數(shù)字信號處理 課件第五章濾波器設(shè)計(jì)

第五章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法5.1基本概念1.數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。

濾波器分類

經(jīng)典濾波器（一般濾波器）（本書介紹）

線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器，信號和干擾的頻帶互不重疊時采用。分類（功能）：高通、低通、帶通、帶阻；分類（結(jié)構(gòu)）：遞歸系統(tǒng)、非遞歸系統(tǒng)；分類（實(shí)現(xiàn)方法）：無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR（本章介紹）有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器FIR

現(xiàn)代濾波器

隨機(jī)信號統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)構(gòu)成的濾波器，信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等）按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：FIR濾波器IIR濾波器2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程用一個因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法間接設(shè)計(jì)法根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)相應(yīng)的過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。直接設(shè)計(jì)法

在時域或頻域直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：

為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限

：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當(dāng)時，稱為3dB通帶截止頻率4、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器5.2模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器（AF）的一般設(shè)計(jì)過程：（1）根據(jù)信號處理要求確定設(shè)計(jì)指標(biāo)（選頻）（2）選擇濾波器類型（3）計(jì)算濾波器階數(shù)（4）通過查表或計(jì)算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)（5）綜合實(shí)現(xiàn)并調(diào)試幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在時間的的延時。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。對輸出波形有要求時，則需考慮線性相位問題。一般先設(shè)計(jì)低通濾波器，通過頻率變換將低通濾波轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內(nèi)較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：較好的線性相位。圖典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述

通帶最大衰減：阻帶最小衰減：巴特沃斯幅度平方函數(shù)：1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將因式分解，得到各零極點(diǎn)對比和，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K02、Butterworth低通逼近幅度平方函數(shù)：稱為Butterworth低通濾波器的3dB截止頻率N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：

3dB不變性

通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小

過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當(dāng)（阻帶截止頻率）時，衰減為阻帶最小衰減，對于確定的阻帶衰減，N越大，阻帶截止頻率距離3dB截止頻率越近，過渡帶越窄Butterworth濾波器是一個全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：

極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)

極點(diǎn)間的角度間隔為

極點(diǎn)不落在虛軸上，保證濾波器穩(wěn)定

N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)特點(diǎn)：在點(diǎn)，的n(n<2N)階導(dǎo)數(shù)等于零，因此濾波器在點(diǎn)具有最大平坦幅度濾波器幅頻響應(yīng)隨的增大而單調(diào)下降，因?yàn)榉绕椒胶瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)小于零濾波器的特性由3dB截止頻率和階數(shù)N確定21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21回濾波器的給定指標(biāo)為：通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶最大衰減阻帶最小衰減3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N和：確定技術(shù)指標(biāo)：導(dǎo)出三階巴特沃斯模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)查表法：三階巴特沃斯模擬低通濾波器：試導(dǎo)出二階巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)解：由幅度平方函數(shù)：令，則有各極點(diǎn)滿足下式則時，所得的即為的極點(diǎn)由以上兩個極點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為代入時

，可得，所以設(shè)計(jì)一個模擬巴特沃斯低通濾波器

低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟：由，求濾波器階次N由N查表，求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)令代入歸一化系統(tǒng)函數(shù)，得實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。（去歸一）例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T=1sa）確定參數(shù)

用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化5.3切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)兩種類型：

切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調(diào)下降。

切比雪夫Ⅱ型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調(diào)下降。1.切比雪夫Ⅰ型濾波器N階切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器Ha(s)的幅度平方函數(shù)為為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)。CN()是N階切比雪夫多項(xiàng)式

圖6.1.4典型切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線

2．切比雪夫Ⅱ型逼近

切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶呈現(xiàn)單調(diào)下降特性，而且在

=0點(diǎn)具有最大平坦響應(yīng)，在阻帶呈現(xiàn)等波紋特性。其幅度平方函數(shù)為圖6.1.5典型切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線

巴特沃茲濾波器與切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)比較：巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，在靠近截止頻率處，幅度下降很多。所以為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高。切比雪夫Ⅰ型濾波器的紋波在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，在靠近截止頻率處，幅度下降很少。同樣的通帶衰減，其所需階數(shù)N較巴特沃茲濾波器要小。特點(diǎn)比較N：濾波器的階數(shù)幅度平方函數(shù)：

