正確；求出"X)=X2—X—2(X..—1),故C正確；函數(shù)/(2x)的定義域?yàn)椋?,1］,故D錯(cuò)誤.

【詳解】解：/(x)=4TT-Gi的定義域是*1}={x|x.1},g(x)=J=的定義域是

X—1..I)

{x|x2-L0}={x|x.l或不,-1},兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù)，所以A錯(cuò)誤;

2x+l=4?x=4

函數(shù)/(2x+l)=4x-6,若/⑷=10,則?6=1。,所以“田故B正確:

若函數(shù)67）=》_34=（6一1『一（五一1）一2,則/（》）=產(chǎn)_*_2（乂.._1）,故C正確;

若函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?,2］,則函數(shù)〃2力中,Q<2x<2,所以04E,即函數(shù)〃2尤）的定義域

為［（）』，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.下列各式正確的是（）

7

90,晉I-

A.設(shè)。＞0,B.已知3。+幼=1,,則一^=近

11「

—+—f=I§3

C.若log“2=m,log3=n,則武+“=i2D.r

fllogyl°g「

39

【答案】ABC

【分析】按照指數(shù)基的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的換底公式運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.

a2a2a2,27

【詳解】對(duì)于A,7故A對(duì)

"07aya-a3\a3

93〃32".3"32J3”二不+日

=3"=6故B對(duì)

對(duì)于B'a

y

對(duì)于C,am=2,a"=3,4+"=(巧2優(yōu)=12,故C對(duì)

什子「」r+」T=T、+丁二=bg94+log35=log32+log35=log310

對(duì)于D,I。1loo1log49log,3，故D錯(cuò)

Q3

4/5」

故選：ABC

11.（多選題）已知a+〃T=3,下列結(jié)論正確的是（）

A.a2+a~2=7B./+。-3=18

CcP+a^=+\[5D.ayfaH----＜=-2V5

ayja

【答案】ABD

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.

【詳解】由a:=（。+。一/-2=3'-2=7,所以A正確；

由a'+aT=(a+a")(a2—l+a-2)=3x(7-l)=18,所以B正確;

由(層+＞產(chǎn)="+。-'+2=3+2=5,

因?yàn)殇福?，所以/+/=石，所以C錯(cuò)誤；

.3_31_1

由a\[a+―-j==a2+a2={a2+a2)(a-1+?-1)=5/5x(3-1)=2\/5,所以O(shè)正確.

ayja

故選：ABD.

12.給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是.

A.函數(shù)y=的最大值為g

B.己知函數(shù)y=log〃(2-or)(a＞0且awl)在(0,1)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,2)

C.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2'.與y=logzx的圖像關(guān)于直線丁=》對(duì)稱

D.已知定義在R上的奇函數(shù)在(-％0)內(nèi)有1010個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2021

【答案】CD

【分析】對(duì)A,利用換元法求最值；對(duì)B,利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值，注意端點(diǎn)值；對(duì)C,利

用互為反函數(shù)的圖象特點(diǎn)；對(duì)D,利用奇函數(shù)的圖象特征.

【詳解】對(duì)A,令，=-，+1,貝打的最大值為1,...y=(gj,+'，的最小值為故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,函數(shù)y=log,,(2—ar)(。＞0且。工1)在(0,1)上是減函數(shù)，.?」：＞[,、，解得l＜a42,故

[2—a2U

B錯(cuò)誤；

對(duì)C,函數(shù)y=2,與y=log^x互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故C正確，

對(duì)D,定義在R上的奇函數(shù)/(力在(-8,0)內(nèi)有1010個(gè)零點(diǎn)，\f(x)在(0,e)內(nèi)有1010個(gè)零點(diǎn),

且/⑼=0,.?.函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2x1010+1=2021,故D正確；

故選CD.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)等性質(zhì)的應(yīng)用，考查命題真假的判斷，

求解時(shí)要求對(duì)每一個(gè)命題的正確性給出證明，對(duì)錯(cuò)誤命題要能夠指出錯(cuò)誤的原因.

三、填空題

13.己知/(》)=(療-機(jī)-1)廿七止3是籍函數(shù)，且在(0,+co)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為

【答案】2

【分析】解方程/-機(jī)-1=1,再檢驗(yàn)得解.

