2022-2023學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期中點(diǎn)四邊形專題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

專題1.17中點(diǎn)四邊形專題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題.如圖，已知點(diǎn)E、F、G、”分別是四邊形4BCQ的邊AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH,我們把四邊形EFGH叫做四邊形ABCC的“中點(diǎn)四邊形若四邊形ABCO是矩形，則矩形ABCC的“中點(diǎn)四邊形”一定是（ ）A.平行四邊形B.矩形 C.菱形 D.正方形.如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H四點(diǎn)，得到四邊形EFGH,則下列結(jié)論不正確的是（ ）A.四邊形EFGH一定是平行四邊形 B.當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形C.當(dāng)ACLBD時(shí)，四邊形EFGH是矩形D.四邊形EFGH可能是正方形.在四邊形4BCC中，AC=BO=8,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)C.4C.48D.36.如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形.若四邊形ABCD的面積記為Si,中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2,則Si與S2

的數(shù)量關(guān)系是（ ）DA.Si=3S2B.2Si=3S2 C.Si=2S2 D.3si=4S25.如圖，點(diǎn)E、F、G、”分別是四邊形ABC。邊A8、BC、CD,DA的中點(diǎn)，則下列說法：①若AC=BD,則四邊形EFG”為矩形；②若AC_L80,則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與80互相垂直平分：④若四邊形EFG/7是正方形，則4c與8?；ハ啻怪鼻蚁嗟?TOC\o"1-5"\h\z其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4.如圖，任意四邊形4BCO各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H,若對(duì)角線4C、8。的長都為20cm,則四邊形EFGH的周長是（ ）EBA.80cmB.40cm C.20cm D.10cm.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH,下列說法正確的為（）H.DA.一定不是平行四邊形 B.一定不是中心對(duì)稱圖形C.可能是軸對(duì)稱圖形 D.當(dāng)AC=BD時(shí)它是矩形TOC\o"1-5"\h\z.順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則這個(gè)四邊形可能是（ ）.A.梯形B.菱形 C.矩形 D.正方形.如圖，在四邊形ABC。中，AD=BC,點(diǎn)E、F、G、H分別是A8、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則對(duì)四邊形EFGH表述最確切的是（ ）A.四邊形EFGH是矩形 B.四邊形EFGH是菱形C.四邊形EFGH是正方形 D.四邊形EFGH是平行四邊形.如圖，在任意四邊形A8CO中，M,N,P,Q分別是A8,BC,CD,OA上的點(diǎn),對(duì)于四邊形MNPQ的形狀，以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）A.當(dāng)M,N,P,Q是各邊中點(diǎn)，四邊MNPQ一定為平行四邊形B.當(dāng)M,N,P,。是各邊中點(diǎn)，且ZA8C=90時(shí)，四邊形MNP。為正方形C.當(dāng)M,N、P,。是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形MNP。為菱形D.當(dāng)M,N、P、。是各邊中點(diǎn)，且AC_LB。時(shí)，四邊形MNPQ為矩形二、填空題

.如圖，連接四邊形A8CQ各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH,只要添加條件，就.如圖，在四邊形ABCD中，AC=8Z>6,E、F、G、”分別是A8、BC、CD、0A的中點(diǎn)，貝ijEG+FZ/n..如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，隨機(jī)地向菱形ABCD內(nèi)擲一粒米，則米粒落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是..如圖，中，AC=8,BD=6,則順次連接四邊形A8CD各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長是..如圖，已知矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E,F,G,〃分別是AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，則四邊形EfGH的周長等于cm.

.如圖，H是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BHLCH,AH=6,CH=3,BH=4,D、E、F、G分別是4B、AC.CH、BH的中點(diǎn)，則四邊形OEFG的周長是.如圖，四邊形ABC。為正方形，點(diǎn)E、F、G、，分別為A3、BC、CD、D4的中點(diǎn),其中BD=4,則四邊形EFGH的面積為.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線ACJ_BD,E,F,G,H分別是AO,AB,BC,CD的中點(diǎn)，若在四邊形ABC。內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為B.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，EF=2EH,則AB與EH的數(shù)量關(guān)系是AB=EH.AEB.如圖，點(diǎn)A,B,C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn).點(diǎn)。為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn).線段48,BC,CD,D4的中點(diǎn)分別為M,N,P,Q.在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNP。是菱形:③存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNP。是矩形；④存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形.所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題.已知：如圖，四邊形488四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH（即四邊形4BCC的中點(diǎn)四邊形）.（1）四邊形EFG"的形狀是,證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四邊形A8CO的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形EFG”是菱形:（3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？.我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀？為什么？.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.圖1HD圖1HD(1)如圖1,在四邊形ABC。中，點(diǎn)E,F,G,"分別為邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFG”是.(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形A8CO內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB,PC=PD,NAPB=NCPD,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊4B,BC,CD,OA的中點(diǎn).猜想中點(diǎn)四邊形EFG”的形狀，并證明你的猜想.(3)若改變(2)中的條件，使NAPB=NCPC=90。，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFG”的形狀(不必證明)..如圖，在四邊形4BCO中，AB=CD,E、F、G、〃分別為A。、BC、BD、4c的中點(diǎn)，順次連接E、G、F、H.(1)求證：四邊形EGFH是菱形.(2)當(dāng)/A8C與NOCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGF"為正方形，并說明理由.(3)猜想：NGFH、NABC、NOC8三個(gè)角之間的關(guān)系，并證明你的猜想是成立的.2525.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.(1)如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,//分別為邊A8,BC,CD,￡乂的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFG，是.(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且滿足R4=PB,PC=PD,ZAPB=NCPD,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想.(3)若改變(2)中的條件，使NAPB=Na>￡>=90。，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀(不必證明).參考答案c【分析】原四邊形ABCQ是矩形時(shí)，它的對(duì)角線相等，那么中點(diǎn)四邊形EFG”是菱形（平行四邊形相鄰的兩邊都相等）.解：連接AC和8D.?〃、G分別是A。、DC的中點(diǎn)，.?."G是ADAC的中位線，HG//AC,HG=\ac2同理，EF//AC.EH//FG//BD,EH=；BD.■四邊形EFGH是平行四邊形.??