2022上海市金匯高級中學高二數(shù)學理期末試卷含解析

2022上海市金匯高級中學高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為，M是曲線C上的動點．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，若曲線T的極坐標方程為，則點M到點T的距離的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】首先求出曲線T的直角坐標系方程，設(shè)點，求出點M到直線T的距離，利用三角函數(shù)即可求出點M到直線T的距離的最大值?！驹斀狻坑汕€T的極坐標方程為，可得曲線T的直角坐標方程為，由于點M為曲線C的一個動點，故設(shè)點，則點M到直線T的距離：所以當時，距離最大，點M到直線T的距離的最大值為；故答案選A【點睛】本題考查極坐標與參數(shù)方程的相關(guān)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題。2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.一拋物線型拱橋，當水面寬2m時，水面離拱頂3m，當水面寬4m時，水面（

）（A）下降1m

(B)上升1m

(C)上升2m

(D)上升3m參考答案：B4.設(shè)Q是曲線T：上任意一點，是曲線T在點Q處的切線，且交坐標軸于A,B兩點，則OAB的面積（O為坐標原點）A.為定值2

B.最小值為3

C.最大值為4 D.與點Q的位置有關(guān)參考答案：A5.雙曲線的焦點坐標是（）A． B． C．（±2，0） D．（0，±2）參考答案：C【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線方程，可得該雙曲線的焦點在x軸上，由平方關(guān)系算出c==2，即可得到雙曲線的焦點坐標．【解答】解：∵雙曲線方程為∴雙曲線的焦點在x軸上，且a2=3，b2=1由此可得c==2，∴該雙曲線的焦點坐標為（±2，0）故選：C6.當時，，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）

A．

B．（0，2）

C

D．參考答案：D7.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）

A

B．

C．24 D．48參考答案：C略8.設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點滿足，求得的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是A.

B.

C.

D.參考答案：A10.過點(－1,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程是()A．x－2y＋7＝0

B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0

D．2x＋y－5＝0參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（12分）某車站每天上午發(fā)出兩班客車，第一班客車在8：00，8：20，8：40這三個時刻隨機發(fā)出，且在8：00發(fā)出的概率為，8：20發(fā)出的概率為，8：40發(fā)出的概率為；第二班客車在9：00，9：20，9：40這三個時刻隨機發(fā)出，且在9：00發(fā)出的概率為，9：20發(fā)出的概率為，9：40發(fā)出的概率為．兩班客車發(fā)出時刻是相互獨立的，一位旅客預計8：10到站．求：（1）請預測旅客乘到第一班客車的概率；（2）旅客候車時間的分布列；（3）旅客候車時間的數(shù)學期望．參考答案：（1）∵在8：00發(fā)出的概率為，8：20發(fā)出的概率為，第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，這兩個事件是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率為P=+=．（2）由題意知候車時間X的可能取值是10，30，50，70，90根據(jù)條件中所給的各個事件的概率，得到P（X=10）=，P（X=30）=，P（X=50）=，P（X=70）=，P（X=90）=，∴旅客候車時間的分布列為：候車時間X（分） 10 30 50 70 90概率 （3）候車時間的數(shù)學期望為10×+30×+50×+70×+90×=5++++=30．即這旅客候車時間的數(shù)學期望是30分鐘．12.有下列關(guān)系：(1)名師出高徒；(2)球的體積與該球的半徑之間的關(guān)系；(3)蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；(4)森林中的同一種樹，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；(5)學生與他（她）的學號之間的關(guān)系；(6)烏鴉叫,沒好兆；

其中，具有相關(guān)關(guān)系的是______________參考答案：（1）（3）（4）13.已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M(1，m)，到其焦點的距離為5，雙曲線x2－＝1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實數(shù)a＝__________．參考答案：14.在中，.如果一個橢圓通過、兩點，它的一個焦點為點，另一個焦點在邊上，則這個橢圓的焦距為

．

參考答案：15.a＞1，則的最小值是．參考答案：3【分析】根據(jù)a＞1可將a﹣1看成一整體，然后利用均值不等式進行求解，求出最值，注意等號成立的條件即可．【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0=a﹣1++1≥2+1=3當a=2時取到等號，故答案為3【點評】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及均值不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題．16.已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)P、Q滿足，，.若，則

．參考答案：2或-1

17.已知點P是橢圓+=1上任一點，那點P到直線l：x+2y﹣12=0的距離的最小值為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】運用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)出點P，再由點到直線的距離公式及兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值．【解答】解：設(shè)點P（2cosα，sinα）（0≤α≤2π），則點P到直線x+2y﹣12=0的距離為d==當sin（α+30°）=1時，d取得最小值，且為．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的方程和運用，考查橢圓的參數(shù)方程的運用：求最值，考查點到直線的距離公式，考查三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的極坐標方程是=1，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）。

（1）寫出直線與曲線C的直角坐標方程；

（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點為，求的最小值。參考答案：解：（1）

（2分）

（2）代入C得

（5分）

設(shè)橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)）

（7分）

則

（9分）

則的最小值為-4。

（10分）略19.（本題滿分12分）已知是橢圓的兩個焦點，過的弦AB，若的周長為16，離心率．(Ⅰ)求該橢圓的標準方程及其焦點坐標；(Ⅱ)若A1,A2是橢圓長軸上的兩個頂點，P是橢圓上不同于A1,A2的任意一點．求證：直線A1P與直線A2P的斜率之積是定值．參考答案：(Ⅰ)∵，又，∴，故該橢圓的標準方程為：，焦點坐標為：；(Ⅱ)設(shè)，則，故．20.(本小題滿分10分)某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿．公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間日房租每增加1元，客房出租數(shù)就會減少5間．若不考慮其他因素，旅游公司將房間租金提高元，每天客房的租金總收入元．（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）旅游公司將房間租金提高到多少元時，每天客房的租金總收入最高？參考答案：（1）由題知即

……………5分（2）時所以旅游公司將房間租金提高到40元時，每天客房的租金總收入最高…………10分21.（11分）如圖，ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，O、M、N分別是B1D1、AB1、AD1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點P．（Ⅰ）證明：MN∥平面CB1D1；（Ⅱ）證明：①A、P、O、C四點共面；②A、P、O三點共線．參考答案：【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）證明：MN∥B1D1，即可證明MN∥平面CB1D1；（Ⅱ）①證明AA1與CC1共面，再證明P、O、∈平面AA1C1C，即可證明A、P、O、C四點共面；②P是平面AA1C1C與平面AB1D1的公共點，故根據(jù)公理3，P在交線AO上，即可證明A、P、O三點共線．【解答】證明：（Ⅰ）∵M、N分別是AB1、AD1的中點，∴MN∥B1D1．（2分）∵B1D1?平面CB1D1，MN?平面CB1D1，∴MN∥平面CB1D1．（Ⅱ）①∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴AA1∥CC1，即AA1與CC1共面．∵A1C1?平面AA1C1C，O∈A1C1，∴O∈平面AA1C1C．（6分）∵A1C?平面AA1C1C，P∈A1C，∴P∈平面AA1C1C．（7分）∴A、P、O、C∈平面AA1C1C，即A、P、O、C四點共面．（8分）②∵AO是平面AA1C1C與平面AB1D1的交線，且P是平面AA1