2023年人教版高考數(shù)學總復(fù)習第一部分考點指導(dǎo)第六章平面向量、復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

第六章平面向量、復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運算【考試要求】.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示..掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義..掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義..了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.【高考考情】考點考法：雖然近兩年在本節(jié)沒有直接命題，但在考查其他知識點時，經(jīng)常涉及向量的加、減法運算，數(shù)乘運算以及它們的幾何意義.核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算Q' =—知謂梳理二思能激活.一 Q【歸納?知識必備】.向量的有關(guān)概念(1)向量：兩個方面：大小和方向.其中，向量的大小叫做向量的長度(或模).(2)幾個常用向量向量長度方向零向量0任意單位向量1確定平行向量相等或不相等相同或相反共線向量相等或不相等相同或相反相等向量相等相同相反向量相等相反＞注解1規(guī)定零向量與任何向量平行..向量的線性運算⑴加法⑵

①法則：三角形法則，平行四邊形法則.②運算律：交換律a+6=8+a；結(jié)合律：(a+b)+c=a+(6+c).(2)減法①法則：三角形法則；②運算律：a-b=a+(￡＞).(3)數(shù)乘①法則：①=Ma；當兒＞0時，4a的方向與a的方向相同；當兒＜0時，4a的方向與a的方向相反;當兒=0時，Aa~0.②運算律：A(pa)=(人〃)a；(4+〃)a=Xa+〃a；A(a+6)=1a+九b.＞注解2①尸為線段［月的中點=游=；(OA+0B).②G為△48。的重心o若4B,C是平面內(nèi)不共線的點，則泊+浜+交=0..共線向量定理e向量a(aKO)與6共線，當且僅當存在唯一一個實數(shù)/，使6=La.,注解3①與向量a(a#0)共線的單位向量為土焉.②若a,6不共線，且則/=〃=0.③當a#0時，定理中的實數(shù)人才唯一，否則不唯一..(改變選項)如圖，口46.(改變選項)如圖，口46徵的對角線交于〃，若而=a,D rA a B1,111,A.7a+2匕 B?5a--b為)=b,用a,b表示勵為()智學?變式探源1.必修二P14例題62.必修二P15例7

c.D.-c.D.-2a+2b【解析】選D.礪=1~BD=〈（9一宓）=3（~a）=:a+1b.乙 乙乙2.（改變形式）已知向量a,b,且池=a+2b,BC=-5a+6h,CD=7a-2Z>,則一定共線的三點是（）A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】選A.因為反'+乃=礪=2a+46=2（a+26）=2拔，所以4B,〃三點共線.-慧考?四基自測3.基礎(chǔ)知識4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力.（共線向量定理）對于非零向量a,6,“a+6=0”是“a〃6”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若a〃4則a+b=O不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件..（向量運算）化簡衣一礪+乃一應(yīng)得（）A.~ABB.DAC.BCD.0【解析】選D.因為衣~~BD+CD-AB=而+CD+DB+BA=0..（向量運算）若〃為△48。的邊46的中點，則0=（）A.2CD-CA B.2CA-CDC.20）+CA D.2CA+CD【解析】選A.因為〃為△力a'的邊46的中點，所以乃=；（CA+滂），所以滂=2CD-CA.6.（共線向量定理）設(shè)向量a,6不平行，向量4a+b與a+26平行，則實數(shù)4=

