高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章推理與證明 第1章

第一章§1一、選擇題1．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32C．33 D．27解析：∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，則x－20＝12,47－x＝15，所以x＝32，故選B.答案：B2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()\f(r2,2) \f(l2,2)\f(lr,2) D．不可類比解析：將扇形的弧類比為三角形的底邊，半徑類比為三角形的高．所以S扇＝eq\f(1,2)lr，故選C.答案：C3．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”C．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”D．“a(bc)＝(ab)c”類推出“a(bc)＝(ab)c”答案：B4．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則52011的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析：∵55＝3125，56＝15625,57＝78125，58＝390625,59＝1953125，510＝9765625，…∴5n(n∈N，且n≥5)的末四位數(shù)是周期性變化，且最小正周期為4.記5n(n∈N，n≥5)的末四位數(shù)為f(n)，∴f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52011與57的末四位數(shù)相同，為8125，故選D.答案：D二、填空題5．如下圖所示是由火柴桿拼成的一列圖形，第n個圖形由n個正方形組成：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個圖形中，火柴桿有________________根；第n個圖形中，火柴桿有________________根．解析：觀察得遞推關(guān)系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)．所以an＝3n＋1，∴a4＝13.答案：133n＋16．橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì)，如對于橢圓有如下命題：AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)，那么對于雙曲線則有如下命題：AB是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝________________.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2),y0＝\f(y1＋y2,2)))(*)∵eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，∴兩式相減得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)，即eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，將(*)式代入，得eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y0,x0)＝eq\f(b2,a2)，即kOM·kAB＝eq\f(b2,a2).答案：eq\f(b2,a2)三、解答題7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)，n∈N＋，猜想這個數(shù)列的通項(xiàng)公式(不需證明)．解析：an＋1＝eq\f(2an,2＋an)，n∈N＋，a1＝1時，a2＝eq\f(2×1,2＋1)＝eq\f(2,3)；a2＝eq\f(2,3)時，a3＝eq\f(2×\f(2,3),2＋\f(2,3))＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)；a3＝eq\f(1,2)時，a4＝eq\f(2×\f(1,2),2＋\f(1,2))＝eq\f(2,5)，…猜想{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n＋1).8．從y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2＋k的圖像變換關(guān)系，類比談?wù)労瘮?shù)y＝f(x＋a)＋b的圖像是由y＝f(x)的圖像如何得到的？解析：根據(jù)y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2＋k的頂點(diǎn)關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)將y＝ax2的圖像向右(當(dāng)h＞0時)或向左(當(dāng)h＜0時)平移|h|個單位長度，再向上(當(dāng)k＞0時)或向下(當(dāng)k＜0時)平移|k|個單位長度，就得到y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的圖像．類比以上結(jié)論，函數(shù)y＝f(x＋a)＋b的圖像是由y＝f(x)的圖像沿x軸方向向左(當(dāng)a＞0時)或向右(當(dāng)a＜0時)平行移動|a|個單位長度，再沿y軸方向向上(當(dāng)b＞0時)或向下(當(dāng)b＜0時)平行移動|b|個單位長度所得．9．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如下圖(1)(2)(3)(4)所示為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式．解析：(1)f(5)＝41.(2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因?yàn)閒(n＋1)－f(n