圓心角定理匯總

圓心角定理匯總(弧、弦、圓心角關(guān)系定理)基本內(nèi)容：1、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。2、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，則它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。3、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，則它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。在理解時要注意：⑴前提：在同圓或等圓中；⑵條件與結(jié)論：在①兩條弧相等；②兩條弦相等；③兩個圓心角相等中，只要有一個成立，則有另外兩個成立?；靖拍罾斫猓?．在同圓或等圓中，若的長度＝的長度，則下列說法正確的個數(shù)是（）①的度數(shù)等于；②所對的圓心角等于所對的圓心角；③和是等?。虎芩鶎Φ南倚木嗟扔谒鶎Φ南倚木唷．1個B．2個C．3個D．4個2．如圖，在兩半徑不同的同心圓中，，則（）A．B．C．的度數(shù)=的度數(shù)D．的長度=的長度3．下列語句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長度相等的兩條弧是等??；（4）經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個4．已知弦AB把圓周分成1:5的兩部分，這弦AB所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為．5．在⊙O中，的度數(shù)240°，則的長是圓周的份．概念的延伸及其基本應(yīng)用：1．在同圓或等圓中，如果圓心角等于另一圓心角的2倍，則下列式子中能成立的是（）2．在同圓或等圓中，如果，則與的關(guān)系是（）A．B．C．D．3．在⊙中，圓心角，點到弦的距離為4，則⊙的直徑的長為（）A．B．C．24D．164．在⊙中，兩弦，，分別為這兩條弦的弦心距，則，的關(guān)系是（）A．B．C．D．無法確定5．已知：⊙O的半徑為4cm，弦AB所對的劣弧為圓的，則弦AB的長為cm，AB的弦心距為cm．6．如圖，在⊙O中，AB∥CD，的度數(shù)為45°，則∠COD的度數(shù)為．典型例題精析：（6題圖）例題1、如圖，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求和的度數(shù).解：連結(jié)OC。在Rt△AOB中，∠A=35°∴∠B=55°，又∵OC=OB?！唷螩OB=180°-2∠B=70°，∴的度數(shù)為70°?！螩OD=90°-∠COB=90°-70°=20°?！嗟亩葦?shù)為20°.說明：連結(jié)OC，通過求圓心角的度數(shù)求解。此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識.例題2、如圖，已知：在⊙O中，=2，試判斷∠AOB與∠COD，AB與2CD之間的關(guān)系，并說明理由.分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是解：∠AOB=2∠COD，AB<2CD，理由如下：如圖，在⊙O上取一點C’，使=.∴∠COD=∠DOC’∵=2，∴，=+=.∴AB=CC’.∠AOB=∠COC’=∠COD+∠DOC’=2∠COD又∵在△CDC’中，CD+DC’>CC’，∴CC’<2CD，即AB<2CD.說明：①證明兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個三角形中。②此題進(jìn)一步理解定理及其推論的應(yīng)用條件，在“相等”問題中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD是正確的，但由=2得出AB=2CD，是錯誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力.例題3、如圖，已知：AB是⊙O直徑，M、N分別是AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，求證：=.分析：要證弧相等，可以證弧對應(yīng)的弦相等，弧對應(yīng)的圓心角相等.證法一：連結(jié)AC、OC、OD、BD?！進(jìn)、N分別是AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB。∴AC=OC、OD=BD又∵OC=OD，∴AC=BD，∴=.證法二：連結(jié)OC、OD?！進(jìn)、N分別是AO、BO的中點，∴OM=AO，ON=BO?！逴A=OB，∴OM=ON?！逤M⊥AB，DN⊥AB，∴OC=OD。∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COA=∠DOB，∴=.證法三、如圖，分別延長CM、DN交⊙O于E、F。∵M(jìn)、N分別是AO、BO的中點，∴OM=AO，ON=BO?！逴A=OB，∴OM=ON。又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴CE=DF，∴=∵=，=，∴=.說明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力和基本的輔助線的作法.例題4、如圖，C是⊙O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CD＝CO，若的度數(shù)為40°，求的度數(shù)．