【解析】因為搐b不平行，所以a+26W0,由題意可知存在唯一實數(shù)勿，使得入a+b=m（a解得A=2解得A=2,+25),即(4—%)a=(2r—1)b,所以〈12/77—1=0O- =~、才?—兔?悟法培優(yōu)＞,_ -?考點一平面向量的基本概念I(lǐng)自主練透1.（多選題）給出下列命題，不正確的有（）A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B.若4B,C,〃是不共線的四點，且石二比，則四邊形力仇力為平行四邊形C.a=6的充要條件是/a/=/6/且a〃力D.已知心〃為實數(shù)，若4a則a與b共線【解析】選ACD.A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；B正確，因為法=走，所以|法|=|比|且宓〃比，又4B,C,〃是不共線的四點，所以四邊形力靦為平行四邊形；C錯誤，當a〃力且方向相反時，即使/a/=/6/也不能得到a=b,所以/a/=/力/且a〃b不是a=8的充要條件，而是必要不充分條件；D錯誤，當八=〃=0時，a與6可以為任意向量，滿足但a與b不一定共線.2.若為為單位向量，a為平面內(nèi)的某個向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則@=/&/,&；②若a與國平行，則a=/a/4；③若a與比平行且/a/=l,則a=a,真命題的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【解析】選A.對于①，因為a的方向不一定與為的方向一致，所以①錯誤；對于②，因為a與為平行，a的方向與&的方向相同或相反，所以②錯誤；對于③，因為a與4平行，a的方向與國的方向相同或相反，所以③錯誤.

3.判斷下列四個命題：①若a〃b,則a=Z＞；②若/a/="/,則a=b；③若/a/=/b/,則a〃從④若a=b,則/a/=/8/.其中正確的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【解析】選A.因為a〃l6時，a與6不一定相等，所以命題①錯誤；因為當/a/=/b/時，a與b不一定相等，所以命題②錯誤；因為當/a/=/6/時，a與6不一定平行，所以命題③錯誤；因為當a=6時，/a/與"/一定相等，所以④正確.4.（2021?黃岡模擬）已知線段上4B,C三點滿足反1=2法，則這三點在線段上的位置關(guān)系是（）ABCABCBACBAC

A B C D【解析】選A.依題意知：反'與血共線同向.且BC=2AB.，規(guī)律方法向量之間的關(guān)系（D相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).（3）平行向量就是共線向量，二者是等價的；但相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.（4）非零向量a與得的關(guān)系是：帚是&方向上的單位向量?【加練備選】給出下列命題：①零向量是唯一沒有方向的向量;②零向量的長度等于0；③若a,6都為非零向量，則使%+佚=0成立的條件是a與6反向共線.其中錯誤的命題的個數(shù)為（）【解析】選B.①錯誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正確，由零向量的定義可知,零向量的長度為0；③正確，因為區(qū)與兩都是單位向量，所以只有當前與工燈是相反向量，即a與。反向共線時才成立.01230123?考點二平面向量的線性運算|講練互動[典例1]⑴在AABC中，AB+AC=2AD,E為AD的中點.若曲=xAB+yAC,則x+y=()1A.—1B.—~ C."D.1【解析】選c.因為法+AC=2通，所以〃為比的中點，因為￡為4?的中點，所以磅=EA+AB=一;AD+AB]f—? f3—?]r=--(AB-\-~AC)+A3=~~ABAC,4 4 4又因為崩=xAB+yAC,3 I 1所以x=~，尸一W，所以x+y=2.(2)設(shè)非零向量a,6滿足/a+8/=/a—b/,則()A.aVb B./a/=/6/C.a//b D./a/>/b/【解析】選A.在平行四邊形力以力中，設(shè)拔=a,~AD=b,由/a+6/=/a-6/知|衣|=|朝I，從而四邊形46。為矩形，即所以al.b.~AD(3)★(命題?新視角)已知0,A,8三點不共線，夕為該平面內(nèi)一點，且涉=應(yīng)H ,\AB\則()A.點。在線段46上B.點夕在線段力6的延長線上C.點P在線段46的反向延長線上D.點〃在射線四上布 ~AR 1【解析】⑶選D.由游=應(yīng)+--得澇7-0A=-,所以力=——?AB,所以點P\AB\ \AB\ \AB\在射線ABh./規(guī)律方法.平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的：可直接運用相應(yīng)運算法則求解.(2)含圖形的：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解..利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置.(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.(3)比較、觀察可知所求.，對點訓練(2021?武漢模擬)設(shè)〃為平行四邊形力靦對角線的交點，。為平行四邊形力靦所在平面內(nèi)的任意一點，則9+OB+OC+OD等于( )A.OMB.2OMC.3OMD.瘋【解析】選D.如圖，O在△O1C中，〃為47的中點，所以游+OC=2OM,在△物中，”為龍的中點，所以南+OD=2OM.所以澇+08+OC+OD=49.(2022?荷澤模擬)在平行四邊形4靦中，點￡為切的中點，BE與AC的交點、為F,設(shè)法=a,AD=b,則向量雄等于()B.C-4a+lb1D.-2,B.C-4a+lb1D.-2,a—§b【解析】選C.平行四邊形ABCD中,點E為口的中點，BE與〃1的交點為F,則有\(zhòng)EF\\BF\\CE\=而2

