結(jié)構(gòu)動力學(xué)之多自由度體系的振動問題

第七講多自由度體系的振動問題工程學(xué)院海洋工程系劉臻結(jié)構(gòu)動力學(xué)多個自由度體系的自由振動

結(jié)構(gòu)在受迫振動時的動力響應(yīng)與結(jié)構(gòu)的動力特性密切相關(guān)；另外，當(dāng)用振型疊加法計算任意干擾力作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)時，往往要用到自由振動的頻率(frequency)和振型(mode)。為此，要需要首先分析自由振動。

用剛度法(stiffnessmethod)建立運(yùn)動方程。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，考慮質(zhì)體所產(chǎn)生的慣性力，就將原來的動力問題在形式上轉(zhuǎn)化為靜力問題。這樣，就可對圖示系統(tǒng)的每個自由度列出平衡方程，即系統(tǒng)的運(yùn)動方程。自振頻率和振型的計算系統(tǒng)運(yùn)動方程為：上式可簡寫為：

式中，K，M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣，它們通稱為系統(tǒng)的特性矩陣。自振頻率和振型的計算剛度法

無阻尼系統(tǒng)的自由振動方程為：

設(shè)其齊次解為：

式中：這相當(dāng)于假定各個質(zhì)體作簡諧振動，且振動的頻率和初相角都相同，只是振幅不同。

將式對t微分兩次后可得

把兩式代入平衡方程，并消去各項(xiàng)的公因子得，從此條件可以看出：

（1）條件中沒有v，這就是說初相角可以是任意值；

剛度法（2）條件給出各質(zhì)體振幅的齊次代數(shù)方程組，說明各個質(zhì)體需要滿足這個關(guān)系式；（3）振動時，各質(zhì)體的振幅不應(yīng)全為零，要得到各個質(zhì)體振幅不全為零的解，這就要求振幅的系數(shù)行列式等于零，即頻率方程

解之可得的n個正實(shí)根，從而求出n個頻率

如果把這些頻率按由小到大的次序排列，即構(gòu)成所謂頻率譜。

剛度法其中最小的頻率稱為最低自振頻率，或稱基本頻率。

通常將上述每一個頻率所對應(yīng)的振動都稱為主振動，對應(yīng)于每一個主振動的形狀稱為主振型。1）如果各質(zhì)體的初速度為零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，則系統(tǒng)就按這個振型作簡諧自由振動，此解答就相應(yīng)于該振動的一組特解；剛度法2023/1/1492）如果初始條件是任意的，則任其自然后，系統(tǒng)所發(fā)生的振動就不是按主振型的簡諧自由振動，而是復(fù)雜的周期振動，這時可以用各階主振動的線性組合來描述它，也就是說其通解表為各個特解之和，即

所以系統(tǒng)的任意振動可以表示為各個主振動的疊加。

剛度法例1：質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]：11展開得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求頻率：代入頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后兩式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij為正時表示質(zhì)量mi的運(yùn)動方向與單位位移方向相同，為負(fù)時，表示與單位位移方向相反。柔度法由剛度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}={0}前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}={0}令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}={0}得頻率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0利用剛度法的方程間接導(dǎo)出柔度法方程：其展開式是關(guān)于λ的n次代數(shù)方程,先求出λi再求出頻率ωi

可見剛度法、柔度法實(shí)質(zhì)上是相同的，可以互相導(dǎo)出。當(dāng)計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當(dāng)計算體系的剛度系數(shù)方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。將λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}={0}可求出n個主振型。柔度法例2：質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系數(shù)：m2mmk

柔度矩陣[δ]和質(zhì)量矩陣[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展開得:解之:

ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三個頻率為：3）求主振型：（令Y3i=1）將λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前兩式：

2）求頻率：解得：同理可得第二、第三振型例3

求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率及相應(yīng)的振型。

解:

這是兩個自由度的系統(tǒng)，用圖乘法求得柔度系數(shù)：代入頻率方程，并且令得;展開行列式得

;

解得從而得第一和第二階自振頻率為了確定第一階振型，可將代入平衡方程。從上式可求出質(zhì)體振幅間的關(guān)系為式中，

特別是當(dāng)時，將此關(guān)系代入上述各式，振型1：振型2：

由上述振型圖可知，前者是反對稱的，后者是對稱的。

所以對于對稱系統(tǒng)求解頻率和振型，可以分別按對稱和反對稱兩種情況，沿對稱軸切開取其一半進(jìn)行計算即可。m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22主振型的位移幅值恰好為相應(yīng)慣性力幅值產(chǎn)生的靜力位移。對這兩種靜力平衡狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理：因?yàn)棣?≠ω2主振型之間的第一正交關(guān)系主振型的正交性y

