有限單元法基本思想-原理-數(shù)值計算過程

有限單元法學習報告在對力學問題分析求解過程中，方法可以概括為兩種方法，一種為解析法，對具體問題具體分析，通過一定的推導用具體的表達式獲得解答，由于實際工程中結(jié)構(gòu)物的復雜性，此方法在處理工程問題是十分困難的；另一種是數(shù)值法，有限元法是其中一種方法，其數(shù)學邏輯嚴謹，物理概念清晰，又采用矩陣形式表達基本公式，便于計算機編程，因此在工程問題中獲得廣泛的應(yīng)用。有限元法基本原理是，將復雜的連續(xù)體劃分為簡單的單元體；將無限自由度問題化為有限自由度問題，因為單元體個數(shù)是有限的；將偏微分方程求解問題化為有限個代數(shù)方程組的求解問題。通常以位移為基本未知量，通過虛功原理和最小勢能原理來求解。基本思想是先化整為零，即離散化整體結(jié)構(gòu)，把整體結(jié)構(gòu)看作是由若干個通過結(jié)點相連的單元體組成的整體；再積零為整，通過結(jié)點的平衡來建立代數(shù)方程組，最后計算出結(jié)果。我將采用最簡單的三結(jié)點三角形為基本單元體，解決彈性力學中的平面問題為例，解釋有限單元法的基本原理、演示數(shù)值計算過程和一般性應(yīng)用結(jié)論。一、離散化解決平面問題時，主要單元類型包括三角形單元（三結(jié)點、六結(jié)點）和四邊形單元（四結(jié)點矩形、四結(jié)點四邊形、八結(jié)點四邊形）等。選用不同的單元會有不同的精度，劃分的單元數(shù)越多，精度越高，但計算量也會越大。因此在邊界曲折，應(yīng)力集中處單元的尺寸要小些，但最大與最小單元的尺寸倍數(shù)不宜過大。在集中力作用點及分布力突變的點宜選為結(jié)點，不同厚度，不同材料不能劃分在同一單元中。三角形單元以內(nèi)角接近60°為最好。充分利用對稱性與反對稱性。二、單元分析將一個單元上的所有未知量用結(jié)點位移表示，并將分布在單元上的外力等效到結(jié)點上。1、位移函數(shù)選取：根據(jù)有限元法的基本思路，將連續(xù)體離散為有限的單元集合后，此時單元體滿足連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全線彈性假設(shè)。單元與單元之間通過結(jié)點連接并傳遞力，位移法（應(yīng)用最廣）以結(jié)點位移61=（上vi）T為基本未知量，以離散位移場代替連續(xù)位移場。單元體內(nèi)的位移變化可以用位移函數(shù)（位移模式）來表示，因為有限元分析所得結(jié)果是近似結(jié)果，為了保證計算精度和收斂性，x位移函數(shù)應(yīng)盡可能反應(yīng)物體中的真實位移，即滿足完備性和連續(xù)性的要求：①位移模式必須能反映單元的剛體位移。②位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。③位移模式應(yīng)盡可能反應(yīng)位移的連續(xù)性。設(shè)三角形單元三個結(jié)點編號為i、j、m。平面三角形單元位

移函數(shù)選取為u=a1+a2x+a3y可以寫成v=a4+a5x+a6y可以寫成u=u0-3y的形式，u、v反映了單元的剛體平動，①反v=v+3y 0 00采用插值法由單元結(jié)點位移列陣6e=Q采用插值法由單元結(jié)點位移列陣6e=Qv)T計y),v算a1、a2、a3、a4、a5、a6,求出位移d=[u(x(x,y)]。6個未知量，6個代數(shù)方程,得de=N6em輪換)A為三角形面積，為避免A<0,i、j、m按逆時針排de=0 N0 Nde=0 N0 N0'N 0jN 0 Nj式中N=(a+b.x+c.y)/2A,a=XjXm-1yi1ymXjXm(i、j、列。N為形函數(shù)矩陣，形函數(shù)Ni的性質(zhì)有:①N(x.,y.)=1N.(x.,y.)=0Ni(xm,ym)=0②N(x,y)+N(x,y)+N(x,y)=1可推出三個形函數(shù)中，兩個是獨立的，反映了剛體平移。令z=Ni,在直接坐標系中畫出Ni、Nj、Nm的函數(shù)圖形是以Ni(xi,yi)=1為高的四面體，所以結(jié)點位移影響單元的位移場，單元的位移場是線性分布的，相鄰單元在公共邊上的位移是連續(xù)的，單元相鄰邊的位移只取決于單元相鄰公共邊上的結(jié)點而與其他結(jié)點無關(guān)，無論以哪個單元計算相鄰邊的位移，結(jié)果一定相同。