a-3所以礪=￡礪（BC+宓）=|（Z>—1a）1,2,-ia+3b-的自a【加練備選】（★能力拓展）在△力比'中，〃為線段力6上一點且物=3力〃，若而ACAuCB,則？=11A.-B.3C.彳D.4【解析】選B.因為四=34?,所以乃=CB+BD=CBBA=CB+1（CA~CB）=：Ml+；市，又因為宓=ACA+12CB,- 3 1一4所以4=7,〃=牙，所以17=3?7考點三共線向量定理及其應(yīng)用|多維探究高考考情：雖然近幾年高考在此處沒有單獨命題，但由于共線向量定理是平面向量的基礎(chǔ)，在今后的高考中還有可能會在此處命題，如由向量（或三點）共線求參數(shù)，證明共線、平行等.?角度1向量共線問題［典例2］（多選題）（2021?濟南模擬）已知向量a,8不共線，且c=4a+b,d=a+（24-l）6,若c與d共線，則實數(shù)人的值為（）1A.1B.--C.—1D.~【解析】選AB.由于c與d共線，則存在實數(shù)4使c=4d,于是4a+6=4［a+（24一1）罰，整理得4a+b=*a+（2（4—k,由于a,b不共線，所以有。一，,［2Ak—k=1,整理得21一八一1=0,解得八=1或4=一3.，一題多變（1）本例中，若c與d共線且反向，求實數(shù)4的值.【解析】由本例可知，c與d共線且反向時兒＜0,從而4=一；；（2）本例中，若c與d共線且同向，求實數(shù)4的值.【解析】由本例可知，c與d共線且同向時兒＞0,從而4=1.?角度2三點共線問題［典例3］已知a,6是不共線的向量，AB=Aa-2b,AC=2a+ub,4，〃CR,若44,C三點共線，則4，〃滿足（）A.4+〃=2B.4〃=—1C.4+〃=4D.4〃=—4【解析】選D.由4B,C三點共線，則拔，應(yīng)'共線，所以存在不為零的實數(shù)勿，使得施=mAC,即4a—2b=m（2a+,又因為a,b是不共線的向量，I4=2"，所以一2?〃，消去加,解得U=T，規(guī)律方法共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線，可利用共線向量定理即對于向量a,b,若存在實數(shù)4，使a=4b,則a與8共線來證明.(2)證明三點共線，可利用法=4衣，且都過點兒即4B,C三點共線.(3)求參數(shù)的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.提醒：注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.，多維訓練.已知向量a與b不共線，法=a+mb,充=〃a+灰加,,則法與衣共線的條件是( )A.277+77=0 B.277-/7=0C.mn+1=0 D.mn—1=0【解析】選D.由荔=a+〃心，AC=na+b(/n9〃￡R)共線，得a+/=4(z?a+6)(4WR),即fl=久〃，\I所以加1=0.[/n=4，2.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五PTa/r—1角星中，以RQ,R,S,T為頂點的多邊形為正五邊形，且其=七一.下列關(guān)系中正確的ji1 乙是()\.bp-Ts=杏"欣CQ+7>=呼"TSES-AP=寫1BQ乙AT+BQ=^-1Ck乙【解析】選A.由己知，BP-TS=TE-TS=SE 底，所以A正確；CQ2+TP=PA+TP=TA ST,所以B錯誤；ES-AP=RC-QC=RQ=^~lqb,乙 乙所以C錯誤；Tr+BQ=筋+RD,亞F幣=底=而一勁，若方+質(zhì)=乖；1CR,乙 乙則勁=0,不合題意，所以D錯