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歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!尋找球心解決與球有關(guān)的問題球與其他幾何體的切、接問題,是近幾年高考的熱點,這種題目幾乎在各省高考試題中都有涉及,主要考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).解決與球有關(guān)的切、接問題,其通法是作截面,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,其解題的思維流程是:類型一球與多面體的切、接問題考向1球與多面體的內(nèi)切問題已知正三棱錐的高為1,底面邊長為2eq\r(3),內(nèi)有一個球與四個面都相切,則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________.[思維架橋]如圖,過點P作PD⊥平面ABC于點D,連接AD并延長交BC于點E,連接PE,過點O作OF⊥PE于點F.由條件可求DE=1,PE=eq\r(2).易知EF=DE=1,設(shè)OD=OF=r.由OP2=OF2+PF2,求r=eq\r(2)-1.所以棱錐的內(nèi)切球的半徑為eq\r(2)-1.解:如圖,過點P作PD⊥平面ABC于點D,連接AD并延長交BC于點E,連接PE,過點O作OF⊥PE于點F.由條件可求DE=1,PE=eq\r(2).易知EF=DE=1,設(shè)OD=OF=r.由OP2=OF2+PF2,求r=eq\r(2)-1.所以棱錐的內(nèi)切球的半徑為eq\r(2)-1.考向2球與多面體的外接問題在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4π B.eq\f(9π,2)C.6π D.eq\f(32π,3)[思維架橋]利用勾股定理先求AC,若V最大,則球一定與直三棱柱的若干面相切.分別討論球與直三棱柱側(cè)面相切或與上下底面相切兩種情況,可得球的最大體積V.B解析:因為AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10.故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑滿足eq\f(8r+6r+10r,2)=eq\f(6×8,2),可得r=2,故直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切球半徑為eq\f(3,2),此時V的最大值為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)=eq\f(9π,2).故選B.處理球的外接問題的策略(1)“接”的處理:抓住外接的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑,求半徑常用等體積法.(2)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球:①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等,那么可以補形為一個正方體,正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等,那么可以將其補形為一個長方體,長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.[應(yīng)用體驗]在三棱錐P-ABC中,AB=BC=eq\r(15),AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,則該三棱錐的外接球表面積為________.eq\f(83π,2)解析:由題可知,△ABC中AC邊上的高為eq\r(15-32)=eq\r(6),球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D,設(shè)DA=DB=DC=x,所以x2=32+(eq\r(6)-x)2,解得x=eq\f(5\r(6),4),所以R2=x2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PC,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(75,8)+1=eq\f(83,8)(其中R為三棱錐外接球的半徑),所以外接球的表面積S=4πR2=eq\f(83π,2).類型二球與旋轉(zhuǎn)體的切、接問題如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則eq\f(V1,V2)的值是________.[思維架橋]內(nèi)切球的半徑與圓柱的底面圓半徑相等,圓柱的高是內(nèi)切球的直徑,利用體積公式即可得到eq\f(V1,V2).eq\f(3,2)解析:設(shè)球O的半徑為r,則eq\f(V1,V2)=eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)=eq\f(3,2).“切”的處理方法:首先要找準切點,通過作截面來解決,截面過球心.[應(yīng)用體驗]如圖,半徑為R的球的兩個內(nèi)接圓錐有公共的底面.若兩個圓錐的體積之和為球的體積的eq\f(3,8),則這兩個圓錐的高之差的絕對值為()A.eq\f(R,2) B.eq\f(2R,2)C.eq\f(4R,3) D.RD解析:設(shè)球的球心為O,半徑為R,體積為V,上面圓錐的高為h(h<R),體積為V1,下面圓錐的高為H(H>R),體積為V2,兩個圓錐共用的底面的圓心為O1,半徑為r.由球和圓錐的對稱性可知h+H=2R,|OO1|=H-R.因為V1+V2=eq\f(3,8)V,所以eq\f(1,3)πr2h+eq\f(1,3)πr2H=eq\f(3,8)×eq\f(4,3)πR3,所以r2(h+H)=eq\f(3,2)R3.因為h+H=2R,所以r=eq\f(\r(3),
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