分折：要求的度數(shù)，可求它所對的圓心角∠BOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果．解：連OE、OD并延長DO交⊙O于F．∵的度數(shù)為40°，∴∠AOD=40°．∵CD＝CO，∴∠ODE＝∠AOD＝40°．∵OD＝OE，∴∠E＝∠ODE＝40°．∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF=∠AOD＝40°。則∠BOE=∠EOF+∠BOF=80°+40°=120°，∴的度數(shù)為120°．說明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換以及圓中角度的靈活變換．例題5、如圖，在⊙中，直徑垂直于并交于；直徑交于，且，求的度數(shù).解連結(jié).于，且.。又.的度數(shù)是.說明：由于圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等，而我們對角是比較熟悉的，所以求弧的度數(shù)的問題往往轉(zhuǎn)化為求它所對的圓心角度數(shù)的問題.例題6、已知：如圖，、分別是⊙的弦、的中點，，求證：.分析：由弦，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，又、分別為、的中點，如連結(jié)，，則有，，，故易得結(jié)論.證明連結(jié)、。（例題6圖）為圓心，、分別為弦、的中點。.說明：有弦中點，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理來證題.例題7、如圖，已知⊙中，，、分別交、于點，，求證：是等腰三角形.（例題7圖）分析：由，應(yīng)得：，，因此，只要證明就可以證明是等腰三角形.說明：在本題中，請注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用.例題8、如圖，已知為⊙的弦，從圓上任一點引弦，作的平分線交⊙于點，連接.求證：.證明：連結(jié).∵∴.∵是的平分線。∴.∴∥.∵∴.∴∴說明：本題考查在同圓中等弧對等弦及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是連結(jié)，證.易錯點是囿于用全等三角形的辦法證明與相等而使思維受阻或證明繁雜.作業(yè)：1．已知⊙的半徑為，弦的長也為，則=_________，弦心距是_______2．在⊙中，弦所對的劣弧為圓的，圓的半徑為，則=_________3．圓的一條弦把圓分為度數(shù)的比為的兩條弧，如果圓的半徑為，則弦長為______，該弦的弦心距為__________4．如圖，直徑，垂足為，，則的度數(shù)為_______，的度數(shù)為________5．在矩形、等腰直角三角形、圓、等邊三角形四種幾何圖形中，只有一條對稱軸的幾何圖形是________6．⊙中弦是半徑的垂直平分線，則的度數(shù)為_______7．已知⊙的半徑為，的度數(shù)是，則弦的長是________8．如果一條弦將圓周分成兩段弧，它們的度數(shù)之比為，那么此弦的弦心距的長度與此弦的長度的比是________9．已知：在直徑是10的⊙O中，的度數(shù)是60°．求弦AB的弦心距．10．已知：如圖，⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，D是CO的中點，DE∥AB，求證：=2．11．如圖，⊙內(nèi)兩條相等的弦與相交于，求證：12．如圖，⊙和⊙是等圓，是兩圓心的中點，過任作一直線分別交⊙于，，交⊙于，，求證：=13．如圖，已知⊙的直徑為，的度數(shù)為，求弦的弦心距的長。例如圖，已知：在⊙O中，=2，試判斷∠AOB與∠COD，AB與2CD之間的關(guān)系，并說明理由.分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個三角形中.解：∠AOB=2∠COD，AB<2CD，理由如下：如圖，在⊙O上取一點C’，使=.∴∠COD=∠DOC’∵=2，∴，=+=.∴AB=CC’.∠AOB=∠COC’=∠COD+∠DOC’=2∠COD又∵在△CDC’中，CD+DC’>CC’，∴CC’<2CD，即AB<2CD.說明：此題進(jìn)一步理解定理及其推論的應(yīng)用條件，在“相等”問題中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD是正確的，但由=2得出AB=2CD，是錯誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力.例如圖，已知：AB是⊙O直徑，M、N分別是AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，求證：=.分析：要證弧相等，可以證弧對應(yīng)的弦相等，弧對應(yīng)的圓心角相等.證法一：連結(jié)AC、OC、OD、BD?！進(jìn)、N分別是AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB?！郃C=OC、OD=BD又∵OC=OD，∴AC=BD，∴=.證法二：連結(jié)OC、OD?！進(jìn)、N分別是AO、BO的中點，∴OM=AO，ON=BO?！逴A=OB，∴OM=ON。∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴OC=OD?！郣