小學數(shù)學校本培訓材料

..小學數(shù)學科校本培訓培課題：學學科本訓培人參人數(shù)組師培地：學教室培過:

培時：年9月7日培課：時第一課：數(shù)學思想和數(shù)學方法的教學要求教師必需較好地重視并掌握有關的數(shù)學思想和數(shù)學方法數(shù)學思想方法是以數(shù)學為工具進行科學研究的方法縱觀數(shù)學的發(fā)展史我們看到數(shù)學總是伴隨著數(shù)學思想方法的發(fā)展而發(fā)展的坐標法思想的具體應用產生了解析幾何無限分求和思想方法導致了微積分學的誕生……數(shù)學思想方法產生數(shù)學知識而數(shù)學知識又蘊載著數(shù)學思想二者相輔相成密不可分正是數(shù)學知識與數(shù)學思方法的這種辯證統(tǒng)一性決定了我們在傳授數(shù)學知識的同時必須重視數(shù)學思想方法的教學小學數(shù)學而言數(shù)學思想方法主要在以下幾個方面進行滲透：化歸思想、數(shù)形結合思想、變換思想、組合思想。重視基本數(shù)學知識和數(shù)學技能的教學，并務必使學生掌握這些基本知識和基本技能，這是數(shù)學思想和數(shù)學方法教學的基礎和前提。前言：我們的教學實踐表明：小學數(shù)學教育的現(xiàn)代化，主要不是容的現(xiàn)代化，而是數(shù)學思想及教育手段的現(xiàn)代化，加強數(shù)學思想的教學是基礎數(shù)學教育現(xiàn)代化的關鍵。特別是對能力培養(yǎng)這一問題的探討與摸索，以及社會對數(shù)學價值的要求，使我們更進一步地認識到數(shù)學思想的重要性，因此，小學教word教育資料

..學的教學過程中，數(shù)學思想的滲透是至關重要的。第二課：下面介幾種小學數(shù)中常用思想方法（一）號思想用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學的容，這就是符號思想。符號思想是將所有的數(shù)據(jù)實例集為一體，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便于記憶，便于運用。把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之間的關系抽象概括為數(shù)學符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程，用符號來體現(xiàn)的數(shù)學語言是世界性語言，是一個人數(shù)學素養(yǎng)的綜合反映。在數(shù)學中各種量的關系，量的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＋b×c又在“有余數(shù)的除法”教學中，最后出現(xiàn)一道思考題：“六一”聯(lián)歡會上，小明按照個紅氣球、2黃氣球、個藍氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知

3道第氣球是什么顏色的嗎？解決這個問題可以用書寫簡便的字母c分別表示紅、黃、藍氣球，則按照題意可以轉化成如下符號形式：

a、……從而可以直觀地找出氣球的排列規(guī)律并推出第是藍色的。這是符號思想的具體體現(xiàn)。

24氣球word教育資料

..（二）歸思想化歸思想是數(shù)學中最普遍使用的一種思想方法，

其基本思想是：把甲問題的求解化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解一般是指不可逆向的“變換”。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等。如求組合圖形的面積時先把組合圖形割補成學過的簡單圖形，然后計算出各部分面積的和或差，均能使學生體會化歸法的本質。（三）解思想分解思想就是先把原問題分解為若干便于解決的子問題，

分解出若干便于求解的圍分解出若干便于層層推進的解題步驟，然后逐個加以解決并達到最后順利解決原問題的目的的一種思想方法。

如在五年《解決問題的策略》教學中“倒退著想”的解題策略就體現(xiàn)了這種思想。第三課（四）換思想轉換思想是一種解決數(shù)學問題的重要策略，是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，這里的變換是可逆的雙向變換。在解決數(shù)學問題時

,換word教育資料

是一種非常有用的策略。

..對問題進行轉換時,可轉換已知條件,可轉換問題的結論;換可以是等價的,可以是不等價的,轉換思想來解決數(shù)學問,換僅是第一步,二步要對轉換后的問題進行求解,三步要將轉換后問題的解答反演成問題的解答。如果采用等價關系作轉換

,直接求出解而省略反演這一步。

如計算：，直接計算比較麻煩，而分數(shù)的乘除運算比小數(shù)方便，故可將原問題轉換為：

28/10×3/4×7/1×10/7，這樣，利用約分就能很快獲得本題的解。

再如：某班上午缺席人數(shù)是出席人數(shù)的1/7下午因有1人請病假，故缺席人數(shù)是出席人數(shù)的

1/6。問此班有多少人？此題因上下午出席人數(shù)起了變化，解題遇到了困難。如將上午缺席人數(shù)轉換成是全班人數(shù)的1/71=1/8，下午缺席人數(shù)是全班人數(shù)的

1/61=1/7這樣，很快發(fā)現(xiàn)其本質關系：1/7與1/8的差是由于缺席1人造成的，故全班人數(shù)為：（人）。（五）類思想分類思想方法不是數(shù)學獨有的方法，數(shù)學的分類思想方法體現(xiàn)對數(shù)學對象的分類及其分類的標準。如自然數(shù)的分類，按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)；按因數(shù)的個數(shù)分素數(shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標準就會有不同的分類結果，從而產生新的概念。對數(shù)學對象的正確、合理的分類取決于分類標準的正確、合理性，數(shù)學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構（六）納思想word教育資料

..數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，典型地用于確定一個表達式在所有自然數(shù)圍是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。一種用于數(shù)理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式，這就是著名的結構歸納法

有（七）比思想數(shù)學上的類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學對象的性質遷移到另一類數(shù)學對象上去的思想，

它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。類比思想不僅使數(shù)學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔，從而可以激發(fā)起學生的創(chuàng)造力，正如數(shù)學家波利亞所說：“我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，

它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！比缬杉臃ń粨Q律a＋b＝b＋a學習遷移到乘法分配律的學習，又如長方形的面積公式為長寬＝a×b，通過類比，三角形的面積公式也可以理解為長（底）寬（高）（

h。類似的，圓柱體體積公式為底面積高，那么錐體的體積可以理解為底面積高3第四課：（八）設思想假設思想是一種常用的推測性的數(shù)學思考方法

.用這種思想可以解一word教育資料

..些填空題、判斷題和應用題.些題目數(shù)量關系比較隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關系抽象，無從下手

.先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后按照題中的已知條件進行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，最后找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。（九）較思想人類對一切事物的認識，都是建筑在比較的基礎上，或同中辨異，或異中求同俄國教育家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎?！毙W生學習數(shù)學知識，同樣需要通過對數(shù)學材料的比較，理解新知的本質意義，掌握知識間的聯(lián)系和區(qū)別。

在教學分數(shù)應用題中，教師要善于引導學生比較題中已知和未知數(shù)量變化前后的情況，可以幫助學生較快地找到解題的途徑。（十）限思想事物是從量變到質變，極限方法的實質正是通過量變的無限過程達到質變。教學“圓的面積和周長”中，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基上想象它們的極限狀態(tài)，

這樣不僅使學生掌握公式，還能從曲與直的矛盾轉化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。

戰(zhàn)國時代的《莊子·下》篇中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！背錆M了極限思想古代杰出的數(shù)學家徽的“割圓術”就是利用極限思想來求得圓的周長的，他首先作圓接正多邊形，當多邊形的邊數(shù)越多時，多邊形的周長就越接word教育資料

..近于圓的周長徽總結出“割之彌細所失彌少。割之又割以至于不可割，則與圓合體無所失矣。”正是用這種極限的思想，求出了π“徽率”。現(xiàn)行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透

:“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個，學生初步體會“無限”思想。在循環(huán)小數(shù)這一部分容，在教學10。333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點后面的數(shù)字是寫不完的，是無限的。在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。第五課：（十一演繹思想：演繹也是理智的活動，但是和直觀不同，它們不是理智的單純活動，必須先假定了某些真理（或定義)后，然后再憑借這些定義推出一些結論。譬如：我們知道了三角形的義和定理之后，可以推出一個三角形角的總和等于兩直角之和。所以直觀的功用是在于提供科學和哲學的最新原則。

而演繹則是應用這些原則來建立一些定理和命題。演繹并不要求像直觀所擁有的那種直接呈現(xiàn)出來的證明，它的確實性在某種程度上寧可說是記憶賦予它的它通過一系列的間接論證就能得出結論，這就像我們握著一根長鏈條的第一節(jié)就可以認識它的最后一節(jié)一樣。

這就是說直觀是發(fā)明的基本原則，演繹是導致最基本的結論。不過也有哲學家認為演繹是有缺陷的，因為由同word教育資料

..一個原則往往會演繹出不同的結論，所以應當有另一個方法來糾正它。這個糾正的方法就是經驗，即所謂的訴諸事實?？傊庇^就是找到最簡單、最無可懷疑最無須辯護的人類知識元素，即發(fā)現(xiàn)最簡單和最可靠的觀念或原理。然后對它們進行演繹推理，導出全部確實可靠的解決方案。學定理證明就是一種演繹推理

例如數(shù)（十二模型思想是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設，它是生活中實際問題轉化為數(shù)學問題模型的一種思想方法。學的眼光認識和處理周圍事物或數(shù)學問題乃數(shù)學的最高境界，

培養(yǎng)學生用數(shù)也是學生高數(shù)學素養(yǎng)所追求的目標。

數(shù)學模型方法不僅是處理純數(shù)學問題的一種經典方法，而且也是處理自然科學、社會科學、工程技術和社會生產中各種實際問題的一般數(shù)學方法。用數(shù)學法解決某些實際問題，通常先把實際問題抽象成數(shù)學模型。所謂數(shù)學模型，是指從整體上描述現(xiàn)實原型的特性、關系及規(guī)律的一種數(shù)學方程式。按廣義的解釋，從一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式各種數(shù)學方程以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)都稱之為模型。但按狹義的解釋只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結構，才叫數(shù)學模型。比如根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，列出方程進行求解。（十三對應思想:word教育資料

..對應指的是一個系統(tǒng)中的某一項在性質、作用位置上跟另一系統(tǒng)中的某一項相當。對應思想可理解為兩個集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法。在小學數(shù)學教學中滲透對應思想，助于提高學生分析問題和解決問題的能力?！皩钡乃枷胗蓙硪丫?，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數(shù)“，將兩只眼睛、一對耳環(huán)、雙胞胎對應一個抽象的數(shù)”；隨著學習的深入，我們還將“對應”擴展到對應一種形式，對應一種關系，等等。

再如：數(shù)軸上的點與實數(shù)之間的一一對應，函數(shù)與其圖象之間的對應.,“多和少”這一課中,一個茶杯蓋與每一個茶杯對應觀看到“茶杯與茶杯蓋相比，一個對一個一個也不多一個也不少”，我們就說茶杯與茶杯蓋同樣多。使學生初步接觸一一對應的思想，初步感知兩個集合的各元素之間能一一對應，它們的數(shù)量就是“同樣多”的思想在今后的學習中將會發(fā)揮越來越大的作用。

.“對應”第六課（十四集合思想:把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體就稱為一個集合，中各事物稱為該集合的元素.俗地說就是:把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合，集合思想的特征:確定性：給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素是確定的了.就是說按照明確的判斷標準給定一word教育資料

..個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可

（2）互異性：集合中的元素一定是不同的.即集合中的元素沒有重復

（3無序性：集合中的元素沒有固定的順序.根據(jù)集合所含元素個屬不同，可把集合分為如下幾類：（1把不含任何元素的集合叫做空集。

（2含有有限個元素的集合叫做有限集。（3含有無窮個元素的集合叫做無限集。

集合的表現(xiàn)形式：列舉法；框圖法；描述法。

比:被整除的數(shù)為一個集合.（十五數(shù)形結合思：就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，使問題的數(shù)量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想。其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。數(shù)形結合的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系,四年級數(shù)學下冊分數(shù)的基本性質就是借助圖形的生動和直觀來闡明分數(shù)中分子和分母相互變化的關系；

或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)嚴密性來闡明形的某些屬性。

在小學教學中，它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關系，轉化為適當?shù)膸缀螆D形，從圖開的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達到化難來易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。通常是將數(shù)量關系轉化為線段圖，這是基本的、自然的手段如一年級認數(shù)時數(shù)軸與對應點之間的關系

.對于某些題如線段圖不能清晰地顯示其數(shù)量關系，則可以通過對線段圖的分析、改造、設計、構造出word教育資料

..能清晰顯示其數(shù)量關系的幾何圖形。如六年級數(shù)學下冊

試一,:1/2+1/4+1/8+1/16,可以通過形圖形來解決.數(shù)學教學中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數(shù)學題時，數(shù)形結合，有利于學生分析題中數(shù)量之間的關系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析題和解決問題的能力。抓住數(shù)形結合思想教學，不僅能夠提高學生數(shù)形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。（十六統(tǒng)計思想在小學數(shù)學中增加統(tǒng)計與概率課程的意義在于形成合理解讀數(shù)據(jù)的能力高科學認識客觀世界的能力、展在現(xiàn)實情境中解決實際問題的能力。統(tǒng)計與概率初步知識的構成主要有如下一些基本容：第一道數(shù)據(jù)在描述、分析、預測以及解決一些日常生活中的現(xiàn)象與問題的價值；第二，學會一些簡單的數(shù)據(jù)收集、整理、分析、處理和利用的基本的能力；第三，會解讀和制作一些簡單的統(tǒng)計圖表；第四，認識一些隨機現(xiàn)象，并能運用適當?shù)姆椒▉眍A測這些隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性。（十七系統(tǒng)思想系統(tǒng)思想是由若干想到關聯(lián)、想到作用的要素（或成分）構成具有特定功能的有機整體。系統(tǒng)思想的方法便是要求人們從系統(tǒng)要素相互關系的觀點，從系統(tǒng)與要素之間、要素與要素之間，以及系統(tǒng)與外部環(huán)境之間的相互關聯(lián)和相互作用中考察對象，以得出研究和解決問題的最佳方案。word教育資料

系統(tǒng)是

..由相互聯(lián)系相互依賴相互制約和相互作用的若干事物和過程所組成的一個具有整體功能和綜合行為的統(tǒng)一體；要素是構成系統(tǒng)的基本單位，系統(tǒng)各要素之間是相互聯(lián)系，相互影響的有機整體，如果一個要素發(fā)生變化，其他要素也會相應變化。例如用題教學中的“購物問題”。物品的“單價”、“數(shù)量”和“總價”這三個要素就組成了一個系統(tǒng)。數(shù)量不變，單價提高，總價變大；單價不變，數(shù)量增加，總價變大；單價不變，總價增加，數(shù)量變多?！皢蝺r、數(shù)量、總價”這三個要素之間具有下列關系：

單價數(shù)量總價總價單價量總價數(shù)量=單價幾個概念通過聯(lián)系來整體把握，由具體到抽象，再由抽象到具體，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，更好地理解和掌握概念及其相互關系。這些要素不是孤立的、零散的，而是有聯(lián)系的，有影響的，在教學過程中要引導學生學會理解概念，找到聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，只有這樣才能更好地掌握所學知識，做到融會貫通，事半功倍。數(shù)學思想和數(shù)學方法到底有什么區(qū)別？一般來說，數(shù)學思想是人們對數(shù)學容的本質認識是對數(shù)學知識和數(shù)學方法的進一步抽象和概括，

屬于對數(shù)學規(guī)律的理性認識的疇，而數(shù)學方法則是解決數(shù)學問題的手段，具有“行為規(guī)則”的意義和一定的可操作性，同一個數(shù)學成果，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法當論及它在數(shù)學體系中的價值和意義時，則稱之為思想。要將數(shù)學思想和數(shù)學方法嚴格區(qū)分開來是困難的，

因此，人們常常對這兩者不加區(qū)分，而統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法，這樣會顯得更為方便。word教育資料

..小學數(shù)學科校本培訓培課題：學學科本訓培人培訓間：年9月日參人數(shù)組師培地：學教室培過:第一課：

培課：課時淺談小數(shù)學思想方的滲透數(shù)學教學中必須重視思想方法的教學它是數(shù)學教育教學本身的需要是以人為本的教育理念下培養(yǎng)學生素養(yǎng)為目標的需要，是提高學生解題能力的需要。小學數(shù)學教學中要求教師重視并掌握各章節(jié)中蘊含的數(shù)學思想方法重視基本知識基本技能的教學并滲透數(shù)學思想方法要引導促進學生對數(shù)學思想方法的化在循環(huán)教學中及時總結明確介紹和突出體現(xiàn)某種思想方法使學生對這一數(shù)學思想和數(shù)學方法得到強化和鞏固?！度罩屏x務教育數(shù)學課程標準》明確指出義務教育階段的數(shù)學課程應突出體現(xiàn)基礎性普及性和發(fā)展性使數(shù)學教育面向全體學生實現(xiàn)人人學有價值的數(shù)學人人都能獲得必需的數(shù)學不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展這意味著數(shù)學是人們生活、勞動、學習必不可少的工具，數(shù)學能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進word教育資料

..行計算推理和證明數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象數(shù)學為其他科學提供了語言思想和方法是一切重大技術發(fā)展的基礎數(shù)學在提高人的推理能力抽象能力想像力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用數(shù)學是人類的一種文化，它的容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分；尤其是世紀中葉以來，數(shù)學和計算機的結合，更使人們明白數(shù)學是一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。數(shù)學家喬治·利亞說過：完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路我國著名數(shù)學教育家伯駒院士曾多次強調應該在教材和教學過程中注入數(shù)學思想，發(fā)揮數(shù)學思想方法的作用，培養(yǎng)應用意識和能力?？梢?，數(shù)學思想和數(shù)學方法是數(shù)學知識應用的根基和源泉。所謂數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果是被人們反復運用和確認的帶有普遍意義和相對穩(wěn)定的特征它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質認識所謂數(shù)學方法是指處理數(shù)學問題中所采用的被人們反復運用和確認的各種手段途徑和方式數(shù)學思想和數(shù)學方法互為表里密切相關兩者都以一定的知識為基礎反過來又促進知識的深化及形成能力方法是實施思想的技術手段而思想是對應方法的精神實質和理論依據(jù)。J·S布魯納提出：掌握基本數(shù)學思想和方法，能使數(shù)學更易于理解和更易于記憶，領會基本數(shù)學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。倘若我們留意各行各業(yè)的某些專家或一般工作者當感到他們思維敏銳邏輯嚴謹說理透徹的時候往往可以追溯到他們在中小學所受的數(shù)學教育尤其是數(shù)學思想方法的熏。第二課；數(shù)學思想方法在人的能力培養(yǎng)和素質提高方面起著重要作用。數(shù)學思想和數(shù)學方法的教學要求教師必需較好地重視并掌握有關的數(shù)學思想和數(shù)學方法數(shù)學思想方法是以數(shù)學為工具進行科學研究的方法縱觀數(shù)學的發(fā)展史我們看到數(shù)學總是伴隨著數(shù)學思想方法的發(fā)展而發(fā)展的坐標法思想的word教育資料

..具體應用產生了解析幾何；無限細分求和思想方法導致了微積分學的誕生……，數(shù)學思想方法產生數(shù)學知識而數(shù)學知識又蘊載著數(shù)學思想二者相輔相成密不可分正是數(shù)學知識與數(shù)學思想方法的這種辯證統(tǒng)一性決定了我們在傳授數(shù)學知識的同時必須重視數(shù)學思想方法的教學。第三課：對小學數(shù)學而言，數(shù)學思想方法主要在以下幾個方面進行滲透：化歸思想、數(shù)形結合思想、變換思想、組合思想。（一化歸思想化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化歸結為一個數(shù)學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題。應當指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉化”、“轉換”。它具有不可逆轉的單向性。例1狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳米，黃鼠狼每次可向前跳米它們每秒種都只跳一次比賽途中從起點開始每隔米設有一個陷阱,們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多少米？這是一個實際問題，但通過分析知道,狐貍（或黃狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每次所跳距離（或）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔123／8米的整倍，也就是和123/8的“最小公倍數(shù)”（或和123/8的“最小公倍數(shù)”）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉入陷阱問題就基本解決了上面的思考過程實質上是把一個實際問題通過分析轉化歸結為一個求“最小公倍數(shù)”的問題即把一個實際問題轉化歸結為一個數(shù)學問題，這種化歸思想正是數(shù)學能力的表現(xiàn)之一。（二數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想是充分利用“形”把一定的數(shù)量關系形象地表示出來即通過作一些如線段圖樹形圖長方形面積圖或集合圖來幫助學生正確理解數(shù)量關系，使問題簡明直觀。例2一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？此題若把五次所喝的牛奶加起來，即1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32就為所求但這不是最好的解題策略我們先畫一個形并假設它的面積為單位“1，word教育資料