：截止頻率，不一定為3dB帶寬

，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大

：N階Chebyshev多項(xiàng)式

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：

通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0-N為偶數(shù)-N為奇數(shù)

通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

Chebyshev濾波器的三個參量：

：通帶截止頻率，一般預(yù)先給定

：表征通帶內(nèi)波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高為阻帶截止頻率橢圓濾波器振幅平方函數(shù)為：

RN（Ω，L）：雅可比橢圓函數(shù)

L：表示波紋性質(zhì)的參量橢圓濾波器特點(diǎn)：

幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄；階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；特點(diǎn)橢圓濾波器(a)p=1dB,s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,p=1,0.1,0.05dB,s=10,20,40dB

圖6.1.6橢圓濾波器幅頻響應(yīng)特性曲線貝塞爾低通濾波器特點(diǎn)

貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。是巴特沃茲濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器濾波器所沒有的。

貝塞爾濾波器的過渡帶較寬，在階數(shù)N相同時選擇性比巴特沃茲濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器差。貝塞爾（Bessel）濾波器設(shè)計(jì)

(a)幅頻響應(yīng)特性(b)相頻響應(yīng)特性圖6.1.7典型貝塞爾低通濾波器的頻響特性曲線模擬濾波器的比較巴特沃思濾波器幅頻特性單調(diào)下降。切比雪夫Ⅰ濾波器通帶內(nèi)等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調(diào)下降。切比雪夫Ⅱ?yàn)V波器阻帶內(nèi)等波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調(diào)下降。橢圓濾波器通帶、阻帶內(nèi)均等波紋幅頻特性，過渡帶單調(diào)下降。貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性?！镌谙嗤A數(shù)N，相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減要求下，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；兩種類型的切比雪夫?yàn)V波器的過渡帶寬度相等，介于巴特沃思濾波器和橢圓濾波器之間?！镌谙嗤笜?biāo)要求下，橢圓濾波器所需的階次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高?！锇吞匚炙己颓斜妊┓?yàn)V波器在大約四分之三的通帶上非常接近線性相位特性；橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性；貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性。上面討論了5種常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)時按照所給指標(biāo)及對濾波器階數(shù)（階數(shù)影響處理速度和實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性）和相位特性的具體要求，合理選用。巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器主要是考慮逼近幅度響應(yīng)指標(biāo)的濾波器，其中橢圓濾波器的性能價格比最高，應(yīng)用廣泛。貝塞爾濾波器主要是考慮逼近線性相位特性的濾波器使用。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)間接法設(shè)計(jì)過程確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成過渡模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求保證因果穩(wěn)定性，Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H（z）后保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|<1。

H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓上。設(shè)計(jì)模擬Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字H(z)5.4脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

基本思想使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性；從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即

方法（1）濾波器系統(tǒng)函數(shù)（單極點(diǎn)、分母階次高于分子階次部分分式）（2）模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)（3）采樣（4）Z變換下面分析脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換性能：

s平面到z平面的極點(diǎn)映射關(guān)系:，用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)時，整個s平面到z平面的映射關(guān)系為

設(shè)

則

所以

ω=T

其中，式ω=T

表明：

數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)之一。由式可知：

=0時，r=1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓；

<0時，r<1，s平面的左半平面映射為z平面的單位圓內(nèi)；

>0時，r>1，s平面的右半平面映射為z平面的單位圓外。優(yōu)點(diǎn)T—抽樣周期模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的所有極點(diǎn)位于s平面的左半平面，按照上述結(jié)論，這些極點(diǎn)全部映射到z平面單位圓內(nèi)，因此，數(shù)字濾波器H(z)也因果穩(wěn)定。上面兩式說明，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓函數(shù)。

所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T滿足采樣定理，則數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)完全模仿了模擬濾波器頻率響應(yīng)。這是脈沖響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點(diǎn)。但是，一般模擬濾波器不是帶限的，所以實(shí)際上總是存在頻譜混疊失真由上圖可見，頻譜混疊失真會使數(shù)字濾波器在ω=附近的頻率響應(yīng)偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴(yán)重時可使數(shù)字濾波器不滿足阻帶衰減指標(biāo)。所以，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器，這是脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)。為了減小頻譜混疊失真，通常采取以下措施:①選用具有銳截止特性的模擬濾波器；②提高采樣頻率Fs（Fs=1/T）。

