專題4.3 立體幾何的動(dòng)態(tài)問題-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(選填題)(原卷版)

修正版修正版玩轉(zhuǎn)壓軸夬破140分之高三數(shù)學(xué)選填題高竭精品專題4.3立體幾何的動(dòng)態(tài)問題一?方法綜述立體幾何的動(dòng)態(tài)問題是高考的熱點(diǎn)，問題中的“不確定性”與“動(dòng)感性”元素往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性?一般立體動(dòng)態(tài)問題形成的原因有動(dòng)點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動(dòng)點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等?此類題的求解并沒有一定的模式與固定的套路可以沿用，很多學(xué)生一籌莫展，無法形成清晰的分析思路，導(dǎo)致該題成為學(xué)生的易失分點(diǎn)究其原因，是因?yàn)閷W(xué)生缺乏相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)和解決問題的策略造成的.動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素，因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口?求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍對(duì)于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題?具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證二.解題策略類型一立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的角度問題例1.【四川高考題】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中點(diǎn)?設(shè)異面直線EM與AF所成的角為。，則cos9的最大值為.【指點(diǎn)迷津】空間的角的問題，一種方法，代數(shù)法，只要便于建立空間直角坐標(biāo)系均可建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用公式求解；另一種方法，幾何法，幾何問題要結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大（小）值?當(dāng)點(diǎn)M在P處時(shí)，EM與AF所成角為直角，此時(shí)余弦值為0（最?。?dāng)M點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，EM與AF所成角逐漸變小時(shí)，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，角最小，余弦值最大.【舉一反三】1、【四川高考題】如圖，在正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)?設(shè)點(diǎn)P在線段CC上，直11111線OP與平面ABD所成的角為a,則sina的取值范圍是（）1C.［

ABAB2、【廣東省東莞市2019屆高三第二次調(diào)研】在正方體二二-亠二二二中，E是側(cè)面■二亠內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且"J平面三二二，則直線二三與直線AB所成角的正弦值的最小值是B.D.B.D.3、如圖，已知平面a丄卩，a"P=I，A、B是直線l上的兩點(diǎn)，C、D是平面p內(nèi)的兩點(diǎn)，且DA丄l，CB丄l，AD=3，AB=6，CB=6-P是平面a上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PD，PC與平面a所成角相等,則二面角P-BC-D的余弦值的最小值是（）113A?壽B.C?丁D1類型二立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的距離問題【例2】【廣西壯族自治區(qū)柳州市2019屆高三畢業(yè)班3月模擬】如圖，在正方體二二-二上二二中，棱長為1,點(diǎn)P為線段自士亡上的動(dòng)點(diǎn)（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

當(dāng)二_1=二-一』時(shí)，二平面三二二當(dāng)F為沖點(diǎn)時(shí)，四棱錐一的外接球表面為二CW_的最小值為工D.當(dāng)時(shí)，二』.平面二_.腫【指點(diǎn)迷津】求兩點(diǎn)間的距離或其最值?一種方法，可建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式寫出距離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，尋找那兩點(diǎn)間的距離最大（?。┣笃渲?【舉一反三】1、【河南省焦作市2018-2019學(xué)年高三三?！吭诶忾L為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA］和AB上，且C1E丄EF,則IAFI的最大值為（）C.DC.D.22.如圖，已知正方體ABCD-ABCD棱長為4,點(diǎn)H在棱AA上，且HA=1，在側(cè)面BCCB內(nèi)作邊長11111111為1的正方形EFGC，P是側(cè)面BCCB內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDDC距離等于線段PF的長，則當(dāng)11111點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，IHP|2的最小值是（）

A.21B.22C.23D.253、如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B￡px中,E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段Df上，點(diǎn)P到直線CCx的距離的最小值為.類型三立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的面積、體積問題【例3】在棱長為6的正方體：中，■-是匸中點(diǎn)，點(diǎn)F是面「I|；所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足則三棱錐P-E二二的體積最大值是（）A.36B.C.24D.K.':-【指點(diǎn)迷津】求幾何體體積的最值，先觀察幾何圖形三棱錐^二，其底面的面積為不變的幾何量，求點(diǎn)P到平面BCD的距離的最大值，選擇公式，可求最值.【舉一反三】1、《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年?例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐如圖，在塹堵ABCAB]C]中，ACBC，若AAAB2,當(dāng)陽馬BAACC】體積最大時(shí)，則塹堵ABCAB的體積為（）

cA.3B.72c.2D.2弋2c2、【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2017屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知矩形ABCD中，AB=6,BC二4,E,F分別是AB,CD上兩動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF，把四邊形BCFE沿EF折起，使平面BCFE丄平面ABCD,若折得的幾何體的體積最大，則該幾何體外接球的體積為（）A?B.誓C?D.呼3、【湖南省衡陽市2019屆高三二?！咳鐖D，直角三角形「二-「二一覚，將十三；繞止邊￡A.■--匚的大小為二，則四面體-「的外接球的表面積的最小值為（）A.■-■3C.7--類型四立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的軌跡問題【例4】如圖直三棱柱中，”li；為邊長為2的等邊三角形，“I，點(diǎn)I分別是邊'「、*、W：；、匸的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)I：在四邊形「：1內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，并且始終有7小平面H，則動(dòng)點(diǎn)：的軌跡長度為（）

