康托爾-集合論的創(chuàng)造者

圓學子夢想鑄金字品牌PAGE7-康托爾-集合論的創(chuàng)造者康托爾·G（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3～1918.1.6）德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始人。生于俄國圣彼得堡。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國的法蘭克福。先在一所中學，后在威斯巴登的一所大學預科學校學習。1862年入蘇黎世大學學工,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學攻讀數(shù)學和神學，受教于庫默爾（Kummer，ErnstEduard，1810.1.29～1893.5.14）、魏爾斯特拉斯（Weierstrass，KarlTheodorWilhelm，1815.10.31～1897.2.19）和克羅內(nèi)克(Kronecker，Leopold，1823.12.7～1891.12.29)。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以解決一般整系數(shù)不定方程ax2+by2+cz2=0求解問題的論文獲博士學位。畢業(yè)后受魏爾斯特拉斯的直接影響，由數(shù)論轉(zhuǎn)向嚴格的分析理論的研究，不久嶄露頭角。他在哈雷大學任教（1869～1913）的初期證明了復合變量函數(shù)三角級數(shù)展開的唯一性，繼而用有理數(shù)列極限定義無理數(shù)。1872年成為該校副教授，1879年任教授。由于學術(shù)觀點上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥，雖在1887年恢復了健康，繼續(xù)工作，但晚年一直被病魔纏身。1918年1月6日在德國哈雷（Halle）-維滕貝格大學附屬精神病院去世?？低袪枑酆脧V泛，極有個性，終身信奉宗教。早期在數(shù)學方面的興趣是數(shù)論，1870年開始研究三角級數(shù)并由此導致19世紀末、20世紀初最偉大的數(shù)學成就——集合論和超窮數(shù)理論的建立。除此之外，他還努力探討在新理論創(chuàng)立過程中所涉及的數(shù)理哲學問題.1888～1893年康托爾任柏林數(shù)學會第一任會長，1890年領(lǐng)導創(chuàng)立德國數(shù)學家聯(lián)合會并任首屆主席。主要貢獻康托爾對數(shù)學的貢獻是集合論和超窮數(shù)理論。兩千多年來，科學家們接觸到無窮，卻又無力去把握和認識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰(zhàn)。康托爾以其思維之獨特，想象力之豐富，方法之新穎繪制了一幅人類智慧的精品——集合論和超窮數(shù)理論，令19、20世紀之交的整個數(shù)學界、甚至哲學界感到震驚?？梢院敛豢鋸埖刂v，“關(guān)于數(shù)學無窮的革命幾乎是由他一個人獨立完成的。”（一）集合論的建立19世紀由于分析的嚴格化和函數(shù)論的發(fā)展，數(shù)學家們提出了一系列重要問題，并對無理數(shù)理論、不連續(xù)函數(shù)理論進行認真考察，這方面的研究成果為康托爾后來的工作奠定了必要的思想基礎(chǔ)?？低袪柺窃趯ふ液瘮?shù)展開為三角級數(shù)表示的唯一性判別準則的工作中，認識到無窮集合的重要性，并開始從事無窮集合的一般理論研究。早在1870年和1871年，康托爾兩次在《數(shù)學雜志》上發(fā)表論文，證明了函數(shù)f(x)的三角級數(shù)表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立。1872年他在《數(shù)學年鑒》上發(fā)表了一篇題為《三角級數(shù)中一個定理的推廣》的論文，把唯一性的結(jié)果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點，然后引進了點集的導集和導集的導集等有關(guān)重要概念。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，并為點集論奠定了理論基礎(chǔ)。以后，他又在《數(shù)學年鑒》和《數(shù)學雜志》兩刊上發(fā)表了許多文章。他稱集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西人們能意識到并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。