研究生入學(xué)考試導(dǎo)數(shù)概念

一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)第1頁(yè)/共31頁(yè)第一頁(yè)，共32頁(yè)。2.曲線的切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率第2頁(yè)/共31頁(yè)第二頁(yè)，共32頁(yè)。兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類(lèi)似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題第3頁(yè)/共31頁(yè)第三頁(yè)，共32頁(yè)。

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量的改變量和函數(shù)值的改變量的含義：自變量由變化到時(shí)，稱在處的改變量.為自變量x

相應(yīng)的函數(shù)值的的改變量為即定義3.1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,二(§3.2)導(dǎo)數(shù)的概念若極限存在,第4頁(yè)/共31頁(yè)第四頁(yè)，共32頁(yè)。并稱此極限為函數(shù)記作:即則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或（微商）.若上述極限不存在

,在點(diǎn)不可導(dǎo).就說(shuō)函數(shù)若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).記作:第5頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè)，共32頁(yè)。運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）說(shuō)明:

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).第6頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè)，共32頁(yè)。例1.

求函數(shù)(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))（以后將證明）第7頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè)，共32頁(yè)。例如，第8頁(yè)/共31頁(yè)第八頁(yè)，共32頁(yè)。例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類(lèi)似可證得第9頁(yè)/共31頁(yè)第九頁(yè)，共32頁(yè)。例4.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即例5.

證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).

證:第10頁(yè)/共31頁(yè)第十頁(yè)，共32頁(yè)。不存在,例6.

設(shè)存在,求極限解:

原式是否可以按下面這樣做呢？第11頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè)，共32頁(yè)。原式存在,求例7

設(shè)解:

原式=例2若且存在,求第12頁(yè)/共31頁(yè)第十二頁(yè)，共32頁(yè)。解:原式=且聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式例3設(shè)在處連續(xù),且求解:第13頁(yè)/共31頁(yè)第十三頁(yè)，共32頁(yè)。第14頁(yè)/共31頁(yè)第十四頁(yè)，共32頁(yè)。試確定常數(shù)a,b

使f(x)

處處可導(dǎo),并求解得即例4設(shè)第15頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè)，共32頁(yè)。例5

設(shè)處的連續(xù)性及可導(dǎo)性.第16頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè)，共32頁(yè)。解:又所以在處連續(xù).即在處可導(dǎo).第17頁(yè)/共31頁(yè)第十七頁(yè)，共32頁(yè)。曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過(guò)上升;若曲線過(guò)下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與

x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義第18頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè)，共32頁(yè)。定理1.證:

設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系第19頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè)，共32頁(yè)。在點(diǎn)的某個(gè)右若極限則稱此極限值為在處的右

導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2.

設(shè)函數(shù)鄰域內(nèi)有定義,存在,五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)（左、右導(dǎo)數(shù)）第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè)，共32頁(yè)。在

x=0處有例如,且定理2.

函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是存在簡(jiǎn)寫(xiě)為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.

函數(shù)在點(diǎn)必右

連續(xù).(左)(左)第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè)，共32頁(yè)。若函數(shù)與都存在,顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo).在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),且第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè)，共32頁(yè)。思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè)，共32頁(yè)。2.

設(shè)存在,則3.

已知?jiǎng)t4.

若時(shí),恒有問(wèn)是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由兩邊夾準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且第24頁(yè)/共31頁(yè)第二十四頁(yè)，共32頁(yè)。5.

設(shè),問(wèn)a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0

連續(xù).第25頁(yè)/共31頁(yè)第二十五頁(yè)，共32頁(yè)。解:

因?yàn)?.

設(shè)存在,且求所以補(bǔ)充題第26頁(yè)/共31頁(yè)第二十六頁(yè)，共32頁(yè)。在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖冢瑒t有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).2.

設(shè)故第27頁(yè)/共31頁(yè)第二十七頁(yè)，共32頁(yè)。牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū)(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.第28頁(yè)/共31頁(yè)第二十八頁(yè)，共32頁(yè)。萊布尼茲(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人

,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).第29頁(yè)/共31頁(yè)第二十九頁(yè)，共32頁(yè)。內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;第30頁(yè)/共31頁(yè)第三十頁(yè)，共32頁(yè)。感謝您的觀看！第31頁(yè)/共31頁(yè)第三十一頁(yè)，共32頁(yè)。內(nèi)容總結(jié)一、引例。在M點(diǎn)處的切線。所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.。是電量增量與時(shí)間增量之