2021-2022學年山東省濟南五中九年級（下）月考數(shù)學試卷（4月份）（含解析）

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page44頁，共=sectionpages2626頁2021-2022學年山東省濟南五中九年級（下）月考數(shù)學試卷（4月份）一、選擇題（共12小題，共36分）9的平方根等于(

)A.3 B.?9 C.±9 D.±3下列幾何體中，俯視圖是三角形的是(

)A. B. C. D.某種細胞的直徑是0.00000095米，將0.00000095米用科學記數(shù)法表示為(

)A.9.5×10?7 B.9.5×10?8 C.如圖，直線l分別與直線AB、CD相交于點E、F，EG平分∠BEF交直線CD于點G，若∠1=∠BEF=68°，則∠EGF的度數(shù)為(

)

A.34° B.36° C.38° D.68°如圖圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.下列算式中，正確的是(

)A.a4?a4=2a4 B.化簡：m2m?n?nA.m+n B.m?n C.n?m D.?m?n如圖是成都某市一周內(nèi)日最高氣溫的折線統(tǒng)計圖，關于這7天的日最高氣溫的說法正確的是(

)

A.極差是8℃ B.眾數(shù)是28℃ C.中位數(shù)是24℃ D.平均數(shù)是26℃在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=x?k與y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)的圖象大致是A. B.

C. D.如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為(

)

A.(30+303)km

B.(30+103)km

C.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中點O為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點D，則圖中陰影部分的面積為(

)A.534?π2 B.53如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=?1，與x軸的一個交點在(?3,0)和(?2,0)之間，其部分圖象如圖所示，則下列結論：

①b2?4ac>0

②2a=b

③點(?72,y1)、(?32,y2)A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題（共6小題，共18分）分解因式：9m2?一個不透明的口袋里裝有若干除顏色外其他完全相同的小球，其中有2個黃球和若干個白球，將口袋中的球搖勻，從中任意摸出一個球，摸到黃球的概率是15，則白球的個數(shù)是______．一個正多邊形的每個外角都是36°，這個正多邊形的邊數(shù)是______．若代數(shù)式a+12a?1的值是1，則a=______．小王騎車從甲地到乙地，小李騎車從乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，兩人同時出發(fā)，沿同一條公路勻速前進．圖中的折線表示兩人之間的距離y(km)與小王的行駛時間x(?)之間的函數(shù)關系．則點C的坐標為______．如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=23，動點P從點A出發(fā)向終點D運動，連BP，并過點C作CH⊥BP，垂足為H.①△ABP∽△HCB；②AH的最小值為7?3；③在運動過程中，BP掃過的面積始終等于CH掃過的面積；④在運動過程中，點H的運動路徑的長為233π，其中正確的有______三、解答題（共9小題，共70分）計算：|1?3先化簡，再求值(a+2)(a?2)?a(a?5b)，其中a=2，b=?1．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AD和AB的中點，連接BE、DF.求證：BE=DF．如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C．

(1)若∠ADE=25°，求∠C的度數(shù)；

(2)若AB=AC，CE=2，求⊙O半徑的長．

鐘南山院士談到防護新型冠狀病毒肺炎時說：“我們需要重視防護，但也不必恐慌，盡量少去人員密集的場所，出門戴口罩，在室內(nèi)注意通風，勤洗手，多運動，少熬夜．”某社區(qū)為了加強社區(qū)居民對新型冠狀病毒肺炎防護知識的了解，通過微信群宣傳新型冠狀病毒肺炎的防護知識，并鼓勵社區(qū)居民在線參與作答《2020年新型冠狀病毒防治全國統(tǒng)一考試(全國卷)》試卷(滿分100分)，社區(qū)管理員隨機從有400人的某小區(qū)抽取40名人員的答卷成績，并對他們的成績(單位：分)統(tǒng)計如下：

85?80?95?100?90?95?85?65?75?85

90?90?70?90?100?80?80?90?95?75

80?60?80?95?85?100?90?85?85?80

95?75?80?90?70?80?95?75?100?90等級成績(x)頻數(shù)頻率A90<x≤100100.25B80<x≤90a______C70<x≤80120.3D60≤x≤70______b合計401根據(jù)上面提供的信息，回答下列問題：

(1)統(tǒng)計表中的a=______，b=______；

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結果，請估計該小區(qū)答題成績?yōu)椤癈級”的有多少人？

(4)該社區(qū)有2名男管理員和2名女管理員，現(xiàn)從中隨機挑選2名管理員參加“社區(qū)防控”宣傳活動，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中“1男1女”的概率．某商店欲購進A、B兩種商品，已知購進A種商品5件和B種商品4件共需300元；若購進A種商品6件和B種商品8件共需440元；

(1)求A、B兩種商品每件的進價分別為多少元？

(2)若該商店，A種商品每件的售價為48元，B種商品每件的售價為31元，且商店將購進A、B共50件的商品全部售出后，要獲得的利潤超過348元，求A種商品至少購進多少件？如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，已知點A(?6,0)、D(?7,3)，點B、C在第二象限內(nèi)．

(1)點B的坐標______；

(2)將正方形ABCD以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時刻t，使在第一象限內(nèi)點B、D兩點的對應點B'、D'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的情況下，問是否存在y軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點Q，使得以P、Q、B'、D'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點P、Q的坐標；若不存在，請說明理由．某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊ABC中，點P是邊BC上任意一點，連接AP，以AP為邊作等邊△APQ，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關系是______；

(2)變式探究：如圖2，在等腰△ABC中，AB=BC，點P是邊BC上任意一點，以AP為腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，連接CQ，判斷∠ABC和∠ACQ的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)解決問題：如圖3，在正方形ADBC中，點P是邊BC上一點，以AP為邊作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，連接CQ.若正方形APEF的邊長為5，CQ=22，求正方形ADBC的邊長．拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且B(?1,0)，C(0,3)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，點P是拋物線上位于直線AC上方的一點，BP與AC相交于點E，當PE：BE=1：2時，求點P的坐標；

(3)如圖2，點D是拋物線的頂點，將拋物線沿CD方向平移，使點D落在點D'處，且DD'=2CD，點M是平移后所得拋物線上位于D'左側的一點，MN//y軸交直線OD'于點N，連接CN.當55D'N+CN的值最小時，求MN答案和解析1.【答案】D

解：9的平方根是±3，

故選：D．

根據(jù)平方根的定義即可求出答案．

本題考查平方根，解題的關鍵是熟練運用平方根的概念，本題屬于基礎題型．

2.【答案】B

解：A、圓柱的俯視圖是圓，故本選項錯誤；

B、三棱錐的俯視圖是三角形，故本選項正確；

C、長方體的俯視圖是長方形，故本選項錯誤；

D、六棱柱的俯視圖是六邊形，故本選項錯誤；

故選：B．

根據(jù)俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案．

本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟記常見幾何體的三視圖是解題關鍵．

3.【答案】A

解：0.00000095=9.5×10?7，

故選：A．

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10?n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|<104.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關鍵．

由角平分線的定義可得∠GEB=12∠BEF=34°，由同位角相等，兩直線平行可得CD//AB，即可求解．

【解答】

解：∵EG平分∠BEF，

∴∠GEB=12∠BEF=34°，

∵∠1=∠BEF=68°，

∴CD//AB，

∴∠EGF=∠GEB=34°5.【答案】A

解：A.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B.該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．

故選：A．

根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、完全平方公式、冪的乘方與積的乘方，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．