他還指出，如果一個集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對應，它就是無窮的。他又給出了開集、閉集和完全集等重要概念，并定義了集合的并與交兩種運算。為了將有窮集合的元素個數(shù)的概念推廣到無窮集合，他以一一對應為原則，提出了集合等價的概念。兩個集合只有它們的元素間可以建立一一對應才稱為是等價的。這樣就第一次對各種無窮集合按它們元素的“多少”進行了分類。他還引進了“可列”這個概念，把凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對應的任何一個集合都稱為可列集合。1874年他在《數(shù)學雜志》上發(fā)表的論文中，證明了有理數(shù)集合是可列的，后來他還證明了所有的代數(shù)數(shù)的全體構(gòu)成的集合也是可列的。至于實數(shù)集合是否可列的問題，1873年康托爾給戴德金（Dedkind，JulinsWilhelmRichard，1831.10.6～1916.2.12）的一封信中提出過，但不久他自己得到回答：實數(shù)集合是不可列的。由于實數(shù)集合是不可列的，而代數(shù)數(shù)集合是可列的，于是他得到了必定有超越數(shù)存在的結(jié)論，而且超越數(shù)“大大多于”代數(shù)數(shù)。同年又構(gòu)造了實變函數(shù)論中著名的“康托爾集”,給出測度為零的不可數(shù)集的一個例子。他還巧妙地將一條直線上的點與整個平面的點一一對應起來，甚至可以將直線與整個n維空間進行點的一一對應。從1879年到1883年，康托爾寫了六篇系列論文，論文總題目是“論無窮線形點流形”，其中前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數(shù)學成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的應用。第五篇論文后來以單行本出版，單行本的書名為《一般集合論基礎(chǔ)》。第六篇論文是第五篇的補充?？低袪柕男艞l是：“數(shù)學在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對它的概念限制只在于：必須是無矛盾的，并且與由確切定義引進的概念相協(xié)調(diào)。……數(shù)學的本質(zhì)就在于它的自由。”（二）超窮數(shù)理論的建立《一般集合論基礎(chǔ)》在數(shù)學上的主要成果是引進超窮數(shù)，在具體展開這一理論的過程中，康托爾應用了以下幾條原則：第一生成原則：從任給一點的數(shù)出發(fā)，通過相繼加1（個單位）可得到它的后繼數(shù)。第二生成原則：任給一個其中無最大數(shù)的序列，可產(chǎn)生一個作為該序列極限的新數(shù)，它定義為大于此序列中所有數(shù)的后繼數(shù)。第三（限制）原則：保證在上述超窮序列中產(chǎn)生一種自然中斷，使第二數(shù)類有一個確定極限，從而形成更大數(shù)類。反復應用三個原則，得到超窮數(shù)的序列ω，ω1，ω2，…利用先前引入的集合的勢的概念，康托爾指出，第一數(shù)類（Ⅰ）和第二數(shù)類（Ⅱ）的重要區(qū)別在于（Ⅱ）的勢大于（Ⅰ）的勢。在《一般集合論基礎(chǔ)》的第十三章，康托爾第一次指出，數(shù)類（Ⅱ）的勢是緊跟在數(shù)類（Ⅰ）的勢之后的勢。在《一般集合論基礎(chǔ)》中，康托爾還給出了良序集和無窮良序集編號的概念，指出整個超窮數(shù)的集合是良序的，而且任何無窮良序集，都存在唯一的一個第二數(shù)類中的數(shù)作為表示它的順序特性的編號?？低袪栠€借助良序集定義了超窮數(shù)的加法、乘法及其逆運算?！秾ΤF數(shù)論基礎(chǔ)的獻文》是康托爾最后一部重要的數(shù)學著作，經(jīng)歷了20年之久的艱苦探索，康托尓希望系統(tǒng)地總結(jié)一下超窮數(shù)理論嚴格的數(shù)學基礎(chǔ)?！秾ΤF數(shù)論基礎(chǔ)的獻文》分兩部分，第一部分是“全序集合的研究”，于1895年5月在《數(shù)學年鑒》上發(fā)表。第二部分于1897年5月在《數(shù)學年鑒》上發(fā)表，是關(guān)于“良序集的研究”?！秾ΤF數(shù)論基礎(chǔ)的獻文》的發(fā)表標志著集合論從點集論過渡到抽象集合論。但是，由于它還不是公理化的，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當?shù)南拗票銜С鲢Ｕ摚钥低袪柕募险撏ǔ７Q為古典集合論或樸素集合論?？