211合情推理學案（人教A版選修1-2）

1、21.1合情推理課標解讀1.了解合情推理的含義，正確理解歸納推理與類比推理(重點)2能用歸納和類比進行簡單的推理(難點)3了解合情推理在數學發(fā)現中的作用.歸納推理【問題導思】1數列an中，a1eq f(1,2)，a2eq f(3,4)，a3eq f(7,8)，a4eq f(15,16).你能猜出a5的值嗎？【提示】a5eq f(31,32).2直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和都是180，你能猜想出什么結論？【提示】所有三角形內角和都是180.定義特征由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理歸納推理是

2、由部分到整體、由個別到一般的推理類比推理【問題導思】已知三角形的如下性質：(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積等于高與底乘積的eq f(1,2).1試根據上述三角形的性質推測空間四面體的性質【提示】(1)四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積(2)四面體的體積等于底面積與高乘積的eq f(1,3).2以上兩個推理有什么共同特點？【提示】都是根據三角形的特征，類比四面體相關元素得出結論的定義特征由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理類比推理是由特殊到特殊的推理合情推理【問題導思】1歸納推理與類比推理有沒有共同

3、點？【提示】二者都是從具體事實出發(fā)，推斷猜想新的結論2歸納推理與類比推理得出的結論一定正確嗎？【提示】不一定正確歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理歸納推理有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是()圖211A26B31C32 D36【思路探究】本題中圖形的變化比較簡單，可有兩種思路：第一種，直接查個數，找到變化規(guī)律后再猜想；第二種，看圖形的排列規(guī)律，每相鄰的兩塊無紋正六邊形之間有一塊“公共”的有菱形紋正六邊形【自主解答】法一有菱形紋的正六邊形個數

4、如下表：圖案123個數61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是65(61)31.故選B.法二由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個有菱形紋的正六邊形圍繞(第一個圖案)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊有菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的有菱形紋正六邊形)，第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數為65(61)31，故選B.【答案】B1解答本題時，關鍵是找出相鄰圖形間正六邊形個數的變化規(guī)律2對于圖形中的歸納推理問題，可從圖形中相關元素(點、直線等)的變化規(guī)律入手直接

5、求解，也可將其轉化為數列問題進行求解(2012陜西高考)觀察下列不等式：1eq f(1,22)eq f(3,2)，1eq f(1,22)eq f(1,33)eq f(5,3)，1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(7,4)，照此規(guī)律，第五個不等式為_【解析】觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分數的分母與右端值的分母相等，且每行右端分數的分子構成等差數列第五個不等式為1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(1,52)eq f(1,62)eq f(11,6).【答案】1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,

6、42)eq f(1,52)eq f(1,62)eq f(11,6)類比推理如圖212所示，在平面上，設ha，hb，hc分別是ABC三條邊上的高，P為ABC內任意一點，P到相應三邊的距離分別為pa，pb，pc，可以得到結論eq f(pa,ha)eq f(pb,hb)eq f(pc,hc)1.圖212證明此結論，通過類比寫出在空間中的類似結論，并加以證明【思路探究】三角形類比四面體，三角形的邊類比四面體的面，三角形邊上的高類比四面體以某一面為底面的高【自主解答】eq f(pa,ha)eq f(f(1,2)BCpa,f(1,2)BCha)eq f(SPBC,SABC)，同理，eq f(pb,hb)e

7、q f(SPAC,SABC)，eq f(pc,hc)eq f(SPAB,SABC).SPBCSPACSPABSABC，eq f(pa,ha)eq f(pb,hb)eq f(pc,hc)eq f(SPBCSPACSPAB,SABC)1.類比上述結論得出以下結論：如圖所示，在四面體ABCD中，設ha，hb，hc，hd分別是該四面體的四個頂點到對面的距離，P為該四面體內任意一點，P到相應四個面的距離分別為pa，pb，pc，pd，可以得到結論eq f(pa,ha)eq f(pb,hb)eq f(pc,hc)eq f(pd,hd)1.證明如下：eq f(pa,ha)eq f(f(1,3)SBCDpa,f