根據(jù)整式的運算法則即可求出答案．

【解答】

解：A.原式=a8，故A錯誤．

B.原式=a3，故B錯誤．

C.原式=a2?2ab+b7.【答案】A

解：m2m?n?n2m?n

=m2?n2m?n

8.【答案】B

【解析】【解答】

解：由圖可得，

極差是：30?20=10℃，故選項A錯誤；

眾數(shù)是28℃，故選項B正確；

這組數(shù)按照從小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位數(shù)是26℃，故選項C錯誤；

平均數(shù)是：20+22+24+26+28+28+307=2537℃，故選項D錯誤．

故選：B．

【分析】9.【答案】A

【解析】【試題解析】【分析】

本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用分類討論的方法可以判斷哪個選項中圖象是正確的，本題得以解決．

【解答】

解：∵函數(shù)y=x?k與y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)

∴當k>0時，y=x?k經(jīng)過第一、三、四象限，y=kx經(jīng)過第一、三象限，故選項A符合題意，選項B不符合題意，

當k<0時，y=x?k經(jīng)過第一、二、三象限，y=kx經(jīng)過第二、四象限，故選項C

10.【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得，∠CAB=65°?20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=302km，過B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到結論．

本題考查了解直角三角形的應用——方向角問題，解題關鍵是利用特殊角的三角函數(shù)求解．

【解答】

解：根據(jù)題意得，∠CAB=65°?20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=302km，

過B作BE⊥AC于E，

∴∠AEB=∠CEB=90°，

在Rt△ABE中，∵∠EAB=45°，AB=302km，

∴AE=BE=22AB=30km，

在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°，

∴CE=33BE=103km，

∴AC=AE+CE=(30+1011.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查扇形面積的計算、銳角三角函數(shù)定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長、∠DOB的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△ABC的面積減去△AOD的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題．

【解答】

解：連接OD，作DE⊥AB于E．

∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，

∴tanA=BCAB=223=33，

∴∠A=30°，

∵OD=OA，

∴∠ADO=∠A=30°，

∴∠DOB=∠ADO+∠A=60°，

∵OD=12AB=12.【答案】C

解：(1)由函數(shù)圖象可知，拋物線與x軸有兩個不同的交點，

∴關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴△=b2?4ac>0，

∴(1)正確；

(2)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=?1，

∴?b2a=?1，

∴2a=b，

∴(2)正確；

(3)∵拋物線的對稱軸為x=?1，點(54,y3)在拋物線上，

∴點(54,y3)關于對稱軸對稱的點為(?134,y3).

∵?72<?134<?32，且拋物線對稱軸左邊圖象y值隨x的增大而增大，

∴y1<y3<y2．

∴(3)錯誤；

(4)∵當x=?3時，y=9a?3b+c<0，且b=2a，

∴9a?3×2a+c=3a+c<0，

∴6a+2c=3b+2c<0，

∴(4)正確；

(5)∵b=2a，

∴方程at2+bt+a=0中△=b2?4a?a=0，

∴拋物線y=at2+bt+a與x軸只有一個交點，

∵圖中拋物線開口向下，

∴a<0，

∴y=at2+bt+a≤0，

即at2+bt≤?a=a?b13.【答案】(3m+n)(3m?n)

解：原式=(3m)2?n2=(3m+n)(3m?n)，

故答案為：(3m+n)(3m?n)．

14.【答案】8

解：設白球有x個，

則22+x=15，

解得：x=8，

經(jīng)檢驗：x=8是原分式方程的解；

所以白球有8個．

故答案為8．

首先設白球有x個，由概率公式可得22+x=15.【答案】10

解：設所求正n邊形邊數(shù)為n，

則36°n=360°，

解得n=10．

故正多邊形的邊數(shù)是10．

多邊形的外角和等于360°，因為所給多邊形的每個外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．

本題考查根據(jù)多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理．

16.【答案】2

解：根據(jù)題意得：a+12a?1=1，

去分母得：a+1=2a?1，

解得：a=2，

經(jīng)檢驗a=2是分式方程的解，

則a=2．

故答案為：2．

根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到a的值．

17.【答案】(1.5,15)

