2021考研數學三真題及答案

1、 6/62021考研數學三真題及答案 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上） （1）設,0,0,0,1cos )(=?=x x x x x f 若若 其導函數在x=0處連續(xù)，則的取值范 圍是_. （2）已知曲線 b x a x y +-=2 33與x 軸相切，則2 b 可以通過a 表示為 =2b _. （3）設a0， ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(? ?=而 D 表示全平面，則 ?-=D dxdy x y g x f I )()(=_. （4）設n 維向量0,),0,0,(+-+=b x bx x x ax AX X x x x f T

2、中二次型的矩 陣A 的特征值之和為1，特征值之積為-12. 求a,b 的值； 利用正交變換將二次型f 化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣. 十一、（本題滿分13分） 設隨機變量X 的概率密度為 ;,8,1,0,31 )(32 其他若? ?=x x x f F(x)是X 的分布函數.求隨機變量Y=F(X)的分布函數. 十二、（本題滿分13分） 設隨機變量X 與Y 獨立，其中X 的概率分布為 ? ? ?7.03.021 X ， 而Y 的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y 的概率密度g(u). 答案 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題 中橫線上） （1

3、）設,0,0,0,1cos )(=?=x x x x x f 若若 其導函數在x=0處連續(xù)，則的取值范 圍是2. 點撥當x 0可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導. 過程：當1時，有 ） ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =?+=-x x x x x x x f 若若 顯然當2時，有) 0(0)(lim 0f x f x =，即其導函數在x=0處連續(xù). （2）已知曲線 b x a x y +-=2 33與x 軸相切，則2 b 可以通過a 表示為 =2b 64a . 點撥曲線在切點的斜率為0，即0=y ，由此可確定切點的坐標應滿足的條件，再根據在切點處縱坐標為零，即可找到2 b

4、 與a 的關系. 過程：由題設，在切點處有 03322=-=a x y ，有.22 a x = 又在此點y 坐標為0，于是有 030023 0=+-=b x a x , * 故.44)3(6422 202202 a a a x a x b =?=-= 點睛：有關切線問題應注意斜率所滿足的條件，同時切點還應滿足曲線方程. （3）設a0， ， x a x g x f 其他若, 10,0,)()(? ?=而D 表示全平面，則 ?-=D dxdy x y g x f I )()(=2 a . 點撥本題積分區(qū)域為全平面，但只有當10,10- x y x 時，被積函 數才不為零，因此實際上只需在滿足此不等

5、式的區(qū)域內積分即可. 過程：?-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ?-1 0,102 = . )1(2 1 2 10 1 2a dx x x a dy dx a x x =-+=? + 點睛：若被積函數只在某區(qū)域內不為零，則二重積分的計算只需在積分區(qū)域與被積函數不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可. （4）設n 維向量0,),0,0,(+-+=b x bx x x ax AX X x x x f T ， 中二次型的矩陣A 的特征值之和為1，特征值之積為-12. 求a,b 的值； ( 利用正交變換將二次型f 化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.

6、 點撥特征值之和為A 的主對角線上元素之和，特征值之積為A 的行列式，由此可求出a,b 的值；進一步求出A 的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構造的矩陣即為所求的正交矩陣. 過程：（1）二次型f 的矩陣為 .200200? ? ?-=b b a A 設A 的特征值為).3,2,1(=i i 由題設，有 1)2(2321=-+=+a ， . 12242 002002321-=-=-=b a b b a 解得a=1,b=-2. (2)由矩陣A 的特征多項式 )3()2(2 02 020201 2+-=+= -A E ， 得A 的特征值.

7、3,2321-= 對于,221=解齊次線性方程組0)2(=-x A E ，得其基礎解系 T )1,0,2(1=，.)0,1,0(2T = 對于33-=，解齊次線性方程組0)3(=-x A E ，得基礎解系 .)2,0,1(3T -= 由于321,已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將 321,單位化，由此得 ? T )51, 0,52( 1=，T )0,1,0(2=， . )5 2,0,5 1( 3T - = 令矩陣 ? ? ? ?- =5205 1010510 5232 1Q ， 則Q 為正交矩陣.在正交變換X=QY 下，有 ? ? ?-=300020002AQ Q T ， 且二次型

8、的標準形為 .3222 32221y y y f -+= 點睛：本題求a,b ，也可先計算特征多項式，再利用根與系數的關系確定： 二次型f 的矩陣A 對應特征多項式為 ). 2()2()2(2 2 00 22b a a b b a A E +=+= - 設A 的特征值為321,，則 ).2(,2,22 32321b a a +-=-=+=由題設得 1)2(2321=-+=+a ， .12)2(22321-=+-=b a 解得a=1,b=2. 十一、（本題滿分13分） 設隨機變量X 的概率密度為 ;,8,1,0,31 )(32 其他若? ?=x x x f F(x)是X 的分布函數.求隨機變量Y

9、=F(X)的分布函數. 點撥先求出分布函數F(x)的具體形式，從而可確定Y=F(X),然后按定義求Y 的分布函數即可.注意應先確定Y=F(X)的值域范圍 )1)(0(X F ，再對 y 分段討論. 過程：易見，當x8時，F(x)=1. 對于8,1x ，有 . 131)(31 32 -=? x dt t x F x 設G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數.顯然，當0y 時，G(y)=0；當1y 時，G(y)=1. 對于)1,0y ，有 )()(y X F P y Y P y G = =)1(1 33 +=-y X P y X P =.)1(3 y y F =+ 于是，Y=F(X)的分布函數為

10、 .1, 10,0,1,0)(? ? ?=y y y y y G 若若若 點睛：事實上，本題X 為任意連續(xù)型隨機變量均可，此時Y=F(X)仍服從均勻分布: 當y0時，G(y)=0; 當1y 時，G(y)=1; 當01 y 時，)()(y X F P y Y P y G = = )(1 y F X P - = .)(1y y F F =- 十二、（本題滿分13分） 設隨機變量X 與Y 獨立，其中 X 的概率分布為 ? ? ?7.03.021 X ， 而Y 的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y 的概率密度g(u). 點撥求二維隨機變量函數的分布，一般用分布函數法轉化為求相應的概率.注意X 只有兩個可能的取值，求概率時可用全概率公式進行計算. 過程：設F(y)是Y 的分布函數，則由全概率公式，知U=X+Y 的分布函數為 )(u Y X P u G += =27.013.0=+=+X u Y X P X u Y X P =227.0113.0=-+=-X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 獨立，可見 G(u)=27.013.0-+-u Y P u Y P =).2