函數(shù)的奇偶性與周期性學案及作業(yè)（教師版）

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)函數(shù)的奇偶性與周期性eq\a\vs4\al(考綱要求)1．結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性．1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于____對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于______對稱2．周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝______，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中____________的正數(shù)，那么這個____正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．對稱性若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x函數(shù)奇偶性的判定AUTONUM．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性。（1）（2）（3）（4）（5）（6）⑺的奇偶性方法提煉判定函數(shù)奇偶性的常用方法及思路：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；1．定義法2．圖象法3．性質(zhì)法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據(jù)x的范圍取相應地化簡解析式，判斷f(x)與f(－x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷．(2)“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的．(3)性質(zhì)法在選擇題和填空題中可直接運用，但在解答題中應給出性質(zhì)推導的過程．同步練習AUTONUM．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性？ （1）；偶（2）；偶（3）；非奇非偶（4）非奇非偶（5）；非奇非偶（6）AUTONUM．判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x(x>0)，,x2－x(x<0)；))(3)f(x)＝eq\f(lg(1－x2),|x2－2|－2).解：(1)由eq\f(1－x,1＋x)>0?－1<x<1，定義域關(guān)于原點對稱．又f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，故原函數(shù)是奇函數(shù)．(2)函數(shù)定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，又當x>0時，f(x)＝x2＋x，則當x<0時，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；當x<0時，f(x)＝x2－x，則當x>0時，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x2－2|－2≠0，))得定義域為(－1,0)∪(0,1)，關(guān)于原點對稱，∴f(x)＝eq\f(lg(1－x2),－(x2－2)－2)＝－eq\f(lg(1－x2),x2).∵f(－x)＝－eq\f(lg[1－(－x)2],(－x)2)＝－eq\f(lg(1－x2),x2)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).AUTONUM．在函數(shù)，，，中為偶函數(shù)的是A．B．C．D．答案：BAUTONUM．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（*）.A． B． C． D．答案：CAUTONUM．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A.B.C.D.答案：BAUTONUM．下列函數(shù)中,是奇函數(shù)的為（）A．B．C．D．答案：BAUTONUM．下列函數(shù)是奇函數(shù)的有()①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝eq\f(x2＋1,x)；④f(x)＝x3＋1.A．1個B．2個C．3個D．4個解析：選B首先確定這四個函數(shù)的定義域都關(guān)于原點對稱，然后由奇函數(shù)的定義逐個判斷可知，②③為奇函數(shù)．AUTONUM．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)解析：選A∵函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，F(xiàn)(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．故F(x)為偶函數(shù)．即f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)．偶AUTONUM．設(shè)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是()(A)是奇函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)是偶函數(shù)(D)是偶函數(shù)AUTONUM．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．答案：DAUTONUM．函在定義域上是A．偶函數(shù)B.奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)答案：BAUTONUM．函數(shù)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)答案：C二．利用函數(shù)的奇偶性求解析式和參數(shù)的值若f(x)為奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.這一結(jié)論在解決問題中十分便捷，但若f(x)是偶函數(shù)且在x＝0處有定義，就不一定有f(0)＝0，如f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)，而f(0)＝1.AUTONUM．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a為二次函數(shù)，其圖象的對稱軸為x＝－eq\f(a－4,2)，因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以－eq\f(a－4,2)＝0，解得a＝4.答案：4AUTONUM．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則，的解析式。AUTONUM．已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，若，則＝。答案：AUTONUM．設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：(1)選A因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以當x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.AUTONUM．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝x2－2x，則f（x）在R上的表達式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）答案：DAUTONUM．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A．B．C．D．答案：AUTONUM．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當，則當（）A.B.C.D.答案：BAUTONUM．已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù),則實數(shù)的值可以是（）A． B． C．D．答案：AAUTONUM．若函數(shù)y=(x+1)(x-a)為偶函數(shù)，則a的值是.答案：1AUTONUM．設(shè)是奇函數(shù)，則實數(shù)a=__▲___答案：-1AUTONUM．若為奇函數(shù)，當時，且，則實數(shù)的值為答案：5AUTONUM．若函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的值為．答案：0AUTONUM．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則.答案：-2三、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致．AUTONUM．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則上是（） A.單調(diào)遞減函數(shù)，且有最小值 B.單調(diào)遞減函數(shù)，且有最大值 C.單調(diào)遞增函數(shù)，且有最小值 D.單調(diào)遞增函數(shù)，且有最大值答案：BAUTONUM．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上時增函數(shù)，若，則的解集為.答案：AUTONUM．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是奇函數(shù)，在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)<f(1)，則()A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)選A函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函數(shù)在區(qū)間[0,5]上是減函數(shù)．由已知條件及奇函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是減函數(shù)．選項A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．選項B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．同理選項C中f(－1)>f(1)，選項D中f(－3)<f(－5).AUTONUM．知f(x)是實數(shù)集上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則的大小關(guān)系是（D）A．B．C．D．AUTONUM．已知f(x)是奇函數(shù)，定義域為{x|xR且x0},又f(x)在（0，+）上是增函數(shù)，且f(-1)=0,則滿足f(x)>0的x取值范圍是(-1,0)(1,+).AUTONUM．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）答案：CAUTONUM．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則A.B.C. D.答案：BAUTONUM．已知是定義域為的奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，的圖像如右圖所示：若：，則的取值范圍是答案：AUTONUM．奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則________答案：-15四、函數(shù)奇偶性的應用對于定義域R上的任何奇函數(shù)f(x)都有（）(A)f(x)－f(－x)<0（x）；(B)f(x)－f(－x)0（x）；(C)f(x)·f(－x)0（x）；（D）f(x)·f(－x)>0（x）。AUTONUM．已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.令H(x)＝f(x)＋x2，則H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，則f(－1)＝－3，故g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.AUTONUM．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lgx，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是________．解析：∵當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lgx， ∴當x∈(0,1)時，f(x)<0，當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0.又∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴當x∈(－1,0)時，f(x)>0；當x∈(－∞，－1)時，f(x)<0.∴滿足f(x)>0的x的取值范圍是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)AUTONUM．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，,當時，有恒成立，則不等式的解集是（A）（，）∪（，）（B）（，）∪（，）（C）（，）∪（，）（D）（，）∪（，）答案：DAUTONUM．設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)．當時，且，則不等式的解集是()A．B．C．D．答案：DAUTONUM．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f((x＋1)2＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.將函數(shù)化簡，利用函數(shù)的奇偶性求解．f(x)＝eq\f((x＋1)2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，設(shè)g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，則g(－x)＝－g(x)，因此g(x)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，則M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.AUTONUM．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，則{x|f(x－2)＞0}＝()．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}B解析：當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8.又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－8，x≥0，,－x3－8，x<0.))∴f(x－2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－2)3－8，x≥2，,－(x－2)3－8，x<2.))由f(x－2)＞0得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,(x－2)3－8>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,－(x－2)3－8>0.))解得x＞4或x＜0，故選B.AUTONUM．設(shè)a，b∈R，且a≠2，若定義在區(qū)間(－b，b)內(nèi)的函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1＋ax,1＋2x)是奇函數(shù)，則a＋b的取值范圍為__________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(3,2)))解析：∵f(x)在(－b，b)上是奇函數(shù)，∴f(－x)＝lgeq\f(1－ax,1－2x)＝－f(x)＝－lgeq\f(1＋ax,1＋2x)＝lgeq\f(1＋2x,1＋ax)，∴eq\f(1＋2x,1＋ax)＝eq\f(1－ax,1－2x)對x∈(－b，b)成立，可得a＝－2(a＝2舍去)．∴f(x)＝lgeq\f(1－2x,1＋2x).由eq\f(1－2x,1＋2x)＞0，得－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,2).又f(x)定義區(qū)間為(－b，b)，∴0＜b≤eq\f(1,2)，－2＜a＋b≤－eq\f(3,2).AUTONUM．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，則f(3)＝()A．－15 B．15C．10 D．－10答案：AAUTONUM．，則不等式的解集為 （）A．B． C．D．答案：DAUTONUM．已知是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，且對任意，遞減，都有的大小關(guān)系是A． B． C． D．答案：CAUTONUM．如果為偶函數(shù)，且導數(shù)存在，則的值為（）A.2B.1C.0D.答案：CAUTONUM．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為（） A．（－1，0）∪（1，+） B．（－1，0）∪（0，1） C．（－，－1）∪（1，+） D．（－，－1）∪（0，1）答案：CAUTONUM．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=0，當x>0時，有<0恒成立，則不等式f(x)>0的解集為A．(-1，0)(1，+∞)B．(-1，0)(0，1)C．(-∞，-1)(1，+∞)D．(-∞，-1)(0，1)答案：DAUTONUM．設(shè)函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則= A．6 B．—6 C．2 D．—2答案：AAUTONUM．已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x+.當x∈［-3，-1］時，記f（x）的最大值為m，最小值為n，則m-n=______________.答案：1AUTONUM．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝g(x)是奇函數(shù)，x∈[0，]上的圖象如圖，則在[－，]上不等式的解集是__________．答案：AUTONUM．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函數(shù)．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解：(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.∵g(x)是一個奇函數(shù)，∴g(0)＝0，得c＝0，由奇函數(shù)定義g(－x)＝－g(x)得b＝3.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，從而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(－eq\r(2)，eq\r(2))是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．g(x)在x＝－eq\r(2)時，取得極大值，極大值為4eq\r(2)；g(x)在x＝eq\r(2)時，取得極小值，極小值為－4eq\r(2).五、函數(shù)的周期性及其應用抽象函數(shù)的周期需要根據(jù)給出的函數(shù)式子求出，常見的有以下幾種情形：(1)若函數(shù)滿足f(x＋T)＝f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個周期；(2)若滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2(3)若滿足f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq\f(1,f(x＋a))＝f(x)，所以2a是函數(shù)的一個周期；(4)若函數(shù)滿足f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x))，同理可得2a是函數(shù)的一個周期；(5)如果T是函數(shù)y＝f(x)的周期，則①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知區(qū)間[m，n](m＜n)的圖象，則可畫出區(qū)間[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的圖象．AUTONUM．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)(2)選D由f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù)．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函數(shù)f(x)的一個周期．結(jié)合以上性質(zhì)，模擬畫出f(x)部分圖象的變化趨勢，如下圖．由圖象可以觀察出，f(x)在[1,2]上為減函數(shù)，在[2,3]上為增函數(shù)．AUTONUM．已知在R上是奇函數(shù)，且滿足，當時，，則等于。答案：AUTONUM．定義在上的偶函數(shù)滿足：，且在上是增函數(shù)，下面關(guān)于的判斷：①是周期函數(shù)； ②的圖象關(guān)于直線對稱； ③在上是增函數(shù)； ④在上是減函數(shù)； ⑤.其中正確的判斷是__________________(把你認為正確的判斷的序號都填上).答案：②⑤AUTONUM．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當時，，則的值為（）．．．．答案：CAUTONUM．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f（x+），且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)＋f(2006)＝()A．－2B．－1C．0D．1答案：AAUTONUM．是R上周期為3的奇函數(shù),若,,則a的取值范圍是（）A、a<0.5且a≠1B、-1<a<0C、a<-1或a>0D、-1<a<2答案：CAUTONUM．是周期為2的奇函數(shù),當時，則A.B.C.D.答案：AAUTONUM．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335 B．338C．1678 D．2012[自主解答](1)由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.AUTONUM．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)．若當x∈[0,1)時，f(x)＝2x－1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6))的值為()A．－eq\f(5,2) B．－5C．－eq\f(1,2) D．－6解析：(1)選C∵－3<log6<－2，∴－1<log6＋2<0，即－1<logeq\f(3,2)<0.∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，∴f(log6)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－1))＝－eq\f(1,2).AUTONUM．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，且f(1)＝3，則f(2014)＝__________.3解析：∵f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴f(x＋3)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)．∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)．則f(2014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝3.【例3－2】－eq\f(1,2014)解析：∵f(x＋1)＝eq\f(1＋f(x),1－f(x))，∴f(x＋2)＝eq\f(1＋f(x＋1),1－f(x＋1))＝eq\f(1＋\f(1＋f(x),1－f(x)),1－\f(1＋f(x),1－f(x)))＝－eq\f(1,f(x)).