解：由圖象可得，

小王騎車的速度為：30÷3=10(km/?)，

小李騎車的速度為：30÷1=10=20(km/?)，

∵30÷20=1.5(?)，

10×1.5=15(km)，

∴C點坐標(1.5,15)，

故答案為：(1.5,15)．

根據(jù)圖象求出小王和小李的速度，再求點C坐標即可．

本題考查了一次函數(shù)的實際應用，理解圖象各點的含義以及求出兩人各自的速度是解題的關鍵．

18.【答案】①②④

解：∵四邊形ABCD是矩形，CH⊥BP，

∴∠BAP=∠CHB=∠ABC=90°，

∴∠ABP=∠HCB=90°?∠CBH，

∴△ABP∽△HCB，

故①正確；

如圖1，取BC的中點E，連接EH，AE，

∴BC=AD=23，AB=CD=2，

∴HE=BE=CE=12BC=3，

∴AE=AB2+BE2=22+(3)2=7，

∵AH+HE≥AE，

∴AH+3≥7，

∴AH≥7?3，

∴AH的最小值是7?3，

故②正確；

如圖2，點H的運動路徑為以BC的中點E為圓心，半徑長為3的一段圓弧，

當點P與點D重合時，則BP為與矩形ABCD的對角線BD重合，

∴BP掃過的面積為S△ABD=12AB?AD=12×2×23=23，

∵∠BCD=90°，

∴tan∠CBD=CDBC=223=33，

∴∠CBD=30°，

∴∠EBH=∠EHB=30°，

∴∠BEH=180°?∠EBH?∠EHB=120°，

∴S扇形BEH=120×π×(3)2360=π，

∵CH=12BC=3，

∴BH=BC2?CH2=(23)2?(3)2=3，

∴S△BCH=12BH?CH=12×3×3=332，

∴S△ECH=12S△BCH=12×332=334，

∴CH掃過的面積為S扇形BEH+S△ECH=π+19.【答案】解：原式=33?1?33+2+1【解析】直接利用負指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．

20.【答案】解：原式=a2?4?a2+5ab=5ab?4，

當a=2【解析】原式利用平方差公式，以及單項式乘以多項式法則計算得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值．

此題考查了整式的混合運算?化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

21.【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∵E、F分別是AD和AB的中點，

∴AF=12AB，AE=12AD，

∴AF=AE，

又∵∠FAD=∠EAB，

∴△AFD≌【解析】證明△AFD≌△AEB(SAS)，即可得出BE=DF．

此題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．

22.【答案】解：(1)連接OA，

∵AC是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵AE=AE，∠ADE=25°，

∴∠AOE=2∠ADE=50°，

∴∠C=90°?∠AOE=90°?50°=40°；

(2)∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AE=AE，

∴∠AOC=2∠B，

∴∠AOC=2∠C，

∵∠OAC=90°，

∴∠AOC+∠C=90°，

∴3∠C=90°，

∴∠C=30°，

∴OA=12OC，

設⊙O的半徑為r，

∵CE=2，

∴r=12(r+2)【解析】【分析】

此題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)進行解答．

(1)連接OA，利用切線的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；

(2)利用圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)得出∠C=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．

23.【答案】解：(1)

14，0.1；

(2)如圖即為補全的條形統(tǒng)計圖；

(3)0.3×400=120(名)

答：估計該小區(qū)答題成績?yōu)椤癈級”的有120人；

(4)如圖，

根據(jù)樹狀圖可知：

所有可能的結果共有12種，

恰好選中“1男1女”的有8種，

∴恰好選中“1男1女”的概率為812=23【解析】【分析】

本題考查了列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、頻數(shù)(率)分布表、條形統(tǒng)計圖，解決本題的關鍵是準確求出概率．