8、(1,3)SBCDha)eq f(VPBCD,VABCD)，同理，eq f(pb,hb)eq f(VPACD,VABCD)，eq f(pc,hc)eq f(VPABD,VABCD)，eq f(pd,hd)eq f(VPABC,VABCD).VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD，eq f(pa,ha)eq f(pb,hb)eq f(pc,hc)eq f(pd,hd)eq f(VPBCDVPACDVPABDVPABC,VABCD)1.1類比推理的基本原則是根據當前問題的需要，選擇適當的類比對象，可以從幾何元素的數目、位置關系、度量等方面入手，由平面中相關結論可以類比得到空間中的相關結

9、論2平面圖形與空間圖形類比如下：平面圖形點線邊長面積線線角三角形空間圖形線面面積體積二面角四面體在本例中，若ABC的邊長分別為a，b，c，其對角分別為A、B、C，那么由abcos Cccos B可類比四面體的什么性質？【解】在如圖所示的四面體中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小猜想SS1cos S2cos S3cos .合情推理的綜合應用在公比為4的等比數列bn中，若Tn是數列bn的前n項積，則有eq f(T20,T10)，eq f(T30,T20)，eq f(T40,T30)也成等比數列，且公比

10、為4100；類比上述結論，相應地在公差為3的等差數列an中，若Sn是an的前n項和(1)寫出相應的結論，判斷該結論是否正確，并加以證明；(2)寫出該結論一個更為一般的情形(不必證明)【思路探究】結合已知等比數列的特征可類比等差數列每隔10項和的有關性質【自主解答】(1)數列S20S10，S30S20，S40S30也是等差數列，且公差為300.該結論是正確的證明如下：等差數列an的公差d3，(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)10d10d10eq o(d,sdo4(10個)100d300，同理可得：(S40S30)(S30S20)300，所以數列S20S1

11、0，S30S20，S40S30是等差數列，且公差為300.(2)對于kN*，都有數列S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差數列，且公差為k2d.在等比數列與等差數列的類比中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類比特點等差數列有如下性質：若數列an是等差數列，則當bneq f(a1a2an,n)時，數列bn也是等差數列；類比上述性質，相應地，若數列cn是正項等比數列，則當dn_時，數列dn也是等比數列【解析】類比等差數列與等比數列的性質：定義中“差”與“商”，中項中“和”與“積”，可猜測當dneq r(n,c1c2cn)時，dn為等比數列【答案】eq r(n,c1c2cn)歸納

12、推理在數陣中的應用(12分)觀察如圖所示的“三角數陣”1第1行22第2行343第3行 4774第4行51114115第5行記第n行的第2個數為an(n2，nN*)，請仔細觀察上述“三角數陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個數依次為_、_、_、_、_、_；(2)依次寫出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an1與an的關系式【思路點撥】觀察數陣，總結規(guī)律：除首末兩數外，每行的數等于它上一行肩膀上的兩數之和，得出(1)的結果(2)由數陣可直接寫出答案(3)寫出a3a2，a4a3，a5a4，從而歸納出(3)的結論【規(guī)范解答】由數陣可看出，除首末兩數外，每行中的數都等于它上一行的肩膀上的兩數之

13、和，且每一行的首末兩數都等于行數(1)6,16,25,25,16,6.4分(2)a22，a34，a47，a511.8分(3)a3a22，a4a33，a5a44，由此歸納：an1ann.12分對于數陣問題的解決方法，既要清楚每行、每列數的特征，又要對上、下行，左、右列間的關系進行研究，找到規(guī)律，問題即可迎刃而解1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數學研究中，在得到一個新結論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)展結論，在證明一個數學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為：從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯想歸納、類比提出猜想1下列說法正確的是()A由合情推理得出的結論一定是正確的