缺點(diǎn)與模擬濾波器頻率響應(yīng)增益相比，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益增加了常數(shù)因子1/T。所以，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益會隨采樣周期T變化，特別是T很小時增益很大，容易造成數(shù)字濾波器溢出。所以，工程實(shí)際中采用以下實(shí)用公式這時

使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益與模擬濾波器頻響增益相同，符合實(shí)際應(yīng)用要求。增益補(bǔ)償脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)步驟：例：

二階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)，并對不同的采樣周期T，觀察頻譜混疊失真現(xiàn)象。解:

采用待定系數(shù)法將Ha(s)部分分式展開。Ha(s)的極點(diǎn)為因此解得

按實(shí)用公式，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為令T=1，返回

當(dāng)T分別取0.2s,0.1s和0.05s時，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如下圖所示模擬頻率（Hz）數(shù)字頻率（rad）(a)模擬濾波器頻響曲線(b)數(shù)字濾波器頻響曲線顯然，采樣周期T越大，頻譜混疊失真越嚴(yán)重，與差別越大。所以，脈沖響應(yīng)不變法不能用于將模擬高通和帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通和帶阻濾波器。解：沖激響應(yīng)不變法：用沖激響應(yīng)不變法將以下變換為抽樣周期為T。，將部分分式分解：經(jīng)沖激響應(yīng)不變法變換后得：例

用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下:解:

根據(jù)間接設(shè)計(jì)法的基本步驟求解。（1）將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為T，得到（2）設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃思濾波器。得到

取T=1s時取整數(shù)N=4小結(jié):

1)脈沖響應(yīng)不變法的一個重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關(guān)系。因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。

2)在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實(shí)現(xiàn)時域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。時域逼近良好。

3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。

4)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，即頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中，此時可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率的頻帶，再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時才采用。

5.5用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

上節(jié)介紹的脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是存在頻譜混疊失真。如果時，，則數(shù)字濾波器產(chǎn)生頻譜混疊失真。雙線性變換法從原理上徹底消除了頻譜混疊，所以雙線性變換法在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中得到更廣泛的應(yīng)用。1.雙線性變換法的設(shè)計(jì)思想與雙線性變換公式

克服脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法。雙線性變換法的基本設(shè)計(jì)思想脈沖響應(yīng)不變法：波形逼近，缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真雙線性變換法：算法逼近。

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)sk（k=1,2,…,N），且分母多項(xiàng)式階次高于分子多項(xiàng)式階次。則Ha(s)可以用如下部分分式表示

式中只要推導(dǎo)出將Hak(s)轉(zhuǎn)換成一階數(shù)字濾波器Hk(z)的變換公式，則該變換公式就是將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)的變換公式。

由上式容易看出，從s平面到z平面的映射關(guān)系:|z|<1，

<0（左半s平面映射成z平面單位圓內(nèi)）

|z|=1，

=0（s平面的虛軸映射成z平面單位圓）

|z|>1，

>0（右半s平面映射成z平面單位圓外）所以，雙線性變換法將因果穩(wěn)定的模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)仍因果穩(wěn)定。雙線性變換法的映射關(guān)系下面推導(dǎo)數(shù)字頻率與模擬頻率之間的映射關(guān)系由即下圖即是數(shù)字頻率ω與模擬頻率之間的映射關(guān)系映射關(guān)系式除了零頻率附近，與之間嚴(yán)重非線性

由圖看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當(dāng)Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。頻率響應(yīng)的畸變由圖看出，s平面的正（負(fù)）虛軸映射成z平面單位圓的上（下）半圓。由于s平面的整個正虛軸（

=0～∞）映射成有限寬的數(shù)字頻段（ω=0～），所以雙線性變換引起數(shù)字頻率與模擬頻率之間的嚴(yán)重非線性畸變。正是這種頻率非線性畸變，使整個模擬頻率軸映射成數(shù)字頻率的主值區(qū)[-，]，從而消除了頻譜混疊失真。這種頻率非線性畸變使數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)曲線不能模仿相應(yīng)的過渡模擬濾波器頻率響應(yīng)曲線的波形。頻率非線性畸變影響舉例

由圖中可明顯看出，由于數(shù)字頻率與模擬頻率之間的非線性映射關(guān)系，典型模擬濾波器幅頻響應(yīng)曲線經(jīng)過雙線性變換后，所得數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線有較大的失真。但是，將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的過渡模擬濾波器指標(biāo)時，只要按照非線性關(guān)系式計(jì)算模擬濾波器邊界頻率