一般說來，設(shè)ωi≠ωj

相應(yīng)的振型分別為：{y(i)}，{y(j)}由振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}={0}{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2i

{Y（j）}T

[M]{Y（i）}（a）{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2j

{Y（i）}T

[M]{Y（j）}（b）{Y（j）}T[K]T{Y（i）}=ω2j{Y（j）}T[M]T{Y（i）}（c）=（b）轉(zhuǎn)置由（a）－（c）得主振型的正交性y

第一正交關(guān)系：相對于質(zhì)量矩陣[M]來說，不同頻率相應(yīng)的主振型彼此是正交的;

第二正交關(guān)系：相對于剛度矩陣[K]來說，不同頻率相應(yīng)的主振型彼此是正交的;如同一主振型:定義：Mj廣義質(zhì)量Kj廣義剛度所以：由廣義剛度和廣義質(zhì)量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。主振型的正交性y

注：①主振型的正交性是體系本身的固有特性，與外荷載無關(guān)。②利用正交性來檢查主振型是否正確、來判斷主振型的形狀特征。用{Y（j）}T[M]前乘③利用正交關(guān)系確定位移展開公式中的系數(shù)。即，主振型的正交性y

④主振型正交性的物理意義：體系按某一主振型振動時，在振動過程中，其慣性力不會在其它振型上作功。因此它的能量便不會轉(zhuǎn)移到別的振型上去，從而激起其它振型的振動。即各主振型可以單獨(dú)出現(xiàn)。位移按主振型分解,可將n個耦聯(lián)運(yùn)動方程化成n個獨(dú)立的一元方程求解。由可知主振型的正交性y

例4：圖示體系的剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]為：解：（1）演算第一正交性。m2mmk三個主振型分別如下，演算正交性。（2）演算第二正交性。同理：同理：（1）柔度法

tPqsintPqsiny1y2....P1）建立振動微分方程各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法無阻尼的受迫振動－簡諧荷載

2）動位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對應(yīng)按自振頻率振動的自由振動，由于阻尼而很快消失；特解對應(yīng)按荷載頻率振動的簡諧振動是平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動。

設(shè)純強(qiáng)迫振動解答為：代入：無阻尼的受迫振動－簡諧荷載

n個自由度體系，存在n個可能的共振點(diǎn)無阻尼的受迫振動－簡諧荷載

3）動內(nèi)力幅值的計算....

荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時達(dá)到最大。位移達(dá)到最大時，內(nèi)力也達(dá)到最大。求內(nèi)力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出內(nèi)力，即為動內(nèi)力幅值?；蛴茂B加公式求：（由Y1，Y2值可求得位移和慣性力）慣性力的幅值為：代入位移幅值方程：可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例：圖示簡支梁EI=常數(shù),θ=0.75ω1求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)P2)作MP圖，求Δ1PΔ2P33P1=1P2=1P5)計算動內(nèi)力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd圖6)比較動力系數(shù)

因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。剛度法y1(t)y2(t)在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點(diǎn)也作簡諧振動:Y1=D1/D0Y2=D2/D0....P1(t)P2(t)求得位移幅值Y1、Y2,計算慣性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2

。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計算方法求得動內(nèi)力幅值。

求圖示剛架樓面處的側(cè)移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)2)求位移幅值3)求慣性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA例4：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2

，層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個質(zhì)點(diǎn)的位移動力系數(shù)不同。當(dāng)

趨于無窮大?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況。m2m1k2k1m1k1m2k2這說明在圖示結(jié)構(gòu)上，適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。

吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時才有必要設(shè)置。l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下。與ω2相應(yīng)的振型是12k2211mkw--2212YY==－1當(dāng)θ=ω2

，D0=0，也有：不會趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個。kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1=yst2=P/k層間剪力:

Qst1=P動荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力:

例：如圖示梁中點(diǎn)放一點(diǎn)動機(jī)。重2500N，電動機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動荷載幅值P=1kN問：1）應(yīng)加動力吸振器嗎？2）設(shè)計吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）k2m2對于n個自由度體系強(qiáng)迫振動方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yi