四邊形ABC。是矩形時(shí)，:.AC=BD,則HG=EF,??平行四邊形EFG”是菱形故選：C.【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn).C【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.解：..任、F分別是BD、BC的中點(diǎn)，，EF〃CD,EF=yCD,VH,G分別是AD、AC的中點(diǎn)，：.HG//CD,HG=yCD,.?.HG〃EF,HG=EF,四邊形EFGH是平行四邊形，A說法正確，不符合題意；???F、G分別是BC、AC的中點(diǎn)，.,.FG=^-AB,；AB=CD,.*.FG=EF,.?.當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形，B說法正確，不符合題意；當(dāng)AB_LBC時(shí)，EH±EF,二四邊形EFGH是矩形，C說法錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)AB=CD,ABLBC時(shí)，四邊形EFGH是正方形，說法正確，不符合題意；故選：C.【點(diǎn)撥】此題考查中點(diǎn)四邊形、三角形中位線定理，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵.B【分析】作輔助線，構(gòu)建四邊形EFGH,證明它是菱形,利用對(duì)角線互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位線性質(zhì)等量代換可得結(jié)論.解：連接EF、FG、GH、EH,,:E、F、G、，分別是AB、BC、CD、的中點(diǎn),J.EF//AC,HG//AC,EF=-AC,FG=-BD,2 2：.EF//HG,同理EH//FG,二四邊形EFGH為平行四邊形，；AC=BD,：.EF=FG,...平行四邊形EFGH為菱形，:.EGLFH,EG=2OG,FH=2OH,

故選平方和可以利用勾股定理來證明【分析】得至iJaBEK與aABM相SAaen=SaebkABMS四邊形2GHMS|?q邊形H0MNS網(wǎng)邁步EKWV.BCMDCMDAMS四邊形EFGH,mUllfiABCD則Si與Sz故選平方和可以利用勾股定理來證明【分析】得至iJaBEK與aABM相SAaen=SaebkABMS四邊形2GHMS|?q邊形H0MNS網(wǎng)邁步EKWV.BCMDCMDAMS四邊形EFGH,mUllfiABCD則Si與Sz的數(shù)量關(guān)故選CBD與EF、HG分別交于點(diǎn)K【點(diǎn)撥】本題考查了中點(diǎn)四邊形，運(yùn)用了三角形中位線的性質(zhì)，將三角形和四邊形有機(jī)結(jié)合，把邊的關(guān)系由三角形轉(zhuǎn)化為四邊形中，可以證明四邊形為特殊的四邊形：對(duì)于線段的設(shè)AC與EH、FG分別交于點(diǎn)NAAEN與AABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到AEBK面積與aABM面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半的一半，四邊形MNHQ面積為AADM面積的一半，四個(gè)四邊形面積之和即為四個(gè)三角形面同理得到四邊形MKFP面積為AMBC面積的一半，四邊形QMPG面積為aDMC面積△EBK^-AABM,aAEN^AEBK根據(jù)題意由E為AB中點(diǎn)，且EF平行于AC,EH平行于E是AB的中點(diǎn)，EF〃AC,EH〃BD四邊形ABCD的面積為Si,中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2同理可得,即圓8M積之比為1：4,且aAEN與AEBK面枳相等，進(jìn)而確定出四邊形EKMN面積為AABM的一【點(diǎn)撥】此題E要考查了中點(diǎn)四邊形以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.A【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.解：’.正、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，；.EF〃AC,EF=|AC,同理可知，HG〃AC,HG=yAC,.?.EF〃HG,EF=HG,四邊形EFGH是平行四邊形，若AC=BD,則四邊形EFGH是菱形，故①說法錯(cuò)誤；若ACLBD,則四邊形EFGH是矩形，故②說法錯(cuò)誤；若四邊形EFG”是平行四邊形，AC與BD不一定互相垂直平分，故③說法錯(cuò)誤;若四邊形EFG"是正方形，AC與BD互相垂直且相等，故④說法正確；故選：A.【點(diǎn)撥】本題考查中點(diǎn)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識(shí)，掌握三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)健.B解：利用三角形中位線定理易得所求四邊形的各邊長都等于AC,或BD的一半，進(jìn)而求四邊形周長即可.C解：連接AC,BD,?.?點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，.?.EF=HG=yAC,EH=FG=yBD,四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形EFGH一定是中心對(duì)稱圖形，當(dāng)AC_LBD時(shí)，ZEFG=90°,此時(shí)四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC=BD時(shí)，EF=FG=GH=HE,此時(shí)四邊形EFGH是菱形，四邊形EFGH可能是軸對(duì)稱圖形，