【詳解】解：依題意，w2=\,得機(jī)=2或m=-1,

當(dāng)〃7=_”寸，/(x)=x°=l,幕函數(shù)〃x)在(。,+8)上不是減函數(shù)，所以舍去.

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，，/(x)=X3,尋函數(shù)/(X)在(O,y)上是減函數(shù).所以"7=2.

故答案為：2

14.已知函數(shù)〃x)=l-彳石為奇函數(shù)，則函數(shù)/(x)在區(qū)間2,1］上的最大值為.

【答案】|

【分析】用奇偶性的定義，求出M并判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】函數(shù)〃x)=l-號(hào)的定義域?yàn)樾那液瘮?shù)/(x)=l-券為奇函數(shù)，

/(x)+/(—x)=0,即1一4+1-不j=0,解得朋=2,

''/5+15+1

所以〃司=1一0；

又在犬目0,1］時(shí)，若X增加，則導(dǎo)致5,+1增加，從而一看增加，

所以f(x)增加，所以函數(shù)“X)在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)，

函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為/(1)=1-急=1，

故答案為：—■

15.設(shè)2"=5"=機(jī)，且，+。=2,則機(jī)=______.

ab

【答案】Vio

【分析】首先指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算.

【詳解】因?yàn)?"=5"=機(jī)＞0，所以“=log2機(jī)，t＞=log5m,

所以，+?=log,”2+log,,,5=log”10=2.所以M=］0,所以=7io.

ab

故答案為：M

【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)運(yùn)算，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

16.已知函數(shù)/(》)=腕2可，正實(shí)數(shù)機(jī)，〃滿足機(jī)且/"(〃?)=/("),若/(X)在區(qū)間上

的最大值為2,則，〃+〃=.

【答案】|

【分析】先畫(huà)出函數(shù)圖像并判斷0＜相＜1＜〃，再根據(jù)范圍和函數(shù)單調(diào)性判斷XT”?時(shí)取最大值，最

后計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：根據(jù)函數(shù)/。)=|1(唱2目的圖象

得所以()<〃/<加<1.結(jié)合函數(shù)圖象，

易知當(dāng)x=加時(shí)/(X)在［裙,〃］上取得最大值，所以/(/)=|陛2砌=2

又0<加<1,所以m=1,

2

再結(jié)合f(m)=/(〃)，可得"=2,所以機(jī)+〃=；+2=|.

故答案為：g

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖像和性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和最值的求法，是中檔題.

四、解答題

17.設(shè)全集U=R,集合A={X|24X<4},8=.X|23MNQ)

(1)求AB,(C0A)B-

(2)若集合C={x|2x+a>0},且BUC=C,求。的取值范圍.

【答案】(1)4U8={X|X22},(CM)CB={4X24}(2)(-6,+<=°)

【分析】(1)先求出B={x|x\3},由此能求出AUB和(CuA)QB.

(2)求出C={x|x>-§,由8UC=C,得BGC,由此能求出。的取值范圍.

【詳解】(1)全集U=R,集合A={x［24x<4},B={X|23X-7>(^)2J-8).CM

由23E2(；)2T得-728-2x,：.x^3,

從而3={x|x23},又CuA二{R|XV2或X24}

：.AUB={x|2?4}U{小23}={小22},

(CuA)A8={Mr24}

(2)集合C={x|2元+a>0},化簡(jiǎn)得C={x|尤>一方，

VBUC=C,：.BQC

從而-￡<3,解得a>-6.

的取值范圍是(-6,+8).

【點(diǎn)睛】本題考查并集、補(bǔ)集、交集、實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查集合的表示法以及集合的交、

并、補(bǔ)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

1_2

18.求值：(I)-(-9.6)°-卜、)，+(1.5尸；

10852

(2)log251-log45-log?3-log?4+5.

23

一9、/八I‘八3

【答案】(1)—;(2)—.

24

【分析】根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可就得結(jié)果

【詳解】(1)原式=2丫一1一幺7+3一=--1--I4-、一1/+3」

⑷(8J⑶2⑴⑴2992

1113

(2)原式=——log52x—log25+logj3—210g22+2=—^+1—2+2=^.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的指對(duì)塞及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3

19.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>o時(shí)，〃x)=x+j-4.

