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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.2.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,點,在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.3.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn),使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.4.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為()A. B. C.3 D.56.已知雙曲線的左右焦點分別為,,以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為,若直線與圓相切,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.7.已知隨機變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,8.若,則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.49.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或10.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.11.已知邊長為4的菱形,,為的中點,為平面內(nèi)一點,若,則()A.16 B.14 C.12 D.812.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.14.已知集合,,則____________.15.若、滿足約束條件,則的最小值為______.16.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點,且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(1)求橢圓的方程;(2)過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點,當(dāng)弦的中點落在四邊形內(nèi)(含邊界)時,求直線的斜率的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實數(shù),,滿足,求證:.19.(12分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點,且,求的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.22.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時圓T的方程;(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標(biāo)原點,求證:為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查學(xué)生運算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.2.C【解析】
根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.3.B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時,滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.4.D【解析】
通過列舉法可求解,如兩角分別為時【詳解】當(dāng)時,,但,故充分條件推不出;當(dāng)時,,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5.C【解析】
由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運用,屬于中檔題.6.B【解析】
先設(shè)直線與圓相切于點,根據(jù)題意,得到,再由,根據(jù)勾股定理求出,從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點,因為是以圓的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形,所以,又因為圓與直線的切點為,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此漸近線的方程為.故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程,熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.7.B【解析】
根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機變量滿足,,.所以服從二項分布,由二項分布的性質(zhì)可得:,因為,所以,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.8.D【解析】
a,b可看成是與和交點的橫坐標(biāo),畫出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.9.D【解析】
根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算以及共線定理和單位向量的定義.10.D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.11.B【解析】
取中點,可確定;根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點,連接,,,即.,,,則.故選:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題,涉及到平面向量的線性運算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M行拆解,進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解.12.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當(dāng)直線過點,即時,有最小值為.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,線性規(guī)劃問題,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長故答案為:【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎(chǔ)題.14.【解析】
由于,,則.15.【解析】
作出不等式組所表示的可行域,利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時對應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,即點,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故答案為:.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.4【解析】
根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系,用首項和公差表示出,解出首項和公差的關(guān)系,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算,涉及等比中項,考查基本計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)或【解析】
(1)由已知條件得到方程組,解得即可;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達定理,由得到的范圍,設(shè)弦中點坐標(biāo)為則,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,得到不等式組,解得即可;【詳解】解:(1)由已知橢圓右焦點坐標(biāo)為,離心率為,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為聯(lián)立,消元整理得,,由,解得設(shè)弦中點坐標(biāo)為,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,即,解得或【點睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.18.(1);(2)證明見詳解.【解析】
(1)將不等式的解集用表示出來,結(jié)合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【詳解】解:(1),,,因為的解集為,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng),,,等號成立.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問題,屬于中檔題.19.(1);(2).【解析】
(1)求出,再求恒成立,以及恒成立時,的取值范圍;(2)由已知,在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點,由(1)的結(jié)論對分類討論,根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,則,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時,在區(qū)間上恒成立.∴(其中),解得.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時,在區(qū)間上恒成立,∴(其中),解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.(2).由,知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點,設(shè)該零點為,則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點,同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點.由(1)易知,當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點,不合題意.當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點,不合題意,∴.令,得,∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個零點為,∴,必有.由,得.∴又∵,∴.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點問題,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于較難題.20.(1)(2),.【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系式,即求解數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法,求得,結(jié)合題意,即可求解.【詳解】(1)由題意,當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,可得,即,顯然當(dāng)時上式也適合,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)可得,所以.因為對恒成立,所以,.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解,等差數(shù)列的前n項和公式,以及裂項法求和的應(yīng)用,其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,以及合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.21.(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)求解出導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可;(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點,判斷出的單調(diào)性,從而可確定,利用以及的單調(diào)性,可確定出之間的關(guān)系,從而的值可求.【詳解】(1)證明:∵,∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,令,,則在上單調(diào)遞減,,故.令,則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴
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