（6.2.23）則過渡模擬濾波器再經(jīng)過雙線性變換后，所得數(shù)字濾波器的邊界頻率就一定滿足所要求的數(shù)字邊界頻率指標(biāo)，幅頻響應(yīng)特性必然滿足所給的數(shù)字域片斷常數(shù)幅頻響應(yīng)特性指標(biāo)。稱式（6.2.23）為“預(yù)畸變校正”。預(yù)畸變校正雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的步驟1）確定數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率通帶衰減阻帶邊界頻率阻帶衰減2）將數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)：不變邊界頻率非線性頻率預(yù)畸校正：3）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器；4）轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器：第2步中，如果給出的是模擬域轉(zhuǎn)折頻率f和采樣頻率，頻率預(yù)畸變：例用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)要求解:

根據(jù)上述用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟求解。（1）確定數(shù)字濾波器指標(biāo):

（2）非線性預(yù)畸變校正，將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的過渡模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期T=2s，由式得到

（3）設(shè)計(jì)相應(yīng)的過渡模擬濾波器Ha(s)。選擇巴特沃思濾波器。

（4）用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，即5.6.3模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器由表5-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為（5-57）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωh、Ωl分別為實(shí)際帶通濾波器的通帶上、下截止頻率。根據(jù)雙線性變換，模擬帶通與數(shù)字帶通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為（5-58）把變換式（5-57）和變換式（5-58）結(jié)合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字帶通濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式經(jīng)推導(dǎo)后得式中（5-60）（5-61）根據(jù)雙線性變換，模擬帶通頻率與數(shù)字帶通頻率之間的關(guān)系仍為（5-62）模擬帶通到數(shù)字帶通是通帶中心頻率相對應(yīng)的映射關(guān)系，則有（5-67）應(yīng)用一些標(biāo)準(zhǔn)三角恒等式可得:（5-68）（5-69）所以，在設(shè)計(jì)時，要給定中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率，利用式（5-68）和式（5-69）來確定D和E兩常數(shù)；然后，利用式（5-59）的變換，把模擬低通系統(tǒng)函數(shù)一步變成數(shù)字帶通系統(tǒng)函數(shù)（5-70）式中，Ha(s)為模擬低通原型傳遞函數(shù)。

可以看出，數(shù)字帶通濾波器的極點(diǎn)數(shù)（或階數(shù)）將是模擬低通濾波器極點(diǎn)數(shù)的兩倍。

下面來討論模擬低通濾波器與數(shù)字帶通濾波器頻率之間的關(guān)系。令s=jΩ，z=ejω代入式（5-59），經(jīng)推導(dǎo)后可得（5-71）其變換關(guān)系曲線如圖5-21所示。其映射關(guān)系為：Ω=0→ω=ω0Ω=∞→ω=πΩ=-∞→ω=0也就是說，低通濾波器的通帶（Ω=0附近）映射到帶通濾波器的通帶（ω=ω0附近），低通的阻帶（Ω=±∞）映射到帶通的阻帶（ω=0,π）。圖5-21從模擬低通變換到數(shù)字帶通時頻率間關(guān)系曲線圖5-22模擬低通變換到數(shù)字帶通

例5-8

采樣頻率為fs=100kHz,T=10μs，要求設(shè)計(jì)一個三階巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，其上、下邊帶的3dB截止頻率分別為f2=37.5kHz，f1=12.5kHz。

解首先求出所需數(shù)字濾波器在數(shù)字域的各個臨界頻率。通帶的上、下邊界截止頻率為:ω1=2πf1T=2π×12.5×103×10×10-6=0.25πω2=2πf2T=2π×37.5×103×10×10-6=0.75π代入式（5-66）求模擬低通的截止頻率由式（5-68）求得D為由式（5-69）可求得E為再代入變換公式（5-59）得由N=3，查表5-1可得三階巴特沃思濾波器的歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)為3dB截止頻率為Ωc=4/T的三階巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為圖5-23巴特沃思帶通濾波器

從上面設(shè)計(jì)過程中可以看出，如果在求D參數(shù)時，假定Ωc=1，即采用歸一化低通原型，則由歸一化低通原型模擬濾波器變換得到的數(shù)字帶通濾波器，將與上面得到的結(jié)果一致。這是因?yàn)樵趕/Ωs中的Ωc和D中的Ωc互相抵消，所以只需用Ωc=1的