故選c.故選c.【點(diǎn)撥】本題考查中點(diǎn)四邊形；平行四邊形的判定：矩形的判定：軸對(duì)稱圖形.D【分析】利用連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形，則結(jié)合正方形的性質(zhì)及三角形的中位線的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而不難求解.解：如圖點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABC。各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFG”是正方形.?.?點(diǎn)E,F,G,”分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFG”是正方形.J.EF^EH,EFX.EH,；.BD=2EF,AC=2EH,EF//BD,EH//AC：.AC=BD,AC1BD,即四邊形ABC。滿足對(duì)角線相等且垂直，選項(xiàng)D滿足題意.故選：D.DHC【點(diǎn)撥】本題考查了利用三角形中位線定理得到新四邊形各邊與相應(yīng)線段之間的數(shù)量關(guān)系和位置.熟練掌握特殊四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.B【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EH=；BC,EH/7BC,得到四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理解答即可.解：?.?點(diǎn)E、H分別是AB、AC的中點(diǎn)，r.EH=-BC,EH/7BC,2同理，EF=-AD,EF〃AD,HG=-AD,HG〃AD,2 2/.EF=HG,EF〃HD,A四邊形EFGH是平行四邊形，VAD=BC,/.EF=EH,平行四邊形EFGH是菱形，故選B.【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形的概念和性質(zhì)、掌握三角形中位線定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.B【分析】連接AC、BD,根據(jù)三角形中位線定理得到尸?！ˋC,PQ=^AC,MN//AC,MN=；AC,根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.解：連接AC、8。交于點(diǎn)。，M,N,P,Q是各邊中點(diǎn)，/.PQ//AC,PQ=-AC,MN//AC,MN=^AC,2 2:.PQ//MN,PQ=MN,??四邊MNPQ一定為平行四邊形，A說法正確，不符合題意；NA8C=90時(shí)，四邊形MNPQ不一定為正方形，B說法錯(cuò)誤，符合題意;AC=8￡>時(shí)，MN=MQ,??四邊形MNP。為菱形，C說法正確，不符合題意：AC_LB￡>時(shí)，NMNP=90,??四邊形MN尸。為矩形，D說法正確，不符合題意.故選B.【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.AC=BD【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)易得四邊形EFGH為平行四邊形，那么只需讓一組鄰邊相等即可，而鄰邊都等于對(duì)角線的一半，那么對(duì)角線需相等.解：VE,尸為AO、A8中點(diǎn)，:.EF為4 的中位線，：.EF//BD,EF=^BD,同理可得G//〃8C,GH=^BD.FG//AC,FG=^AC,：.EF//GH,EF=GH,：.四邊形EFGH為平行四邊形，...當(dāng)EF=FG時(shí)，四邊形EFGH為菱形，\"FG=^AC,EF=^BD,EF=FG：.AC=BD,故答案為：AC=BD.【點(diǎn)撥】本題考查菱形的判定，四邊相等的四邊形是菱形和中位線定理，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定定理，難度不大.36【分析】連接EF,FG,GH,EH,由E、F、G、”分別是A8、BC、CD、D4的中點(diǎn)，得到EH,EF,FG,G”分別是△A8O,LABC,△BCD,△ACO的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到EH,FG等于8。的一半,EF,G4等于AC的一半，由AC=8C=6,得至EH=EF=GH=FG=3,根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，得到EFG”為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG_L”尸,MEG=2OE,FH=2OH,在RfAOE”中，根據(jù)勾股定理得到OE2+O,2=e”2=9,再根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時(shí)乘以4,根據(jù)4=22,把等式進(jìn)行變形，并把EG=2O￡,FH=2OH代入變形后的等式中，即可求出ECN+F"的值解：如圖，連接EF,FG,GH,EH,■:E、，分別是AB、D4的中點(diǎn)，是△A8O的中位線，；.