形函數(shù)Ne決定了單元內(nèi)的位移模式，反映了i結(jié)點位移對i單元內(nèi)任意點位移的貢獻率。2、根據(jù)幾何方程用單元結(jié)點位移表示單元應(yīng)變:經(jīng)

ax

如

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包+如

(ayax)12AB2、根據(jù)幾何方程用單元結(jié)點位移表示單元應(yīng)變:經(jīng)

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(ayax)12ABi0ci0cibibj0cj0cjbjbm0cm0cmbm(u viiUV Umvm)T=B5eB為幾何矩陣B可寫為分塊矩陣B=（BiBB)t,B=

jm i(b 0)A0c，^c b)ii/B內(nèi)所有元素與x，y無關(guān)，所以該單元內(nèi)應(yīng)變是常量，反映單元的常量應(yīng)變，滿足完備性和連續(xù)性的要求，這是一種常應(yīng)變單元。3、根據(jù)物理方程用單元結(jié)點位移表示單元應(yīng)力：E。e=D￡eE。e=D￡eD= 1—|LX2(1"01)002)D為彈性矩陣。e=D￡e=DBSe=S5eS=DB中，每一個元素都是常數(shù)所以。S為應(yīng)力矩陣的每一個分量與單元內(nèi)X，y位置無關(guān)，這是一種常應(yīng)力單元。因為在三結(jié)點三角形單元中，位移函數(shù)中含有坐標的一次項，其誤差為Q（a而2），而應(yīng)力、應(yīng)變是常量，其誤差為,區(qū)＞比位移精度低。4、根據(jù)虛功原理用單元結(jié)點位移表示單元結(jié)點力

單元在結(jié)點處受力，單元會發(fā)生變形，因此單元在結(jié)點處所受到的力與單元結(jié)點位移肯定有關(guān)系。單元間通過結(jié)點的相互作用成為整體，因此每一單元的受力一一位移關(guān)系找出來，整體的受力一一位移關(guān)系也就出來了。記單元節(jié)點力為F記單元節(jié)點力為Fe=QFF)t，單元結(jié)點虛位移為5*J(55*J(5* 5* 5*)ijm

單元內(nèi)應(yīng)力為oe=Q8*=Q* 8*Y*%T)T，單元內(nèi)虛應(yīng)變根據(jù)虛功原理，(5*e)Fe=jjQ)OedXdy.t，可得AFe=jjBtDBdxdy-t-5eA因為B、D中元素都是常數(shù)，F(xiàn)e=BTDBtA5e=K5e，單元剛度矩陣。K=BTDBtA為K為6行6列矩陣可寫為k=tAK為6行6列矩陣可寫為k=tABtiBtjBtmD(BiB)=kiikjikmikijkjjkmj1kmkjmkImm/k=BDBAt二kxx kxyJ JIkyx kyyijijAt，kxy表示j結(jié)點處發(fā)生y方向的單位位i移時所引起的i結(jié)點處x方向的結(jié)點力。不同類型不同形式的單元，只有彈性矩陣D和幾何矩陣B不同，計算子塊矩陣的公式相同，平面問題中，影響剛度矩陣K的只有幾何矩陣B。K的性質(zhì)有：K中每個元素表示個單元結(jié)點沿坐標方向發(fā)生單位位移時所引起的結(jié)點力。

結(jié)點力為0,所以只根據(jù)應(yīng)變、應(yīng)力②結(jié)點力為0,所以只根據(jù)應(yīng)變、應(yīng)力所以K中每行每列元素之和為所以K中每行每列元素之和為0，所以園=Fe二K8e無法求得唯一解。5、根據(jù)虛功等效原則計算等效結(jié)點力根據(jù)有限元的基本方法，單元內(nèi)任意點的位移、等最終都要用結(jié)點位移來表示，所以作用在物體上的外力也要用結(jié)點位移表示。為了計算等效結(jié)點力，在任意的虛位移上，使原載荷與等效載荷虛功相等。設(shè)外力為了，結(jié)點虛位移為8*e，則任意點虛位移為d.e二N8*e，等效節(jié)點載荷為勺有d*eTft=8*eTFe Fe=Ntft（集中力）同理得FLe=\Nf.t（面力），F(xiàn)Le=ffNfdxdy.t（體力）。三、整體分析將結(jié)構(gòu)的所有單元通過結(jié)點連接起來，形成一個整體的離散結(jié)構(gòu)以代替實際的連續(xù)體，以形成以結(jié)點位移為未知量的整體結(jié)構(gòu)的有限元代數(shù)方程組，最后求得結(jié)點位移。對結(jié)點受力分析：結(jié)點受到與之相關(guān)的單元給它的反作用力和外載荷的等效結(jié)點力，這兩組力坐標軸方向相反，所以應(yīng)該相等，即￡F=ZF，設(shè)有n個結(jié)點，每個結(jié)點建立兩