紅寶書2005-12考研輔導(dǎo)班教務(wù)電話數(shù)學(xué)三十六技15

1、150力微積分上（三十六技之八8用積分表達(dá)與計算應(yīng)用問題的技* 定積分應(yīng)用綜合問題（注意極坐標(biāo)與參數(shù)方程的表達(dá)8-1y cxn，其中cn0 a b（1）y cxnx ab，y canS y cxnx150力微積分上（三十六技之八8用積分表達(dá)與計算應(yīng)用問題的技* 定積分應(yīng)用綜合問題（注意極坐標(biāo)與參數(shù)方程的表達(dá)8-1y cxn，其中cn0 a b（1）y cxnx ab，y canS y cxnx ny cbnS2 ，證明存在唯一一點n a,b S2 n1 a 解（1）S1 c(x a )dx nnnc annnabbS c(bn xn)dx bnnn 2nnbn1 nS1 nnan，bntn1

2、tn1 a b S(t) S1(t)S2(t) nt a nbnnS(t) c(bn an) 0S(t是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，因此nS(tbn1 n（2）limn bn nb 例8-2 設(shè)k y kx2與y cosx (0 x )在x t 處相交，記 為 y kx212y cost, y cos與 x y cost x 0 S 22S(t) S 在)內(nèi)必有唯一最大值2cos證 首先，曲線交點為(t , cost，且cost kt k ，t2t2om - 1 cos2tS (t) (costx )dx tcos32，1t0S (t) (cost cosx)dx t)cost 1sint222tS(t)

3、 1t)cost sint，t，2且S(0) 2 0，S )0 ，因此存在t )使20323S(t00cos2tS (t) (costx )dx tcos32，1t0S (t) (cost cosx)dx t)cost 1sint222tS(t) 1t)cost sint，t，2且S(0) 2 0，S )0 ，因此存在t )使20323S(t00S(t) 1sint ( 1t)cost 3當(dāng)t0 S (t) 0S(t 為(0 022S(tS(t 為(0 02ttu8-3y fxx(t) etu sin duy(t etu cos32221確定.則該曲線當(dāng)t 時 的法線方程為y x2ttduu3

4、t3eteusin du eteu解 x(t) dudt 322ttdet eu cos2udu eteu cos2uducosy(t) dt 22 f ( ) 2dx t22*x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積（小圓臺法D(xya xb,0 y f(x)xbV f 2xabVy *y 軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積（薄壁筒法f (x)dxa* 曲線 y f a x b x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為f(x) 1f (x) dxA y(t) x(t)2 y(t)2 dtb2A a例 8-4 設(shè)有曲線y x 1, 過原點作其切線, 求此曲線,切線及x軸為xom - 2 1解 y，設(shè)切點為(x x 1)，則切線

5、為x12xy ，切點應(yīng)滿足 x 1 ，0 x 12 x 200 2xA1 x2 5A2 20 2dx 52AA A 11 511解 y，設(shè)切點為(x x 1)，則切線為x12xy ，切點應(yīng)滿足 x 1 ，0 x 12 x 200 2xA1 x2 5A2 20 2dx 52AA A 11 516* 設(shè) f (xg(x在區(qū)間abD(xya xb, f(x y g(x)g (x) f 212bxg(x) fb2ax ， y 。g(x) fg(x) fbbaax x(t), y t M (t) x(t)2 y(t)2 dt其質(zhì)量線密度為(t) xy M (t)y(t) x(t)2 y(t)2 ，xM

6、(t)x(t) x(t)2 y(t)2 y其質(zhì)心坐標(biāo)x, y(t)x(t) x(t)2 y(t)2 (t)y(t) x(t)2 y(t)2 x ，y (t) x(t)2 y(t)2 (t) x(t)2 y(t)2 若平面光滑曲線的方程為y f a x b,om - 3 (t)x 1f(t)2(t)f(x) 1f(t)2 x y (t) 1f (t)2 (t) 1f (t)2 (0)f (x) 8-5f (x在0,1X,Y圍成區(qū)域之形心, 試證 X 3y f (x), y 0, x 41xf330證 要證明X ，即X ，144f(t)x 1f(t)2(t)f(x) 1f(t)2 x y (t)

7、1f (t)2 (t) 1f (t)2 (0)f (x) 8-5f (x在0,1X,Y圍成區(qū)域之形心, 試證 X 3y f (x), y 0, x 41xf330證 要證明X ，即X ，144f01同乘f (x)dx，移項造輔助函數(shù)031即證xf (x)dx 0，x0,1，0433xxxF(x)tx f (t)dt tf (t)dt f (t)dt0 4400F(0) 0F(1) 0134f (t)dt ，且F00 xF (x)xf (x)40Fx 1 fx 1xfx 3 fx) 1xfx 1 fxF0044442F x 1 xf x 1 fx) 1 xf x 1 xf () 1xf x f