￡//=g80=3,同理可得EF,FG,G"分別是△ABC,△BCD,△ACO的中位線，：.EF=GH=^AC=3,FG=^BD=3,:.EH=EF=GH=FG=3,二四邊形EFG”為菱形，J.EGLHF,且垂足為O,：.EG=2OE,FH=2OH,在RtAOEH中,根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9,等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4O〃2=9x4=36,:.(2OE)2+(20，)2=36,即EG2+FH2=36.故答案為36.【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理以及等式的基本性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是連接FG,GH,EH,得到四邊形EFG”為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到尸，建立直角三角形，利用勾股定理來解決問題.-2.2解：則根據(jù)菱形的性質(zhì)可得菱形ABCD的面積ACBD,根據(jù)E、F、G、、H為各邊中點(diǎn)可得四邊形HEFG為矩形，根據(jù)中點(diǎn)可得HE=FG=gBD,HG=EF=3AC,則矩形HEFG的面積=；BD=AC=?ACBD,， 2 4即四邊形HEFG的面積是菱形ABCD面積的一半,

則可得概率為3.故答案為；g.14【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=GH=!bD=3,EH=FG=-AC=4,代入四邊形2 2的周長式子求出即可.解：???￡1、F、G、〃分別是邊A。、48、BC、CC的中點(diǎn)，：.EF=GH=-BD=3,EH=FG=、AC=4,：.EF+FG+GH+EH=3+4+3+4=14,故答案為14【點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理的理解和掌握，能熟練運(yùn)用性質(zhì)求出EF+GH+EH+FG=AC+BD是解此題的關(guān)鍵.20【分析】連接AC、BD,根據(jù)三角形的中位線求出HG,GF,EF,EH的長，再求出四邊形EFGH的周長即可.解：如圖，連接AC、BD,四邊形ABCD是矩形E、F、G、H分別是AB、BC,CD,DA的中點(diǎn),

HG=EF=yAC=4cm,EH=FG=yBD=4cm,四邊形EFGH的周長等于4+4+44-4=16cm.【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個(gè)邊的長是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.11【分析】根據(jù)勾股定理求出8c的長，根據(jù)三角形的中位線定理得到EF=DG=\AH,而△C7/B為直角三角形，可求出BC,再求出EF、HG、EH、FG的長，代入即可求出四邊形EFGH的周長.解：'：BHLCH,BHN,CH=3,由勾股定理得：BC=Jbh2+CH2“2+32=5,?.?￡)、E、尸、G分別是A8、AC、CH、8”的中點(diǎn)，ED=FG=；BC,EF=DG=yAH,'：AH=6,：.EF=DG=3,ED=FG=~,2：.四邊形EFGH的周長是EF+FG+HG+EH=2x(2.5+3)=11.故答案為II.【點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)勾股定理，三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)三角形的中位線定理求出E尸、DG、ED、FG的長是解此題的關(guān)鍵.4.【分析】先判定四邊形EFGH為矩形，再根據(jù)中位線的定理分別求出EF、EH的長度，即可求出四邊形EFGH的面積.解：；四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC,CD、DA的中點(diǎn)，.?.△AEH、△BEF,△CFG,△DGH都為等腰宜角三角形,...NHEF、NEFG、NFGH、NGHE都為直角，，四邊形EFGH是矩形，邊接AC,則AC=BD=4,乂：EH是^ABD的中位線，/.EH=^BD=2,同理EF=3AC=2,四邊形EFGH的面積為2x2=4.故答案為4.【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形中位線定理.1##0.5【分析】先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后由可以證得平行四邊形EFG”是矩形.解：如圖，,:E、F、G、，分別是線段AB,BC,CO的中點(diǎn)，:.EH、FG分別是△AC。、448。的中位線，EF、"G分別是△A8￡＞、4BCD的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)^,EF//BD,GH//BD^EF=yBD,GH=yBD,四邊形EFGH是平行四邊形，：.EF1FG四邊形EFG”是矩形，???四邊形EFGH的面^\=EF?FG=-AC-BD,4?/四邊形ABCD的面積=gAG8￡),-AC.BD....這一點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為： =-,-AC.BD22故答案為：y.【點(diǎn)撥】本題主要考查了幾何概率，中點(diǎn)四邊形，解題時(shí)，利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

