新高考數(shù)學(xué)二輪專題檢測【5】如何用好基本不等式(含答案解析)

如何用好基本不等式1．小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則a，ab，v的大小關(guān)系為________．答案a<v<ab剖析設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.∵a<b，∴v＝2s＝2sab＝2ab2ab＝ab.ss(a＋b)sa＋b<2aba＋b又v－a＝2ab－a＝ab－a2a2－a2＝0，∴v>a.a＋ba＋b>a＋b12．若函數(shù)f(x)＝x＋x－2(x>2)在x＝a處取最小值，則a＝________.答案3剖析∵x>2，∴f(x)＝x＋1＝x－2＋1＋2x－2x－22(x－2)×1＋2＝4，x－21當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝x－2，即x＝3時等號建立，即a＝3，f(x)min＝4.3．(2014南·通模擬)設(shè)a>0，b>0，若3是3a與3b的等比中項，則1＋1的最小值為________．a(chǎn)b答案4剖析因為3a·3b＝3，所以a＋b＝1.1＋1＝(a＋b)1＋1＝2＋b＋aababab≥2＋2baba·＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，abab即a＝b＝1時等號建立．21－214．已知m＝a＋a－2(a>2)，n＝x(x≥2)，則m與n之間的大小關(guān)系為________．答案m≥n剖析m＝a＋1＝(a－2)＋1＋2≥4(a>2)，a－2a－2當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時，等號建立．由x≥1得x2≥1，24∴n＝x－2＝12≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.x5．已知正數(shù)

x，y滿足

x＋22xy≤λ(x＋y)恒建立，則實數(shù)

λ的最小值為

________．答案2剖析∵x>0，y>0，x＋2y≥22xy(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號)．x＋22xy又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥，而x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2，x＋yx＋y∴當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時，x＋22xymax＝2.x＋y∴λ的最小值為2.m－3－1≤0恒建立，則m的最大值為________．6．已知a>0，b>0，若不等式3a＋bab答案16剖析因為a>0，b>0，所以由m－3－1≤0恒建立得m≤(3＋1)(3a＋b)＝10＋3b＋3a恒3a＋bababab建立．因為3b3a3b3aa＋≥2·＝6，bab3b3a當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號建立，所以10＋a＋b≥16，所以m≤16，即m的最大值為16.7．若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．答案18剖析∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，∴22xy＋6≤xy，即xy－22xy－6≥0，解得xy≥18.xy的最小值是18.8．已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函數(shù)，則f(x)的圖象與y軸交點縱坐標(biāo)的最小值為________．答案16剖析依照函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可得ab－a－4b＝0，函數(shù)f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為

ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4ab，解得ab≥16(當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時等號建立)，即f(x)的圖象與y軸交點縱坐標(biāo)的最小值為16.x9．若對任意x>0，x2＋3x＋1≤a恒建立，則a的取值范圍是________．答案1，＋∞5剖析∵a≥2x＝1對任意x>0恒建立，設(shè)u＝x＋1＋3，∴只需a≥1恒建馬上x＋3x＋11xu＋3x＋x可．∵x>0，∴u≥5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號)．由u≥5知0<1≤1，∴a≥1.u552210．(1)已知0<x<，求y＝2x－5x的最大值；x2＋7x＋10(2)求函數(shù)

y＝

x＋1

(x>－1)的最小值．解(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)．0<x<2，∴5x<2,2－5x>0，55x(2－5x)≤(5x＋2－5x)2＝1，2∴y≤1，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝2－5x，即x＝1時，ymax＝1.555(2)設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1(t>0)，(t－1)2＋7(t－1)＋10∴y＝t44＝t＋＋5≥2t·＋5＝9.tt當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即t＝2，且此時x＝1時，取等號，t∴ymin＝9.11．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－122(k>0)表示的曲20(1＋k)x線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo)．(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一翱翔物

(忽略其大小

)，其翱翔高度為

3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)

a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明原由．解(1)令

y＝0，得

kx－

201(1＋k2)x2＝0，由實質(zhì)意義和題設(shè)條件知x>0，又k>0，故x＝20k2＝20≤20＝10，1＋k12kk當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時取等號．所以炮的最大射程為10千米．因為a>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0，使3.2＝ka－1(1＋k2)a2建立20關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?鑒識式＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?0<a≤6.所以當(dāng)a不高出6千米時，可擊中目標(biāo)．12．為了響應(yīng)國家號召，某地決定分批建設(shè)保障性住所供給社會．首批計劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建筑每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑花銷與建筑高度有關(guān)，樓房每高升一層，整層樓每平方米建筑花銷提高20元．已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑花銷為800元．(1)若建筑第x層樓時，該樓房綜合花銷為y萬元(綜合花銷是建筑花銷與購地花銷之和)，寫出y＝f(x)的表達(dá)式；為了使該樓房每平方米的平均綜合花銷最低，應(yīng)把樓層建成幾層？此時平均綜合花銷為每平方米多少元？解(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑花銷為720元，建筑第1層樓房建筑花銷為720×1000＝720000(元)＝72(萬元)，樓房每高升一層，整層樓建筑花銷提高20×1000＝20000(元)＝2(萬元)，建筑第x層樓時，該樓房綜合花銷為x(x－1)2y＝f(x)＝72x＋×2＋100＝x＋71x＋100，綜上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．(2)設(shè)該樓房每平方米的平均綜合花銷為g(x)，則g(x)＝f(