高二數(shù)學72《等差數(shù)列前n項和》教案 1滬教版

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●課題

等差數(shù)列的前n項和（一）●教學目標

（一）教學知識點

等差數(shù)列前n項和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)?na1?d.22（二）能力訓練要求

1.把握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.

2.會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關(guān)的問題.（三）德育滲透目標1.提高學生的推理能力.2.加強學生的應(yīng)用意識.●教學重點

等差數(shù)列前n項和公式的推導、理解及應(yīng)用.●教學難點

靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題.●教學方法啟發(fā)引導法

結(jié)合所學知識，引導學生在解決實際問題的過程中發(fā)現(xiàn)新知識，從而理解并把握.●教具準備

投影片一張：記作例:如圖（課本），一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆?

●教學過程Ⅰ.復(fù)習回想

［師］經(jīng)過前面的學習，我們知道，在等差數(shù)列中：（1）an－an－1=d（n≥1），d為常數(shù).（2）若a，A，b為等差數(shù)列，則A=

a?b.2（3）若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均為正整數(shù)）Ⅱ.講授新課

［師］隨著學習數(shù)列的深入，我們經(jīng)常會遇到這樣的問題.（打出投影片）

這是一堆放鉛筆的V形架，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，而且可以用一個式子來表示這種關(guān)系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么，這個V形架上共放著多少支鉛筆呢？這個問題又該如何解決呢？經(jīng)過分析，我們不難看出，這是一個等差數(shù)求和問題？

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首先，我們來看這樣一個問題：1+2+3+…+100=？

對于這個問題，著名數(shù)學家高斯10歲時曾很快求出它的結(jié)果，你知道他是怎么算的嗎？高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101，第2項與倒數(shù)第2項的和：2+99=101，第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101，……

第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101，于是所求的和是101×

100=5050.2這個問題，它也類似于方才我們所遇到的問題，它可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n,…的前100項的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項的和.假使我們可歸納出一計算式，那么上述問題便可迎刃而解.

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，即Sn=a1+a2+…+an,①把項的次序反過來，Sn又可寫成Sn=an+an－1+…+a1②①+②?2Sn=（a1+an）+（a2+an－1）+…+（an+a1）

又∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2Sn=n（a1+an）,即：Sn=

n(a1?an)2若根據(jù)等差數(shù)列{an}的通項公式，Sn可寫為：Sn=a1+（a1+d）+…+［a1+（n－1）d］①,把項的次序反過來，Sn又可寫為：Sn=an+（an－d）+…+［an－（n－1）d②］,把①、②兩邊分別相加，得2Sn=

由此可得等差數(shù)列{an}的前n項和的公式Sn=

=n（a1+an）,即：Sn=

n(a1?an).2n(a1?an).2也就是說，等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半.

100(1?100)=5050.

2n(a1?an)n?a1?a1?(n?1)d?n(n?1)又∵an=a1+（n－1）d,∴Sn=??na1?d

222n(a1?an)n(n?1)∴Sn=或Sn=na1+d

22用這個公式來計算1+2+3+…+100=？我們有S100=

有了此公式，我們就不難解決最開始我們遇到的問題，下面我們看具體該如何解決？

（打出投影片）

［師］分析題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，且自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列，可記為{an}，其中a1=1,a120=120,n=120.

［生］解：設(shè)自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120.

則：S120=

120(1?120)=7260

2答案：這個V形架上共放著7260支鉛筆.下面我們再來看一例題：

等差數(shù)列－10,－6,－2,2，…前多少項的和是54?

分析：先根據(jù)等差數(shù)列所給出項求出此數(shù)列的首項，公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解.

解：設(shè)題中的等差數(shù)列為｛an｝，前n項為的Sn，由題意可知：a1=－10,d=（－6）－

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（－10）=4，Sn=54

由等差數(shù)列前n項求和公式可得：－10n+

n(n?1)×4=542解之得：n1=9,n2=－3（舍去）

答案：等差數(shù)列－10,－6,－2,2,…前9項的和是54.Ⅲ.課堂練習［生］練習課本

1.根據(jù)以下各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的Sn;（1）a1=5,an=95,n=10;解：由Sn=

n(a1?an)10?(5?95),得Sn==500.

22（2）a1=100,d=－2,n=50;

n(n?1)d,250?(50?1)得S50=50×100×+×（－2）=2550.

2解：由Sn=na1+

（3）a1=14.5,d=0.7,an=32

解：由an=a1+（n－1）d,得32=14.5+（n－1）×0.7,解之得n=26由Sn=na1+

n(n?1)26(26?1)d,得S26=26×14.5+×0.7=604.522評述：要熟練把握等差數(shù)列求和公式的兩種形式，以便根據(jù)題目所給條件靈活選用而求解.

2.（1）求正數(shù)數(shù)列中前n個數(shù)的和.

解：由題意可知正整數(shù)列為：1，2，3，…，n,…,∴Sn=

n(n?1)2（2）求正整數(shù)列中前n個偶數(shù)的和.

解：由題意可知正整數(shù)數(shù)列為：1，2，3，…，n,…,其中偶數(shù)可組成一新數(shù)列為：2，4，6，…2n,…，設(shè)正整數(shù)列中前n個偶數(shù)的和為Sn，則Sn=

評述：首先要理解題意，然后綜合使用公式而求解.3.等差數(shù)列5，4，3，2，…前多少項的和是－30？解：由題意可知，a1=5,d=4－5=－1.由Sn=na1+

n(2?2n)=n（n+1）.2n(n?1)n(n?1)d,得－30=5n+×（－1）,解之得：n1=15,n2=－4（舍去）22評述：利用方程思想，解決一些簡單的相關(guān)問題.

Ⅳ.課時小結(jié)

通過本節(jié)學習，要熟練把握等差數(shù)列前n項和公式:Sn=

n(a1?an)n(n?1)=na1+d及其獲22取思路.

Ⅴ.課后作業(yè)（一）課本

（二）1.預(yù)習內(nèi)容：課本

2.預(yù)習提綱：如何靈活應(yīng)用等差數(shù)列求和公式解決相關(guān)問題?

京翰