75【分析】連接AC、BD交于O,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACLBD,OA=OC,OB=OD,根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形EFGH是矩形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.解：連接AC、BD交于O,??四邊形ABCD是菱形，/.ACXBD,OA=OC,OB=OD,.?點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)，，EH=；BD,EH〃BD,GH=yAC,GH//AC,VEF=2EH,/.OA=2OD,'-AB=y/OA2+OD2=石OD，，ab=Keh,故答案為：亞.【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.①②③④.【分析】連接AC、BD,根據(jù)三角形中位線定理得到PQ/7AC,PQ=gAC,MN〃AC,MN=gAC,根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.解：①當(dāng)AC與80不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②當(dāng)AC與8。相等且不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNP。是菱形:故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；

③當(dāng)AC與80互相垂直(8,。不重合)時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNP。是矩形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；④如圖所示，當(dāng)AC與8。相等且互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形.故存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形MNP。是正方形.故答案為：①?【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.(1)平行四邊形，證明見分析；(2)AC=BD,(3)矩形【分析】(1)連接8力、AC,利用三角形的中位線性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可解答；(2)根據(jù)菱形的判定定理即可解答；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可.解：(1)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明：連接8。、AC,?.?四邊形A8c。四條邊上的中點(diǎn)分別為￡、尸、G、H,:.EH=FG=、BD,EF=HG」AC,2 2.??四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形A8C。的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，理由:'：BD=AC,EH=FG=-BD,EF=HG=-AC,2 2：.EH=FG=EF=HG,.??四邊形EFG”是菱形，故答案為：AC=BZ)：(3)由于矩形的對(duì)角線相等，且由(1)(2

）結(jié)論知，矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.BFC【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.（1）平行四邊形，理由見分析：（2）平行四邊形；理由見分析：（3）菱形、矩形、正方形.理由見分析.【分析】（1）連接B。，根據(jù)三角形的中位線定理，可得E//〃GF,EH=FG,即可求證；（2）連接AC,DB,根據(jù)三角形的中位線定理，可得￡H〃GF,EH=FG,即可求證:3）利用（I）的判定方法，再根據(jù)三角形的中位線定理和矩形、菱形、正方形的判定方法來判定，即可求證.解：（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：已知四邊形ABC￡>,E,F,G,H分別是4B,BC,CD,AO的中點(diǎn)，連接8￡）,如圖1：圖1圖1是AB的中點(diǎn)，，是AC的中點(diǎn),...E”是△的中位線，/.EH//BD,EH=；BD,是C￡>的中點(diǎn)，尸是8c的中點(diǎn),:.FG迅48CC的中位線，/.FG//BD,FG=LbD,2J.EH//GF,EH=FG,二四邊形EFGH為平行四邊形；