14、B合情推理必須有前提有結論C合情推理不能猜想D合情推理得出的結論不能判斷正誤【解析】根據合情推理可知，合情推理必須有前提有結論，故選B.【答案】B2如果數列an的前n項和Sneq f(3,2)an3，那么這個數列的通項公式是()Aan2(n2n1)Ban32nCan3n1 Dan23n【解析】當n1時，a1eq f(3,2)a13，a16，由Sneq f(3,2)an3，當n2時，Sn1eq f(3,2)an13，當n2時，anSnSn1eq f(3,2)aneq f(3,2)an1，an3an1.a16，a236，a3326.猜想：an63n123n.故選D.【答案】D3下列平面圖形中，與空

15、間中的平行六面體作為類比對象較為合適的是()A三角形 B梯形C矩形 D平行四邊形【解析】因為平行六面體的六個面全為平行四邊形，并且相對的每一對面平行且全等類比這一性質可知平面中應類比平行四邊形更合適【答案】D4在RtABC中，若C90，則cos2Acos2B【解】如圖，在RtABC中，cos2Acos2B(eq f(a,c)2(eq f(b,c)2eq f(a2b2,c2)1.把結論類比到四面體PABC中，我們猜想，在三棱錐PABC中，若三個側面PAB，PBC，PCA兩兩互相垂直，且與底面所成的二面角分別為，則cos2cos2cos21.一、選擇題1下列關于歸納推理的說法錯誤的是()A歸納推理

16、是一種從一般到一般的推理過程B歸納推理是一種從特殊到一般的推理過程C歸納推理得出的結論不一定正確D歸納推理具有由具體到抽象的認知功能【解析】歸納推理是由特殊到一般的推理，其結論未必正確故B、C、D正確，A錯誤【答案】A2類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推知正四面體的下列性質，你認為比較恰當的是()各棱長相等，同一頂點上的任意兩條棱的夾角相等；各個面是全等的正三角形，相鄰的兩個面所成的二面角相等；各個面是全等的正三角形，同一頂點上的任意兩條棱的夾角相等；各棱長相等，相鄰的兩個面所成的二面角相等ABCD【解析】類比推理的原則是：類比前后保持類比規(guī)則的一致性，而違背了這一原則，

17、只有符合【答案】B3觀察下列各式：7249,73343,742 401，則72 011的末兩位數字為()A01 B43 C07 D49【解析】7249,73343,742 401,7516 807,76117 649，由此看出，末兩位數字具有周期性，且周期為4，又2 01145023，由此知72 011的末兩位數字應為43，故選B.【答案】B4下面幾種推理是合情推理的是()由圓的性質類比出球的有關性質；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180，歸納出所有三角形的內角和都是180；張軍某次考試成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分；三角形內角和是180，四邊形內角和是36

18、0，五邊形內角和是540，由此得凸多邊形內角和是(n2)180.A B C D【解析】是類比推理；是歸納推理；是歸納推理所以、是合情推理【答案】C5已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，則f2 013(x)等于()Asin x Bsin x Ccos x Dcos x【解析】f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，可以歸納出f4n(x)sin x，f4n1(x)cos x，f4n2(x)sin x，f4n3(x)cos x，f2 013(x)f1(x)cos x.【答案

19、】C二、填空題6已知bn為等比數列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數列，a52，則an的類似結論為_【解析】結合等差數列的特點，類比等比數列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，則有a1a2a3a929.【答案】a1a2a3a9297把1、3、6、10、15、21、這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以排成一個正三角形(如圖213)圖213試求第七個三角形數是_【解析】觀察知第n個三角形數為123neq f(nn1,2)，當n7時，eq f(771,2)28.【答案】288在平面上，若兩個正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_【解析】兩個正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，它們的體積比為18.【答案】18三、解答題9設平面內有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，若用f(n)表示這n條直線交點的個數(1)求f(4)；(2)當n4時，求f(n)(用n表示)【解】(1)如圖所示，可得f(4)5.(2)f(3)2，f(4)5f(3)3，f(5)9f(4)4，f(6)14f(5)5.每增加一條直線，交點增加的個數等于原來直線的條數f(n)f(n1