⑴求函數(shù)/(X)在R上的解析式;

(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)/(x)在區(qū)間(6,e)上是增函數(shù).

3,

x+——4,x>0

x

【答案】⑴/(x)="0,x=0；(2)證明見(jiàn)詳解.

3)

%+一+4,x<0

x

【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知/(0)=0,再利用x>0時(shí)的解析式，求出x<0時(shí)的解析式即可;

(2)直接利用定義法證明即可.

【詳解】(D/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故"0)=0,

當(dāng)x>0時(shí),〃x)=x+[-4,

3

所以當(dāng)xvO時(shí)，一x>0,f(-%)=一1-二-4,

3

所以f(x)==工+嚏+4,

3/

x+——4,x>0

X

因此,/(x)=-0,x=0；

3.

XH---F4,x<0

(2)任取芭>%>g,

33

xx=x

則f(i)~f(2)\+---4-(X2+------4)

xxx2

3(X-XJ

—Xj-H---------2----------

—

3

=(Xj—x2)(l-----)

—

3

:.xl—x2>0,X1%2>3，則1----->0

所以/（以一f5）>0,即〃以〉f（W），

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間（6，y）上是增函數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性的應(yīng)用以及定義法證明單調(diào)性，難度不大.利用奇偶性求解析式時(shí)，注意x=0

時(shí)的情況，不要遺漏.

20.已知函數(shù)/（同=一*2+改一1（4€尺）.

（1）若函數(shù)“X）在區(qū)間[2a-1,內(nèi)）上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

（2）若“X）在區(qū)間1,1上的最大值為求〃的值.

【答案】（1）⑵

【分析】（1）區(qū)間應(yīng)在對(duì)稱軸右端；

（2）分:4<，《21三種情況討論即可.

22222

【詳解】（1）由題知函數(shù)〃X）的對(duì)稱軸方程為x=￡,〃力在區(qū)間e）上單調(diào)遞減，

.-.[2a-l,+oo）c],+8）,則解得4N|；

（2）由（1）知函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=3，當(dāng)^4；，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間pl

上單調(diào)遞減，“X）最大值為/（g）解得”=2,與041矛盾：

當(dāng)沁<1,即1<“<2時(shí)，函數(shù)“X）在區(qū)間1,1的最大值為/圖號(hào)T=j

解得4=±百，舍去4=-百；

當(dāng)彳21,即“22時(shí)，函數(shù)〃x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，“X）最大值為〃l）=a-2=-；,

zL乙」4

7

解得。=：,與。之2矛盾。

4

綜上，a=>/3.

【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，分類討論二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查學(xué)生分類討

論的思想，是一道中檔題.

21.已知函數(shù)g（x）=十三是奇函數(shù)，"x）=k>g4（4*+l）+〃a是偶函數(shù)

（1）求加+〃的值；

⑵設(shè)Mx）=〃x）+；x,若g（x）>"k）g4（2a+l）］對(duì)任意xe［l,+巧恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】（嗚

⑵「川

【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可求得實(shí)數(shù)”的值，利用偶函數(shù)的定義可求得實(shí)數(shù)優(yōu)的值，即可求

得，〃+〃的值；

（2）分析可知函數(shù)g（x）在［l,y）上為增函數(shù)，可求得義（初加，根據(jù)已知條件得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不

等式組，由此可解得實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】（1）解：由于解了）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽,則g（-x）=-g（x）,

因?yàn)間（-加中=士；="^上產(chǎn)，所以，匕臀=一黑，

Fr

所以，4'-〃+1-〃4=（1-〃）（4'+1）=0恒成立，所以，1一〃=0,即〃=1.

由于f（X）=log4（4*+1）+皿，=log&（4-*+1）-mx,

f（x）=log4（4"+l）+皿是偶函數(shù)，

.-./（-x）=/（x）,則logq（4一,+1）-,nr=log4（4*+1）+3，

1+4"］

所以，2/nr=log4（*l卜og4（4*+l）=log4言彳=喝4*=*所以，機(jī)=-］，

因此，m+n=—.

2

r

（2）解：h（x）=f［x}+^x=log4（4+1）,/.h［log4（2?+1）］=log4（2a+2）,

因?yàn)楹瘮?shù)y=2''在［,物