2021-2022學(xué)年湘教版(2019) 高一數(shù)學(xué)必修第一冊 第6章 第四節(jié) 課時2 用樣本估計總體的離散程度（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat12頁共NUMPAGES\*MergeFormat12頁第6章第四節(jié)課時2用樣本估計總體的離散程度一、單選題1．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100人成績的方差為（

）分數(shù)54321人數(shù)2010303010A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，首先求出，再由方差的公式即可求解.【詳解】∵，∴．故選：D．2．新春鋼嘉量是由王費國師劉故等人設(shè)計能造的標(biāo)準世器，它包括了禽()，合，升?斗?解這五個容量單位.每一個量又有詳細的分銘，記錄了各器的徑?深?底面積和容積，根據(jù)鉆文不但可以直接測得各個容量單位的量值，而且可以通過對徑，深各個部位的測量?得到精確的計算容.從豹推算出當(dāng)時的標(biāo)座尺度.現(xiàn)根據(jù)銘文計算，當(dāng)時制造容器時所用的暨周率分割為，，，，比徑一周三的古率已有所進步，這個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與極差分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】將4個數(shù)據(jù)相加除以4即可得出平均數(shù)，最大數(shù)減最小數(shù)即為極差.【詳解】所給數(shù)據(jù)為：，，，，所以這4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為.故選：B3．如圖：樣本A和B分別取自兩個不同的總體，他們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準差分別為和，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】從圖形中可以看出樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10，而樣本B的數(shù)據(jù)均不小于10，A中數(shù)據(jù)波動程度較大，B中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，由此得到結(jié)論．【詳解】∵樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10，而樣本B的數(shù)據(jù)均不小于10，，由圖可知A中數(shù)據(jù)波動程度較大，B中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，.故選B.4．“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo).常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲、乙兩位同學(xué)分別隨機抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為（

）A．1.75 B．1.85 C．1.95 D．2.05【答案】C【分析】設(shè)乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，根據(jù)這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8、方差為2.2可得，再根據(jù)方差的公式可求20個數(shù)據(jù)的方差.【詳解】設(shè)甲得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，故這20位市民的幸福感指數(shù)的方差為，因為乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，，故，而，故，而，故所求的方差為，故選：C.【點睛】本題考查方差的計算，注意樣本數(shù)據(jù)的方差為，也可以是，本題屬于中檔題.5．甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如表所示:甲乙丙丁平均成績8.68.98.98.2方差s23.55.62.13.5從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，最佳人選是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，得到丙是最佳人選．【詳解】解：甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，綜合平均數(shù)和方差兩個方面說明丙成績即高又穩(wěn)定，丙是最佳人選，故選：C．6．2020年5月20日，數(shù)學(xué)周練成績出來之后，甲、乙兩位同學(xué)的6次周練成績?nèi)缦卤硭?計甲、乙的平均成績分別為，，下列判斷正確的是（）姓名/成績123456甲125110868313292乙10811689123126113參考公式：方差A(yù)．，甲比乙成績穩(wěn)定 B．，乙比甲成績穩(wěn)定C．，乙比甲成績穩(wěn)定 D．，甲比乙成績穩(wěn)定【答案】D【分析】分別計算出平均成績，，根據(jù)數(shù)據(jù)估計出乙比甲成績穩(wěn)定，從而求出答案．【詳解】，，，結(jié)合數(shù)據(jù)得：乙比甲成績穩(wěn)定，故選：D．【點睛】本題考查求數(shù)據(jù)的平均數(shù)問題，考查數(shù)據(jù)的波動情況，是一道基礎(chǔ)題．7．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機采訪了9名職工的年齡數(shù)據(jù)分別為36，36，37，37，44，40，43，44，43.若用樣本估計總體，則年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到1%）（

）A．56% B．14% C．25% D．67%【答案】A【解析】先計算出、，計算出年齡在內(nèi)的人數(shù)后即可得解.【詳解】，，即.年齡在，即內(nèi)的職工有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是，故選A.【點睛】本題考查了平均數(shù)和標(biāo)準差的計算，屬于基礎(chǔ)題.8．高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大發(fā)明”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別為，它們的平均數(shù)為，方差為；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為，，，，，它們的平均數(shù)為，方差為，則，分別為A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，化簡、運算，即可求解，得到答案.【詳解】由平均數(shù)的計算公式，可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為：故選C.【點睛】本題主要考查了樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算與應(yīng)用，其中解答中熟記樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，合理化簡與計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．某籃球運動員8場比賽中罰球次數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為：2，6，8，3，3，4，6，8，關(guān)于該組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（