低袪柕脑庥鲇煽低袪柺讋?chuàng)的全新且具有劃時代意義的集合論，是自古希臘時代的兩千多年以來，人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統(tǒng)和確定的運算，它從本質(zhì)上揭示了無窮的特性，使無窮的概念發(fā)生了一次革命性的變化，并滲透到所有的數(shù)學分支，從根本上改造了數(shù)學的結(jié)構(gòu)，促進了數(shù)學的其他許多新的分支的建立和發(fā)展，成為實變函數(shù)論、代數(shù)拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎(chǔ)，還給邏輯和哲學帶來了深遠的影響。不過康托爾的集合論并不是完美無缺的，一方面，康托爾對“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”和“良序性定理”始終束手無策；另一方面，19和20世紀之交發(fā)現(xiàn)的布拉利－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產(chǎn)生了嚴重的懷疑。加之集合論的出現(xiàn)確實沖擊了傳統(tǒng)的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當時的數(shù)學家所接受，遭到了許多人的反對，其中反對最激烈的是柏林學派的代表人物之一、構(gòu)造主義者克羅內(nèi)克。克羅內(nèi)克認為，數(shù)學的對象必須是可構(gòu)造出來的，不可用有限步驟構(gòu)造出來的都是可疑的，不應作為數(shù)學的對象。他反對無理數(shù)和連續(xù)函數(shù)的理論，同樣嚴厲批評和惡毒攻擊康托爾的無窮集合和超限數(shù)理論不是數(shù)學而是神秘主義。他說康托爾的集合論空洞毫無內(nèi)容。除了克羅內(nèi)克之外，還有一些著名數(shù)學家也對集合論發(fā)表了反對意見。法國數(shù)學家龐加萊（Poincare，JulesHenri,1854.4.29～1912.7.17）說：“我個人，而且還不止我一人，認為重要之點在于，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西?！彼鸭险摦斪饕粋€有趣的“病理學的情形”來談，并且預測說：“后一代將把（Cantor）集合論當作一種疾病，而人們已經(jīng)從中恢復過來了”。德國數(shù)學家魏爾（Wey1，ClaudeHugoHermann,1885.11.9～1955.12.8）認為，康托爾關(guān)于基數(shù)的等級觀點是“霧上之霧”?？巳R因（Klein，ChristianFelix，1849.4.25～1925.6.22）也不贊成集合論的思想。數(shù)學家H．A．施瓦茲原來是康托爾的好友，但他由于反對集合論而同康托爾斷交。集合論的悖論出現(xiàn)之后，他們開始認為集合論根本是一種病態(tài)，他們以不同的方式發(fā)展為經(jīng)驗主義、半經(jīng)驗主義、直覺主義、構(gòu)造主義等學派，在基礎(chǔ)大戰(zhàn)中，構(gòu)成反康托爾的陣營。1884年，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克的尖銳對立，康托爾精神上屢遭打擊，5月底，他支持不住了，第一次精神崩潰。他的精神沮喪，不能很好地集中精力研究集合論，從此深深地卷入神學、哲學及文學的爭論而不能自拔。不過每當他恢復常態(tài)時，他的思想總變得超乎尋常地清晰，繼續(xù)他的集合論的工作。康托爾的集合論得到公開的承認和熱情的稱贊應該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學家大會上表現(xiàn)出來。瑞士蘇黎世理工大學教授胡爾維茨（Hurwitz，Adolf，1859.3.26～1919.11.18）在他的綜合報告中，明確地闡述康托爾集合論對函數(shù)論的進展所起的巨大推動作用，這破天荒的第一次向國際數(shù)學界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學，而是真正對數(shù)學發(fā)展起作用的理論工具。在分組會上，法國數(shù)學家阿達瑪（HadamardJacques，1865.12.8～1963.10.17）也報告了康托爾對他的工作的重要作用。隨著時間的推移，人們逐漸認識到集合論的重要性。希爾伯特(HilbertDavid，1862.1.23～1943.2.14)高度贊譽康托爾的集合論“是數(shù)學天才最優(yōu)秀的作品”“是人類純粹