七年級數(shù)學競賽 第01講 有理數(shù)的巧算

七年級學競賽第一講有理的巧算有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎要求同學們在理解有理數(shù)的有關概念、法則的基礎上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題從而提高運算能力發(fā)展思維的敏捷性與靈活性．1．括的使用在代數(shù)運算中可以根據(jù)運算法則和運算律去掉或者添上括號以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．例1計算：分析中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“”與“”具有了雙重涵義它既是表示加法與減法的運算符號也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質符號因此進行有理數(shù)運算時一定要正確運用有理數(shù)的運算法則尤其是要注意去括號時符號的變化．1注意在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便于計算．例2計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1000000．說明加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧．例3計算：-2+3-4+…+(1)

·n．分析不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“”或為“1”．如果按照將第一、第二項，第三、第四項，…，分別配對的方式計算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號”的習慣，而取“添括號”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(1)·n．下面需對n的奇偶性進行討論：當n為偶數(shù)時，上式是n／2個(-1)的和，所以有當n為奇數(shù)時，上式是(n-1)／個(-1)的和，再加上最后一項(1)·n=n，所以有2例4在數(shù)，2，3，…，1998前添符號“”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析與因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符號“”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，23…1998中有1998÷2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1．現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．這啟發(fā)我們將12，3，…1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(12-3+4)+(5-67+8)++(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非負數(shù)是1．說明本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．2．用母表示數(shù)我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(1002)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b=a2b2．于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(ab)=a

2

b

2，①這個公式叫平方差公式以后應用這個公式計算時不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．例5計算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)3=30002-12=8999999．例6計算103×97×009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=100

4

9

2

=99999919．例7計算：分析與直接計算繁仔細觀察現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12345346347設字母n=12346么12345=n-1347=n+1，于是分母變?yōu)閚

2

(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得n

2-(n

2

1

2

)=n

2

n

2

+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．例8計算：(2+1)(22+1)(2+1)(2+1)(2+1)(232+1)．分析式子中22

2

4

…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方若在2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a

2

-b

2

了．解原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2

4

+1)(2

8+1)×(2

+1)(2

+1)=(2

2

1)(2

2

+1)(2

4

+1)(2

8

+1)(2

+1)×(2

+1)=(2

4

1)(2

4

+1)(2

8

+1)(2

+1)(2

+1)=……=(2-1)(232+1)=2

1．例9計算：分析在前面的例題中，應用過公式(a+b)(ab)=a

2

-b

2

．這個公式也可以反著使用，即4a2-b2=(a+b)(a-b)．本題就是一個例子．通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處下面再看一個例題從中可以看到用字母表示一個式子也可使計算簡化．例10計算：我們用一個字母表示它以簡化計算．3．觀算式找規(guī)律5例11某班名學生的數(shù)學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．87，91，，88，93，91，89，87，92，86，90，92，8890，91，86，89，92，，88．分析與若直接把個數(shù)加起來顯然運算量較大粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可90為基準數(shù)，大90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)負這個數(shù)與90的差樣會大大簡化運算以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=18001=1799，平均分為90+(1)÷20=89.95．例12計算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+…+3+1．②將①，②兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500個2000)=2000×500．從而有S=500000．說明一般地數(shù)果從第二項開始項減前項的差都相等本題31=5-3=75=…=19991997，都等2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．例13計算1+5+5

+5

3

+…+5

+5

的值．6分析觀察發(fā)現(xiàn)式從第二項起一項都是它前面一項的5倍果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．解設S=1+5+52+…+599+5，①所以5S=5+5

2

+5

3

+…+5

+5

．②②—①得

4S=5

1，說明如果一列數(shù)第二項起每一項與前一項之比都相等本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．例14計算：分析一般情況下，分數(shù)計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．解由于所以7說明本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用．練習一1．計算下列各式的值：1+3-5+7-9+11--1997+1999；11+12-13-14+15+16-1718+…+9