∴f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4.∵f(1)＝2014，∴f(103)＝f(25×4＋3)＝f(3)＝－eq\f(1,f(1))＝－eq\f(1,2014).課外作業(yè)1AUTONUM．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于()．A．y軸對稱B．直線y＝－x對稱C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱C解析：判斷f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故選C.AUTONUM．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,(2x＋1)(x－a))為奇函數(shù)，則a＝()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．1A解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)，即：eq\f(x,(2x＋1)(x－a))＝eq\f(x,(－2x＋1)(－x－a))恒成立，整理得：a＝eq\f(1,2).故選A.AUTONUM．函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(－5，－3)上()．A．先減后增 B．先增后減 C．單調(diào)遞減D．單調(diào)遞增D解析：當m＝1時，f(x)＝2x＋3不是偶函數(shù)，當m≠1時，f(x)為二次函數(shù)，要使其為偶函數(shù)，則其對稱軸應為y軸，故需m＝0，此時f(x)＝－x2＋3，其圖象的開口向下，所以函數(shù)f(x)在(－5，－3)上單調(diào)遞增．AUTONUM．若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)＝()．A．－1B．1C．－2D．2A解析：∵f(3)＝f(5－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(5－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，故選A.AUTONUM．若偶函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，f(x)在區(qū)間[－6，－4]上是減函數(shù)，則f(x)在[0,2]上的單調(diào)性是__________．單調(diào)遞增解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在[－2,0]上也單調(diào)遞減．又f(x)為偶函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，由對稱性知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．AUTONUM．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2011)＋f(2012)＝()A．1＋log23 B．－1＋log23C．－1 D．1解析：選C∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，∴f(－2011)＝f(2011)．當x≥0時，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(x)是以4為周期的函數(shù)．注意到2011＝4×502＋3,2012＝4×503，∴f(2011)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(2012)＝f(0)＝log21＝0.∴f(－2011)＋f(2012)＝－1.AUTONUM．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)的是()．A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋eq\r(x2＋1))C．y＝2x＋2－x D．y＝lgeq\f(1,x＋1)D解析：對于D，y＝lgeq\f(1,x＋1)的定義域為{x|x＞－1}，不關(guān)于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)．AUTONUM．已知函數(shù)f(x)對一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)為()．A．偶函數(shù) B．奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)B解析：顯然f(x)的定義域是R，它關(guān)于原點對稱．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)，故選B.AUTONUM．函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù)，若f(0.5)＝9，則f(8.5)等于()．A．－9 B．9 C．－3 D．B解析：由題可知，f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函數(shù)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故選B.AUTONUM．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)＞0的解集為()．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}B解析：當x≥0時，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＞0的解集為{x|x＜－2，或x＞2}．將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個單位即得函數(shù)y＝f(x－2)的圖象，故f(x－2)＞0的解集為{x|x＜0，或x＞4}．AUTONUM．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f(－1)＝1，則f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＝__________.－1解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)關(guān)于x＝1對稱，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2008)＝f(0)＝0，f(2009)＝f(1)＝－1，f(2010)＝f(2)＝0，f(2011)＝f(3)＝1，f(2012)＝f(0)＝0，f(2013)＝f(1)＝－1.∴f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＝－1.AUTONUM．定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(-1,1)上f(x)是減函數(shù)，求滿足條件f(1-a)+f(1-ａ２）＜０的ａ取值范圍.（A）Ａ．（０，１）Ｂ．（－２，１）Ｃ．［０，１］Ｄ．［－２，１］AUTONUM．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數(shù)，當ｘ∈[0,2]時，f(x)是減函數(shù)，如果不等式f(1-m)＜f(m)成立，求實數(shù)ｍ的取值范圍.（A）Ａ．Ｂ．［１，２］Ｃ．［－１，０］Ｄ．（）AUTONUM．設(shè)f(x)是定義在（0,+）上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對定義域內(nèi)任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,求使不等式f(x)+f(x-3)2成立的取值范圍.AUTONUM．已知是偶函數(shù)，其圖象與軸共有四個交點，則方程的所有實數(shù)解的和是（C）420不能確定AUTONUM．已知函數(shù)，且，則-26．AUTONUM．