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可求得a、b的值；

(2)根據(jù)(1)中表格數(shù)據(jù)即可補全條形統(tǒng)計圖；

(3)根據(jù)(1)結果，即可用樣本估總體，可得該小區(qū)答題成績?yōu)椤癈級”人數(shù)；

(4)根據(jù)樹狀圖法求即可求出恰好選中“1男1女”的概率．

【解答】

解：(1)由題意可知：

B等級的頻數(shù)a=14，

∴B等級的頻率為：14÷40=0.35，

D等級的頻數(shù)為4，

b=1?0.25?0.35?0.3=0.1．

故答案為：14、0.1；

(2)見答案；

(3)見答案；

(4)見答案．

24.【答案】解：(1)設A種進價為x元，B種進價為y元．

由題意，得5x+4y=3006x+8y=440，

解得：x=40y=25，

答：A種進價為40元，B種進價為25元．

(2)設購進A種商品a件，則購進B種商品(50?a)件．由題意，得

8a+6(50?a)>348，

解得：a>24，

答：至少購進A種商品24【解析】(1)設A種進價為x元，B種進價為y元．由購進A種商品5件和B種商品4件需300元和購進A種商品6件和B種商品8件需440元建立兩個方程，構成方程組求出其解就可以；

(2)設購進A種商品a件，則購進B種商品(50?a)件．根據(jù)獲得的利潤超過348元，建立不等式求出其解即可．

本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用及二元一次方程組的解法，列一元一次不等式解實際問題的運用及解法，在解答過程中尋找能夠反映整個題意的等量關系是解答本題的關鍵．

25.【答案】(?3,1)

解：(1)如圖，

過點B、D分別作BH⊥x軸、DG⊥x軸交于點H、G，

∵點A(?6,0)、D(?7,3)，

∴OA=6，OG=7，DG=3，

∴AG=OG?OA=1，

∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，

∴∠GDA=∠BAH，

又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，

∴△DGA≌△AHB(AAS)，

∴DG=AH=3，BH=AG=1，

∴點B坐標為(?3,1)；

(2)由(1)知，B(?3,1)，

∵D(?7,3)

∴運動t秒時，點D'(?7+2t,3)、B'(?3+2t,1)，

設反比例函數(shù)解析式為y=kx，

∵點B'，D'在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=(?7+2t)×3=(?3+2t)×1，

∴t=92，k=6，

∴反比例函數(shù)解析式為y=6x；

(3)存在，理由：

由(2)知，點D'(?7+2t,3)、B'(?3+2t,1)，t=92，

∴D'(2,3)、B'(6,1)，

由(2)知，反比例函數(shù)解析式為y=6x，

設點Q(m,6m)，點P(0,s)，

以P、Q、B'、D'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴①當PQ與B'D'是對角線時，

∴12(0+m)=12(2+6)，12(s+6m)=12(3+1)，

∴m=8，s=134，

∴Q(8,34)，P(0,134)，

②當PB'與QD'是對角線時，

∴12(0+6)=12(2+m)，12(s+1)=12(6m+3)，

∴m=4，s=72，

∴Q(4,32)，P(0,72).

③當PD'與QB'是對角線時，

∴12(0+2)=12(m+6)，126.【答案】(1)BP=CQ

(2)變式探究：∠ABC=∠ACQ，

理由如下：∵AB=BC，

∴∠BAC=180°?∠ABC2，

∵AP=PQ，

∴∠PAQ=180°?∠APQ2，

∵∠APQ=∠ABC，

∴∠BAC=∠PAQ，

∴△BAC∽△PAQ，

∴ABAC=APAQ，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，

∴∠BAP=∠CAQ，

∴△BAP∽△CAQ，

∴∠ABC=∠ACQ；

(3)解決問題：如圖3，連接AB、AQ，

∵四邊形ADBC是正方形，

∴ABAC=2，∠BAC=45°，

∵Q是正方形APEF的中心，

∴APA