）A．中位數(shù)為3 B．眾數(shù)為3，6，8C．平均數(shù)為5 D．方差為4.8【答案】BC【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及方程的計算公式，即可容易選擇.【詳解】對數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，4，6，8，按照從小到大排序即為，中間兩個數(shù)字為：，故其中位數(shù)是，故錯誤；顯然數(shù)據(jù)均出現(xiàn)次，故眾數(shù)為，則正確；又其平均數(shù)為，故正確；則其方差為：，故錯誤.故選：.【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差的求解，屬簡單題.三、填空題10．氣象意義上從春季進入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（均為正整數(shù)，單位：℃）的記錄數(shù)據(jù)如下：①甲地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，眾數(shù)為22；②乙地5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為26，方差為5.2．則從氣象意義上肯定進人夏季的地區(qū)是______（填序號）．【答案】①②【分析】根據(jù)眾數(shù)可得中位數(shù)不可能是26，從而可判斷甲地；再根據(jù)方差的定義可判斷乙地，即求.【詳解】對于①，因為甲地5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)為22，所以22至少出現(xiàn)2次，若有一天的日平均溫度低于22℃，則中位數(shù)不可能是26，所以甲地肯定進入夏季；對于②，設(shè)乙地日平均溫度由低到高分別為，根據(jù)方差的定義可得，，所以，若有一天的日平均溫度低于22℃，不妨設(shè)，則只有21，25，26，26，26或21，26，26，26，27滿足方程式，而此時不滿足平均數(shù)為26，故5天的日平均溫度均不低于22℃，所以乙地肯定進入夏季．故從氣象意義上肯定進入夏季地區(qū)的是①②．故答案為：①②11．在一個容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個數(shù)據(jù)，其中一個數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未污損，即9，10，11，1■，那么這組數(shù)據(jù)的方差最大時，被污損的兩個數(shù)據(jù)分別是______.【答案】19，1【解析】設(shè)最后兩個數(shù)據(jù)分別為,.由平均數(shù)為10可得的等量關(guān)系,變形后得.代入方差公式后,計算可得表達式.即可求得當(dāng)方差取得最大值時的值,即可得兩個數(shù)字.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后2個分別是,,則由平均數(shù)為10可得,解得,故,故,分析知,,所以當(dāng)取9時,取得最大值,為,所以這組數(shù)據(jù)的方差最大時,被污損的兩個數(shù)據(jù)分別是19,1.故答案為:19;1【點睛】本題考查了平均數(shù)與方差公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.四、雙空題12．已知樣本9，10，11，，的平均數(shù)是10，標(biāo)準差是，則______，______.【答案】

20

96【分析】先由平均數(shù)的公式列出x+y=20，然后根據(jù)方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.【詳解】根據(jù)平均數(shù)及方差公式，可得:化簡得：，，或則，故答案為：20；96【點睛】本題主要考查了平均數(shù)和方等概念，以及解方程組，屬于容易題.13．某醫(yī)院急救中心隨機抽取20位病人等待急診的時間記錄如下表：等待時間/分頻數(shù)用上述分組資料計算出病人平均等待時間的估計值______，病人等待時間方差的估計值______.【答案】