已知偶函數(shù)在上是增函數(shù)，若，則必有（C）AUTONUM．若都是奇函數(shù)，在上有最大值5，則f(x)在上有（）最小值-5B．最大值-5C．最小值-1D．最大值-3AUTONUM．已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x－2）在［0，2］上是單調(diào)減函數(shù)，則（）A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）AUTONUM．已知定義域為的函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（D）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．AUTONUM．若函數(shù)f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義域均為R，則A．f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)解析：選D∵f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．∴f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)．AUTONUM．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)等于()A．ex－e－x B.eq\f(1,2)(ex＋e－x)C.eq\f(1,2)(e－x－ex) D.eq\f(1,2)(ex－e－x)解析：選D∵f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又∵f(x)＋g(x)＝ex，∴g(x)＝eq\f(ex－e－x,2).AUTONUM．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，當時，等于AUTONUM．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則-1。AUTONUM．已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的單調(diào)增區(qū)間及最大值．單調(diào)增區(qū)間最大值是3AUTONUM．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．當0≤x≤1時，f(x)＝x2.若直線y＝x＋a與函數(shù)y＝f(x)的圖象在[0,2]內(nèi)恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值是()A．0 B．0或－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)或－eq\f(1,2) D．0或－eq\f(1,4)解析：選D∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.又0≤x≤1時，f(x)＝x2，可畫出函數(shù)y＝f(x)在一個周期內(nèi)的圖象如圖．顯然a＝0時，y＝x與y＝x2在[0,2]內(nèi)恰有兩個不同的公共點．另當直線y＝x＋a與y＝x2(0≤x≤1)相切時也恰有兩個不同公共點，由題意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝eq\f(1,2).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，又A點在y＝x＋a上，∴a＝－eq\f(1,4)，綜上可知a＝0或－eq\f(1,4).AUTONUM．函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)為偶函數(shù)．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，變形為f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等價于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－eq\f(7,3)≤x＜－eq\f(1,3)或－eq\f(1,3)＜x＜3或3＜x≤5.∴x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)≤x<－\f(1,3)，或－\f(1,3)<x<3，或3<x≤5)))).答題指導：等價轉(zhuǎn)化要做到規(guī)范，應注意以下幾點：(1)要有明確的語言表示．如“M”等價于“N”、“M”變形為“N”．(2)要寫明轉(zhuǎn)化的條件．如本例中：∵f(x)為偶函數(shù)，∴不等式(*)等價于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．(3)轉(zhuǎn)化的結(jié)果要等價．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，則這個轉(zhuǎn)化就不等價了．課后作業(yè)2一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2012·陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|解析：選D由函數(shù)的奇偶性排除A，由函數(shù)的單調(diào)性排除B、C，由y＝x|x|的圖象可知當x≥0時此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)．2．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：選A由題意，f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，則f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.3．設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式eq\f(f(x)＋f(－x),x)>0的解集為()A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)解析：選B∵f(x)為偶函數(shù)，∴eq\f(f(x)＋f(－x),x)＝eq\f(2f(x),x)>0，∴xf(x)>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,f(x)>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,f(x)<0.))又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))則該函數(shù)是()A．偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D．奇函數(shù)，且單調(diào)遞減解析：選C當x>0時，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；當x<0時，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，對任意x∈R，均有eq\a\vs4\al(f(－x))＋f(x)＝0，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．當x>0時，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．5．(2013·廣州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：選D由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)<f(80)<f(11)．6．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析：選Cf(x)的圖象如圖．當x∈(－1,0)時，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；當x∈(0,1)時，由xf(x)<0得x∈?；當x∈(1,3)時，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．二、填空題