寧夏中寧一中2022年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)()A.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度2.馬林●梅森是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物,梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作,人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn),將形如2P﹣1(其中p是素?cái)?shù))的素?cái)?shù),稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.63.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.4.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.2336.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)相等,則項(xiàng)系數(shù)為()A.10 B.32 C.40 D.807.中,,為的中點(diǎn),,,則()A. B. C. D.28.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.10 B.9 C.8 D.79.展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.5110.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.1211.已知等差數(shù)列的前13項(xiàng)和為52,則()A.256 B.-256 C.32 D.-3212.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.14.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí),三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.15.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為_(kāi)_______.16.中,角的對(duì)邊分別為,且成等差數(shù)列,若,,則的面積為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知,且滿足,證明:.18.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點(diǎn)與極值.(2)當(dāng),時(shí),證明:.19.(12分)設(shè)(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),求整數(shù)的最大值.(參考數(shù)據(jù):,)20.(12分)某大學(xué)開(kāi)學(xué)期間,該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務(wù)的前54單沒(méi)有提成,從第55單開(kāi)始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量,現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機(jī)選取一天,估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘,四人選擇日工資方案相互獨(dú)立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請(qǐng)你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說(shuō)明理由.(同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)21.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點(diǎn);(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),求證:;(3)若,且不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.22.(10分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),拋物線:上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足,試判斷是否為定值,若是,求這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解:將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),

得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.2.C【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運(yùn)行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時(shí),不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出,再由模長(zhǎng)公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對(duì)比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對(duì)比,屬于基礎(chǔ)題..5.C【解析】

計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.6.D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng),然后二項(xiàng)式系數(shù)和,可得,最后依據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為又展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí),所以項(xiàng)系數(shù)為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式,熟悉公式,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.7.D【解析】

在中,由正弦定理得;進(jìn)而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8.B【解析】

根據(jù)題意,解得,,得到答案.【詳解】,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9.B【解析】

展開(kāi)式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即;(2)兩個(gè)括號(hào)出,兩個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出1,即;(3)一個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出,三個(gè)括號(hào)出1,即;所以展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過(guò)程,考查定理的本質(zhì),即展開(kāi)式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.10.A【解析】

由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項(xiàng),列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列,一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來(lái),繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計(jì)算量大大減少.11.A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由,,得.選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.12.D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長(zhǎng),即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長(zhǎng)度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過(guò)點(diǎn)作面,垂足為,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過(guò)點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.15.【解析】

利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.16..【解析】

由A,B,C成等差數(shù)列得出B=60°,利用正弦定理得進(jìn)而得代入三角形的面積公式即可得出.【詳解】∵A,B,C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.故由正弦定理,故所以S△ABC,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),三角形的面積公式,考查正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.證明見(jiàn)解析【解析】

將化簡(jiǎn)可得,由柯西不等式可得證明.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,又,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用,相對(duì)不難,注意已知條件的化簡(jiǎn)及柯西不等式的靈活運(yùn)用.18.(1)極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值;(2)證明見(jiàn)解析【解析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值;令,問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.19.(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)將代入函數(shù)解析式可得,構(gòu)造函數(shù),求得并令,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值,由即可證明恒成立,即不等式得證.(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),變形后討論當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況:當(dāng)時(shí),可知滿足題意;將不等式化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最小值為,分別依次代入檢驗(yàn)的符號(hào),即可確定整數(shù)的最大值;當(dāng)時(shí)不滿足題意,因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論.【詳解】(1)證明:當(dāng)時(shí)代入可得,令,,則,令解得,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減,所以,則,即成立.(2)函數(shù)則,若時(shí),當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞減,所以,即當(dāng)時(shí)成立;所以此時(shí)需滿足的整數(shù)解即可,將不等式化簡(jiǎn)可得,令則令解得,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)取得最小值,則,,,所以此時(shí)滿足的整數(shù)的最大值為;當(dāng)時(shí),在時(shí),此時(shí),與題意矛盾,所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論,綜上所述,當(dāng)時(shí),整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法求最值,并判斷函數(shù)值法符號(hào),綜合性強(qiáng),屬于難題.20.(1)0.4;(2);(3)應(yīng)選擇方案,理由見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式,即可計(jì)算兩種計(jì)算方式下的數(shù)學(xué)期望,并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】(1)設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天,這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為,∵,∴估計(jì)為0.4.(2)設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”,設(shè)事件,為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”,則,所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,方案的日工資,方案的日工資,所以隨機(jī)變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05;同理,隨機(jī)變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵,∴建議騎手應(yīng)選擇方案.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法,數(shù)學(xué)期望的求法并由期望作出方案選擇,屬于中檔題.21.(1)x=1(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】

(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進(jìn)而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),分類討論進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點(diǎn)為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè)/r

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