(2)任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：已知平行四邊形ABC。，E,N,M,尸分別是D4,AB,BC,0c的中點(diǎn)，連接AC,DB,如圖2：ANB圖2'：E,F分別是D4,DC的中點(diǎn),.?.E尸是△ACO的中位線，：.EF//AC,EF=-AC,2；M,N分別是8C,A8的中點(diǎn)，二MN是△48C的中位線，J.MN//AC,MN=^AC,J.EF//MN,EF=MN,四邊形A/NEF是平行四邊形；(3)如果原四邊形為矩形，則形成的中點(diǎn)四邊形為菱形，理由如下：已知矩形ABC。，H,E,F,G分別是D4,AB,BC,CC的中點(diǎn)，連接AC,DB,如圖：AHDAHDBFC???四邊形ABC。是矩形，：.AC=BD,,.?E是4B的中點(diǎn)，，是AO的中點(diǎn),...E”是△A3。的中位線，:.EH=^BD,?.?G是CO的中點(diǎn)，尸是BC的中點(diǎn),:.GF是48co的中位線，:.gf/bd,是AB的中點(diǎn)，尸是8C的中點(diǎn)，...E尸是△A8C的中位線，：.EF=^AC,：G是C3的中點(diǎn)，〃是AO的中點(diǎn)，:.GH是44co的中位線，：.GH=^AC,又*：AC=BD,：.EF=GF=EH=GH,四邊形EFGH是菱形;如果原四邊形為菱形，則形成的中點(diǎn)四邊形為矩形，理由如下：已知菱形A8C￡>,E,F,G,”分別是A8,,BC,CD,的中點(diǎn)，連接8。，AC,如圖:???四邊形ABC。是菱形,：.AC±BD,是AB的中點(diǎn)，”是AD的中點(diǎn),.,.￡77是4A83的中位線，J.EH//BD,EH=-BD,2；G是CD的中點(diǎn)，尸是BC的中點(diǎn),:.GF是4BCC的中位線，/.GF//BD,GF=-BD,2：.EH//BD//GF,EH=GF,二四邊形EFGH是平行四邊形，又,.?AC_L8￡),：.AC±EH,是AB的中點(diǎn)，尸是BC的中點(diǎn)，；.E尸是△A8C的中位線，.,.EF//AC,J.EHLEF,二四邊形EFG”是矩形；如果原四邊形為正方形，則形成的中點(diǎn)四邊形為正方形，理由如下：已知正方形48CC,E,F,G,”分別是A8,BC,CD,AO的中點(diǎn)，連接BD,AC,如圖：??四邊形A8C。是正方形，：.AC±BD,AC=BD,是AB的中點(diǎn)，”是AO的中點(diǎn)，...E”是△A8Z）的中位線，J.EH//BD,EH=；BD,是CD的中點(diǎn)，尸是BC的中點(diǎn)，.?.G尸是△8c。的中位線，AGF//BD,GF=^BD,：.EH//BD//GF,EH=GF,...四邊形EFG”是平行四邊形，AHDBFC：.ACLEHf??E是AB的中點(diǎn)，尸是8c的中點(diǎn),??石尸是△A8C的中位線，：.EF//AC,EF=^AC.：.EFLEH,，四邊形EFG，是矩形，"：AC=BD,：.EF=EH,，四邊形EFG”是正方形.【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.(1)平行四邊形；(2)菱形，見分析；(3)正方形【分析】(1)連接8,根據(jù)三角形中位線定理證明E”〃廣G,EH=FG,根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；(2)證明AAPC絲根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=8。，再證明EF=FG,根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；(3)證明NEHG=90。，利用得到NAC占N8DP,即可證明ZCO￡>=ZCP￡>=90o,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明NE，G=90。，根據(jù)正方形的判定定理證明即可.解：(1)如圖1,連接8。,圖1；點(diǎn)E,”分別為邊A8,0A的中點(diǎn),：.EH//BD,EH=-BD,2.,點(diǎn)/，G分別為邊8C,CO的中點(diǎn),：.FG//BD,FG=-BD,2J.EH//FG,EH=GF,二中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，(2)結(jié)論：四邊形EFGH是菱形,理由：如圖2,連接AC,BD.圖2:NAPB=/CPD,:.NAPB+NAPD=NCPANAPD,BPNAPC=NBPD,在△4尸。和4 中，AP=BP4APC=4BPD,PC=PD:?△APCQRBPD(SA5),：.AC=BDf?,點(diǎn)E,F,G分別為邊A8,BC,CO的中點(diǎn)，：.EF=-ACfFG=、BD,2 2工EF=FG,由(1)知中點(diǎn)四邊形EFG”是平行四邊形，，平行四邊形EFG〃是菱形；(3)結(jié)論：四邊形EFG”是正方形，理由：如圖2,設(shè)AC與5￡)交于點(diǎn)O.AC與尸。交于點(diǎn)M,,:AAPgABPD,：?NACP=NBDP,：NDMO=/CMP,：.ZCOD=ZCPD=90°,：EH//BD,AC〃HG,：.NEHG=NDOC=90。,由(2)知中點(diǎn)四邊形EFG〃是菱形,菱形EFGH是正方形.【點(diǎn)撥】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學(xué)會(huì)添加常用輔助線.(1)見分析(2)當(dāng)NABC+N￡)CB=90。時(shí)，四邊形EGFH為正方形(3)NGFH+ZABC+ZDCB=180°【分析】(1)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EG=gA8,EH="D,HF=^AB,EG//