..由圖可知，1－1/32就為所求，這里不但向學生滲透了數(shù)形結合思想，還向學生滲透了類比的思想。（三變換思想變換思想是由一種形式轉變?yōu)榱硪环N形式的思想如解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價變換，幾何形體中的等積變換，理解數(shù)學問題中的逆向變換等等。例3求1/2＋1/6＋1/12＋1/20＋…＋1/380的和。仔細觀察這些分母不難發(fā)現(xiàn)212，20＝4×5…，再用拆分的方法，考慮和式中的一般項a[,n]＝1＋1）＝1／n－1／n＋1于是，問題轉換為如下求和形式：原式＝1＋1＋1＋1＋……＋1＝（1－1）＋（1／2－1／3）＋（1／3－1／4）＋（1／4－1／5）＋……＋（1／19－1／20）＝1－1／20＝19／20（四）組合思想。組合思想是把所研究的對象進行合理的分組，并對可能出現(xiàn)的各種情況既不重復又不遺漏地一一求解。例4在下面的乘法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求這個算式。從小愛數(shù)學

4──────學數(shù)愛小從分析：由于五位數(shù)乘以4的積還是五位數(shù)，所以被乘數(shù)的首位數(shù)字“從”只能是12，但如果“從”＝1，“學”的積的個位應是，“學”無解。所以“從”＝2。在個位上，“學”的積的個位是2，“學”＝3或8。但由于學”又是積的首位數(shù)字，必須大于或等于8所以“學”＝8。在千位上于“小”不能再向萬位進位以“小”或0小”＝0，則十位上“數(shù)”＋（進位）的個位是0，這不可能，所以“小”＝1。在十位上，“數(shù)”（進位）的個位是，推出“數(shù)”＝7。word教育資料

..在百位上，“愛”（進位）的個位還是“愛”，且百位必須向千位進3，所以“”＝9。故欲求乘法算式為21

4──────87上面這種分類求解方法既不重復，又不遺漏，體現(xiàn)了組合思想。此外，還有符號思想、對應思想、極限思想、集合思想等，在小學數(shù)學教學中都應注意有目的、有選擇、適時地進行滲透。第四課：重視基本數(shù)學知識和數(shù)學技能的教學，并務必使學生掌握這些基本知識和基本技能，這是數(shù)學思想和數(shù)學方法教學的基礎和前提。著名數(shù)學家華羅庚說過“學習數(shù)學最好到數(shù)學家的紙簍里找材料不要只看書上的結論?！边@就是說，對探索結論過程的數(shù)學思想方法學習，其重要性決不亞于結論本身。例如，教學“除數(shù)是小數(shù)的除法”時，學生往往把除數(shù)變成整數(shù)后忽視被除數(shù)小數(shù)點的位置造成計算錯誤如果僅僅認為是學生沒有掌握計算法則所致而反復強調計算法則也可以杜絕錯誤的再發(fā)生但學生只能形成機械性的操作；如果利用學生已學過的“商不變性質”，用“恒等變換”的思想予以點撥，就能使學生從本質上理解“小數(shù)除法法則”。再例如，“湊整法”、“分解法”、“拆分法”等速算方法，如果只是作為提高計算速度的技巧來教學，對于以后的學習就無多大意義。只有從“化歸”、“變換的基本數(shù)學思想出發(fā)去理解這些速算技巧才能使學生的數(shù)學認識得到深化。第五課：word教育資料

..教師引導下過問題和總結促使學生對掌握的基本知識和基本技能認識深化、化，即對蘊于其中的數(shù)學思想、數(shù)學方法有所體會、有所領悟。許多教師往產生這樣的困惑題目講得不少但學生總是停留在模仿型解題的水平上只要條件稍稍一變則不知所措學生一直不能形成較強解決問題的能力。更談不上創(chuàng)新能力的形成。究其原因就在于教師在教學中僅僅是就題論題，殊