8、()，其中(0 x44444f x0f xf x f (0F x0Fx單調(diào)增，因此 F x) F (0) 0Fx) 單調(diào)增，且可推知 Fx F(0) 0Fx單調(diào)增，F(xiàn)(1) F(0) 0。例8-6（1）密度均勻的上半圓周x2 y2 R2y0的質(zhì)心解: 由對稱性, x 0 x Rcost, y Rsin0 t . X 0 。Rsint 222y R8-6（2）a0求曲線ax y2與ay x2x23aax 3a0X =1x2aax (309a 由對稱性Y ，故形心為)20 om - 4 例8-6（3） 半徑為R的勻質(zhì)（ 1）半球的質(zhì)量中心 。xoy平面上，質(zhì)量中心的坐標(biāo)為X,YZX Y 0RRzz

9、2)2dzR 33423R 故形心為(0,0, R0Z 28830 x例8-7D (xy0 y2 2pxx為 ax2a解 設(shè)形心坐標(biāo)X,Y，由對稱性Y 0X 0a3202故形心為( a,0例8-6（3） 半徑為R的勻質(zhì)（ 1）半球的質(zhì)量中心 。xoy平面上，質(zhì)量中心的坐標(biāo)為X,YZX Y 0RRzz2)2dzR 33423R 故形心為(0,0, R0Z 28830 x例8-7D (xy0 y2 2pxx為 ax2a解 設(shè)形心坐標(biāo)X,Y，由對稱性Y 0X 0a3202故形心為( a,038-8Dy px3y 0P 0及其過點(1, px軸圍成，設(shè)此區(qū)域的形心為X,YX pDy6 173：Ap，M

10、y p，X ，Vyp, p 7解（1）33py p3p(x1x軸交點為(23,0y 軸交點為(0,2p 1 p1面積A303p(x1)xdx 1 p51px3 1(3px2 2y2033 1 p1 4)p8759X 2dy （2）V 1113p( )2 2p32ypp y33350p363 p ，得到p 7om - 5 3或：由古耳金定理得到Vy 2XA p p p 7壓力問題：同一深度的各方向的壓強相等, 小微元的壓力微元為dp ghdA其中h為該小微元離液面的高度, g dA解 以垂直向下直角邊頂點為坐標(biāo)原點，垂直向上方向為Y X Y aka l y 3或：由古耳金定理得到Vy 2XA p

11、 p p 7壓力問題：同一深度的各方向的壓強相等, 小微元的壓力微元為dp ghdA其中h為該小微元離液面的高度, g dA解 以垂直向下直角邊頂點為坐標(biāo)原點，垂直向上方向為Y X Y aka l y kxP(kxdy表示ka y 為水深，則有微分關(guān)系）dP(k) x(ka y)dy k2ax x2dxk2a3k2la于是 P(k) (ax x )dx 6(k 22，0(2kk2)lP (k) ，6(k k 2P(k) 在駐點兩則變號(先正后負(fù))，因此最大壓力為P(2) 8-10 8m，480kg/m3y 2xy y體積微元為dv y2dy，質(zhì)量微元為dm 480dy22導(dǎo)致作功的有效行程為

12、(10 y) 米， 因此功的微元（元功 ）ydw480(10 dy ，所作功4y88w 480(10 dy120(10y2 y3dy 8192(kgm400（1）（2）om - 6 應(yīng)掌握：直接比較法與極限比較法（比階法 arctan xdxdx8-111 xln dx8-121x5 ln 0X 0 x X 0lnx 3 x 3xxlnx7, p 16x5 x5 A8-13 設(shè)廣義積分 A應(yīng)掌握：直接比較法與極限比較法（比階法 arctan xdxdx8-111 xln dx8-121x5 ln 0X 0 x X 0lnx 3 x 3xxlnx7, p 16x5 x5 A8-13 設(shè)廣義積分

13、A 2 0 (sinx)ln(1sin01dx p q8-14(1xp)lnq(10p 和 q 1（混合型 11例8-15（1）證明廣義積x lnxdx收斂（2）證明x lnxdx 02200 x131lnx 0，所x lnxdx收斂dx收斂，又因為lim2200在(0,1（2）yx 0,則有2ln x 1 0，解得唯一駐x 202 y0y x2 lnxom - 7 a 為奇點時，f(x)dx a f(x)dx f(為混合型廣義積2a xap dxp1收斂p 0為普通定積尺度1： 1 dx 或x(x a)p1收斂p 0為普通定積y 當(dāng)xe 2 y x2 lnx1所以x0 e 2 是極小值點，且ymin 1另有 lim x2 lnx 0，limx2lnx 0，所以max y 1并且當(dāng)x(0,1時，y(x) 0，于是得到 x lnxdx 02018-160dx(15x 21 2x tany 當(dāng)xe 2 y x2 lnx1所以x0 e 2 是極小值點，且ymin 1另有 lim x2 lnx 0，limx2lnx 0，所以max y 1并且當(dāng)x(0,1時，y(x) 0，于是得到 x lnxdx 02018-160dx(15x 21 2x tantdx ，1t2020secdsin11I dt arctan(2si