9.5

28.5【解析】直接套用平均數(shù)公式與方差公式，即可得到本題答案.【詳解】（1）；(2)故答案為：（1）9.5；（2）28.5【點睛】本題主要考查平均數(shù)公式與方差公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.五、解答題14．某商場從甲、乙、丙三個果園分別采購了1000kg，1500kg，1500kg蘋果．現(xiàn)采用分層抽樣的方法對這些蘋果的質(zhì)量（單位：kg）進行測算，甲、乙、丙三個果園中樣本的平均質(zhì)量分別為0.6kg，0.5kg，0.4kg，方差分別為0.03，0.02，0.01．(1)求這批蘋果的平均質(zhì)量和方差（結(jié)果精確到0.01）；(2)若甲、乙、丙三個果園的蘋果的優(yōu)果率分別為80%，70%，60%，求這批蘋果的優(yōu)果率（結(jié)果精確到0.01）．【答案】(1)平均質(zhì)量為（kg），方差為(2)69%【分析】（1）根據(jù)平均質(zhì)量的計算公式以及方差的計算公式即可求解.（2）利用甲、乙、丙三個果園的蘋果的優(yōu)果率即可求解.【詳解】(1)這批蘋果的平均質(zhì)量為（kg），方差為．(2)，所以這批蘋果的優(yōu)果率約為69%．15．將某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑杭捉M：6，9，8.5，7.5，6.5，7，8，9，9.5，8；乙組：8.5，9.5，7.5，7，8.5，8，8.5，6.5，9.5，8.5．試分別計算兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)和方差，并說明哪一組的成績較穩(wěn)定？【答案】甲組的極差為3.5分，平均數(shù)為7.9分，方差為1.19；乙組的極差為3分，平均數(shù)為8.2分，方差為0.86；乙組的成績較穩(wěn)定【分析】計算甲組、乙組的平均數(shù)與方差，根據(jù)方差的意義即可得出答案.【詳解】甲組：最大值為9.5分，最小值為6分，故極差為分．將每一個數(shù)乘以10，再減去75，可得，15，10，0，，，5，15，20，5．這組新數(shù)的平均數(shù)為，方差為．由此可知，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.9分，方差為．乙組：最大值為9.5分，最小值為6.5分，故極差為分．將每一個數(shù)乘以10，再減去80，可得5，15，，，5，0，5，，15，5．這組新數(shù)的平均數(shù)為，方差為．由此可知，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.2分，方差為．因為乙組的方差小于甲組的方差，所以乙組的成績較穩(wěn)定．16．甲、乙兩位同學(xué)進行投籃比賽，每人玩5局．每局在指定線外投籃，若第一次不進，則再投第二次，依此類推，但最多只能投6次．當(dāng)投進時，該局結(jié)束，并記下投籃的次數(shù)；當(dāng)6投不進，該局也結(jié)束，記為“×”．第一次投進得6分，第二次投進得5分，第三次投進得4分，依此類推．第6次投不進，得0分．兩人的投籃情況如下：第1局第2局第3局第4局第5局甲5次×4次5次1次乙×2次4次2次×請判斷哪位同學(xué)投籃的水平較高．【答案】甲投籃的水平較高【分析】分別計算得到甲和乙的平均數(shù)和標(biāo)準差，從平均數(shù)和標(biāo)準差兩方面得到結(jié)果.【詳解】依題意，甲、乙的得分情況如下表：第1局第2局第3局第4局第5局甲20326乙05350甲得分的平均數(shù)為2.6,乙得分的平均數(shù)為2.6；甲得分的標(biāo)準差約為1.96，乙得分的標(biāo)準差約為2.24.所以甲得分的平均數(shù)與乙得分的平均數(shù)相等，甲得分的標(biāo)準差小于乙得分的標(biāo)準差．故甲投籃的水平較高．【點睛】這個題目考查了應(yīng)用數(shù)據(jù)對樣本做出選擇和評價，一般是從平均成績和方差兩方面做出選擇，平均數(shù)是體現(xiàn)成績的高低，方差體現(xiàn)成績的穩(wěn)定性.17．年是打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計劃的決勝之年，近年來，在各地各部門共同努力下，藍天保衛(wèi)戰(zhàn)各項任務(wù)措施穩(wěn)步推進，取得了積極成效，某學(xué)生隨機收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數(shù)，得到頻數(shù)分布表如下：年上半年中天的頻數(shù)分布表的分組天數(shù)年上半年中天的頻數(shù)分布表的分組天數(shù)（1）估計年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例；（2）求年上半年甲城市的平均數(shù)和標(biāo)準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（精確到）（3）用所學(xué)的統(tǒng)計知識，比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質(zhì)量情況.附：的分組空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染.【答案】（1）；（2）平均數(shù)為，標(biāo)準差為；（3）年上半年空氣質(zhì)量優(yōu)于年上半年.【分析】（1）根據(jù)城市空氣質(zhì)量優(yōu)良的值的范圍可得出年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)，進而可計算出甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例；（2）將每組的中點值乘以對應(yīng)組的頻率，相加可得出平均數(shù)，然后利用標(biāo)準差公式可求得年上半年甲城市的標(biāo)準差；（3）根據(jù)年上半年和年上半年天中空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的大小關(guān)系或的平均數(shù)的估計值的大小關(guān)系或未達到空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計值的大小關(guān)系來比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質(zhì)量情況.【詳解】（1）依題可知，所調(diào)查的年上半年中的天里，甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為，甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的頻率為.用樣本頻率估計總體得，年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良大數(shù)的比例為；（2）年上半年甲城市的平均數(shù)的估計值為.年上半年甲城市的標(biāo)準差的估計值為.所以，年上半年甲城市的平均數(shù)和標(biāo)準差的估計值分別