【教學課件】簡單的三角恒等變換（第一課時）參考教學課件

簡單的三角恒等變換第一課時

追問1

已知角

與待求角

有什么關系？目前我們掌握的公式中，有沒有相關公式可以將具有這種關系的角聯(lián)系起來？

二倍角公式新知探究例1

試以cosα表示

．

在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以

代替α，得

，所以

．

①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以

代替α，得

，所以

．

②將①②兩個等式的左右兩邊分別相除，得

．新知探究例1

試以cosα表示

．

與代數(shù)恒等變換相比，進行三角恒等變換時，三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會存在所含的角差異，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以進行三角恒等變換時，常常要先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當?shù)墓剑轮骄繂栴}2

經(jīng)歷了例1的解決過程之后，你能談一談三角恒等變換與代數(shù)恒等變換二者之間有何區(qū)別嗎？符號由

所在象限決定新知探究半角公式新知探究降冪公式

練習：求證：

．所以得證．新知探究證法一：因為

練習：求證：

．又

即所以得證．新知探究證法二：因為

（1）（2）新知探究例8

求證：你能根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的不同點借助相關公式設計變換過程嗎？問題3

（1）中式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？

你能根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的不同點借助相關公式設計變換過程嗎？可以從兩個不同的角度回答這個問題：第一，從所含角的角度考慮，等式左側(cè)包含角α及β，而等式右側(cè)包含了α與β的和角以及差角，因此如果從等式右邊出發(fā)，借助和角公式與差角公式化簡，最后可以化成等號左邊的形式；第二，從運算結(jié)構(gòu)的角度考慮，等號左側(cè)是sinα與cosβ的乘積，而右側(cè)是加的形式，如果設計從左向右的變換過程，新知探究問題3

（1）中式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？

需要將積轉(zhuǎn)化為和的形式，回顧所學公式，在公式S(α＋β)

，S

(α＋β)中遇到過sinαcosβ這一結(jié)構(gòu)，但上述兩個公式中同時都包含了sinαcosβ這個結(jié)構(gòu)，因此需要兩個式子用加減消元法消去sinαcosβ即可證明待證結(jié)論．這兩種思考方法是本質(zhì)上是一致的．新知探究你能根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的不同點借助相關公式設計變換過程嗎？問題3

（1）中式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？

從等式兩側(cè)所含角的角度考慮，（1）的右側(cè)所含角是左側(cè)所含角的和角與差角，而（2）的左側(cè)所含角是右側(cè)所含角的和角與差角；從運算結(jié)構(gòu)考慮，（1）左側(cè)積結(jié)構(gòu)是右側(cè)和結(jié)構(gòu)的一半，（2）左側(cè)和結(jié)構(gòu)是右側(cè)積結(jié)構(gòu)的二倍．綜合以上分析，只需將（1）式等號兩側(cè)交換，再將α，β分別替換成

即可得到（2）．新知探究問題4

注意觀察（2）式的左右兩側(cè)，它與（1）的結(jié)構(gòu)特征有何區(qū)別？兩個等式之間有什么聯(lián)系？

證明：（1）因為sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝

［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．新知探究（1）例8

求證：

證明：（2）由（1）可得sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ．

③設α＋β＝θ，α－β＝φ，那么把α，β的值代入③，即得sinθ＋sinφ＝新知探究（1）（2）例8

求證：

我們進行三角恒等變換時，應首先分析已知條件與目標之間的差異，這些差異可能是所含角的差異，也可能是三角函數(shù)名稱的差異，或是結(jié)構(gòu)差異等等，找到“差異”之后，再選擇合適的公式，將這個“差異”逐步“拉近”，就可以一步一步達到目標．在變換中經(jīng)常用到化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想以及換元法．回顧小結(jié)問題5

我們在進行三角恒等變換時，應該怎樣進行分析？在變換中經(jīng)常會用到哪些數(shù)學思想或方法？

目標檢測2．已知等腰三角形的頂角的余弦等于

，求這個三角形的一個底角的正切．答案：1．