A.B."C.D.1【指點(diǎn)迷津】由已知可知平面平面W,要始終有^"平面*二，點(diǎn)M為定點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡為線段HF,求其長度即可.【舉一反三】1、【安徽省安慶市2019屆高三二?！咳鐖D，正三棱柱-的側(cè)棱長為門，底面邊長為-■，一只螞蟻從點(diǎn)二出發(fā)沿每個(gè)側(cè)面爬到j(luò),路線為--■--.，則螞蟻爬行的最短路程是（）A.：：_：:B._:C.：:D.二：一：2、在正方體ABCD-ABCD中，已知點(diǎn)P為平面AADD中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：直線PC與平iiii111面AADD所成的角的大小等于平面PBC與平面AADD所成銳二面角的大小，則點(diǎn)P的軌跡為（）1111A.直線B.橢圓C.圓D.拋物線3、已知平面■：■■：!1I平面m,工，-站；廠;-汀，且丨.訃:一丨:'「.上二丨是正方形，在正方形；；丨內(nèi)部有一點(diǎn)丫，滿足—與平面所成的角相等，貝y點(diǎn)、的軌跡長度為（）41648A.B.C.八D.H3393類型五立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題【例5】如圖，已知AABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將AACD折成AA'CD，所成二面角A'-CD-B的平面角為a,貝y（）A.ZA'DB<a.B.ZA'DB>aC.^A'CBD.ZA'CB<a【舉一反三】1、【四川省宜賓市2019屆高三二診】已知棱長都為2的正三棱柱二二-二_二二的直觀圖如圖，若正三棱柱二二-二_二二繞著它的一條側(cè)棱所在直線旋轉(zhuǎn)，則它的側(cè)視圖可以為IC.D.A.C.D.A.【重慶市南開中學(xué)2019屆高三三月測(cè)試】如圖，在正方形山川中，匕，‘分別為線段川，山上的點(diǎn)，—將一-三繞直線沐、一二3繞直線門；各自獨(dú)立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線川已與直線°F所成角的最大值為.

【2017課標(biāo)1,理16】如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，ADBC，AECA，AFAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC,AECA,AFAB,使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)AABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為.三.強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是邊AA1，CC1上的中點(diǎn)，點(diǎn)M是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E,M,F的平面與棱DD1交于點(diǎn)N設(shè)BM=x,平行四邊形EMFN的面積為S,設(shè)y=S2，則y關(guān)于x的函數(shù)y=fx）的圖象大致是（）2、某圓柱的高為1,底面周長為8,其三視圖如圖所示?圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為A.A./IV3、如圖，等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于G,已知AA'ED是厶ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中))A.動(dòng)點(diǎn)A'在平面ABC上的射影在線段AF上B.恒有平面A'GF丄平面BCDEC.三棱錐A'-EFD的體積有最大值D?異面直線AE與BD不可能垂直【河南省鄭州市第一中學(xué)2019屆高三上期中】在三棱錐F-二三中，乂-一一平面二二\=1，M是線段:上一動(dòng)點(diǎn)，線段二?:長度最小值為了，則三棱錐/-i-的外接球的表面積是（）A.C._：■-A.C._：■-D.【河南省鄭州市2019年高三第二次質(zhì)量檢測(cè)】在長方體-s.J-中，「二二：■二二-，二二，7,TOC\o"1-5"\h\z分別是棱U二的中點(diǎn)，?匸是底面m內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線二F與平面門「沒有公共點(diǎn)，則三角形FE二面積的最小值為（）A.〉B.C.D.:【上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三3月月考】如圖，已知三棱錐_1汁，亠丄平面"廠，「是棱圧上的動(dòng)點(diǎn)，記與平面丄*所成的角為’，與直線門所成的角為匚貝匸與鳥的大小關(guān)系為（）

A.-■A.-■C.■D.不能確定C.90°D.120。如圖，在等腰中，二2=2二=],m為?匚的中點(diǎn)，沿BM把它折成二面角，折后C.90°D.120。二、填空題【安徽省蚌埠市2019屆高三第一次檢查】如圖所示，正方體二二-二上_二二的棱長為2,E，F(xiàn)為二—,AB的中點(diǎn)，M點(diǎn)是正方腳弗Mi內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若C桃〃平面仞也，則M點(diǎn)的軌跡長度為.已知正方體j二二m的棱長為％,點(diǎn)f為線段三二上一點(diǎn)，是平面上一點(diǎn)，則丁■譏■的最小值是；【2017課標(biāo)3,理16】a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與b成30°角；當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；直線AB與a所成角的最小值為45°；直線AB與a所成角的最小值為60°.其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【2019屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試】如圖，正三棱錐'川V的高:，底面邊長為4,二，：分別在以和心上，且心’曲,當(dāng)三棱錐錐體積最大時(shí)，三棱錐—皿的內(nèi)切球的半徑為

【河南省六市2019屆高三第一次聯(lián)考】如圖，-是等腰直角三角形，斜邊僵,D為直角邊BC上一點(diǎn)不含端點(diǎn)，將-心沿直線AD折疊至I'''的位置，使得"在平面ABD外，若"在平面ABD上的射影H恰好在線段AB上，則AH的取值范圍是.【陜西省榆林市2019屆高考模擬第三次測(cè)試】如圖，；是邊長為2的正方形，其對(duì)角線亠與':交于點(diǎn)■■，將正方形"八沿對(duì)角線：折疊，使點(diǎn)4所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為1,:設(shè)三棱錐C兀的外接球的體積為-，三棱錐=的體積為，，貝【河南省洛陽市2018-2