冪級(jí)數(shù)經(jīng)典講稿

1、關(guān)于冪級(jí)數(shù)經(jīng)典第一張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月主要內(nèi)容：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)及其收斂性。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算。函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。第二張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在前面，我們?cè)懻撨^(guò)公比為q的無(wú)窮等比級(jí)數(shù)：當(dāng)|q|1時(shí)，級(jí)數(shù)是收斂的，其和為 ，因此我們也可以把q看作(-1，1)內(nèi)變化的一個(gè)自變量，用x代替它，即可得到:由于上式對(duì)區(qū)間(-1，1)內(nèi)的每一個(gè)q值都成立，它的每一項(xiàng)都是以x為自變量的函數(shù)。第三張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8-3)的一個(gè)收斂點(diǎn)；收斂點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合，一般地，由定義在同一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)序列構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)：

2、u1(x) + u2 (x)+ + un (x)+ (8-3)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)， 記為 。 在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8-3)中,若令x取定義域中某一確定值x0，則得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u1(x0) + u2 (x0)+ + un (x0)+ 稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。 若該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，反之，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8-3)的發(fā)散點(diǎn)。第四張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月且稱之為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)，若x0是收斂域內(nèi)的一個(gè)值，則必有一個(gè)和S(x0)與之對(duì)應(yīng)，即 S(x0) = u1(x0) + u2 (x0) + + un (x0) + 這個(gè)函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。 當(dāng)x0在收斂域內(nèi)變化時(shí)

3、，上述級(jí)數(shù)的和S(x0)也隨之變化，就得到一個(gè)定義在收斂域上的函數(shù)S(x)，即 S(x) = u1(x) + u2 (x) + + un (x) + 那么在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi)有 將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和記為Sn(x)，即Sn(x) = u1(x) + u2 (x) + + un (x)第五張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 和 = a0 + a1(x-a) + a2(x-a)2 + + an(x-a)n + (8-5)一般地，形如 = a0 + a1x + a2x2 + + anxn + (8-4)的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)。其中an (n=0,1,2, ) 和a都是常數(shù)，a

4、n稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。對(duì)于級(jí)數(shù)(8-5)，只要令 x-a= t,就可化為(8-4)的形式,因此下面我們主要討論級(jí)數(shù)(8-4)。第六張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月所以區(qū)間(-1,1)就是該冪級(jí)數(shù)的收斂域?；蛘哒f(shuō)冪級(jí)數(shù)(8-4)在點(diǎn)x0處收斂；對(duì)于冪級(jí)數(shù)(8-4)，它的每一項(xiàng)在區(qū)間(-,+)內(nèi)都有定義，因此對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)值x0，將其代入(8-4)式，就得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):如果(8-6)收斂，則稱點(diǎn)x0為冪級(jí)數(shù)(8-4)的收斂點(diǎn)，如果(8-6)發(fā)散，則稱點(diǎn)x0為冪級(jí)數(shù)(8-4)的發(fā)散點(diǎn)，或者說(shuō)冪級(jí)數(shù)(8-4)在點(diǎn)x0處發(fā)散。所有收斂點(diǎn)的集合稱為冪級(jí)數(shù)的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的集合稱為冪級(jí)數(shù)的

5、發(fā)散域。例如冪級(jí)數(shù) ，當(dāng)x在區(qū)間(-1,1)內(nèi)取任一個(gè)值x0時(shí)，級(jí)數(shù) 都收斂，其和為 。而(-,-1)及(1,+)就是該冪級(jí)數(shù)的發(fā)散域。第七張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則稱冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)，設(shè)冪級(jí)數(shù) 中an0 ( n=0,1,2, )，否則稱為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。在級(jí)數(shù)(8-4)中，設(shè) ，用比值判別法，得則(3)當(dāng)= 0，即|x|=0時(shí)，級(jí)數(shù)(8-4)對(duì)任何x值收斂。(1)當(dāng)|x|1，即 時(shí)，級(jí)數(shù)(8-4)發(fā)散；因此，令 ，即 ，就得到下面定理:第八張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月在x=R處，可能收斂也可能發(fā)散(此時(shí)=1)，而當(dāng)|x|R時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散；定理則有：(1)如果0R+ ,

6、則當(dāng)|x|R時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，(2)如果R=+，則冪級(jí)數(shù)在(-，+)內(nèi)收斂；(3)如果R=0，則冪級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂。由定理知：設(shè)冪級(jí)數(shù) 是不缺項(xiàng)的，冪級(jí)數(shù)在 的收斂域是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，長(zhǎng)度為2R的區(qū)間(特殊情況可能是整個(gè)數(shù)軸，也可能只是坐標(biāo)原點(diǎn))。它在(-R，R)內(nèi)收斂；在(-R，R)外發(fā)散；通常稱R為冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑，區(qū)間(-R,R)稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。第九張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑。解：收斂半徑：即級(jí)數(shù) 收斂半徑 R=+，冪級(jí)數(shù)在(-,+)內(nèi)收斂。例2 求冪級(jí)數(shù)1+ 2x +(3x)2 + +(nx) n-1 + 的收斂半徑。解:收斂半徑:即

7、 級(jí)數(shù) 僅在x=0處收斂。第十張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3 求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間。解:收斂半徑:當(dāng)|x|1時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散。當(dāng)x=1和x= -1時(shí)，級(jí)數(shù)分別為 和前者收斂，后者發(fā)散。所以冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間為(-1，1。第十一張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4 求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間。解:令 x-2 = t，得所以-2 t 2, 即-2x-22,得0 x4。當(dāng)x=0得 ，它是發(fā)散的;當(dāng)x=4時(shí)，得 ，也發(fā)散。所以冪級(jí)數(shù) 收斂域?yàn)?0,4)。第十二張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解:例5 請(qǐng)求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間。當(dāng)1，即x2 1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，即|x|1時(shí)，所求冪

8、級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)x=1時(shí)，代入級(jí)數(shù)得 ，級(jí)數(shù)收斂；所以冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間為-1，1。第十三張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù) 與 的收斂半徑分別為R1與R2 (R1與R2與均不為零)， 它們的和函數(shù)分別為S1(x)與S2(x)， 記R = min(R1，R2)， 那么對(duì)于冪級(jí)數(shù)可進(jìn)行以下運(yùn)算： 1加法和減法 = = S1(x)S2(x) 此時(shí)所得冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑是R。 2乘法 =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ (a0bn+a1bn-1+ anb0) xn += S1(x)S2(x) 此時(shí)所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是R。

9、第十四張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則和函數(shù)S (x)在(R，R)內(nèi)可積， 則在(R，R)內(nèi)和函數(shù)S (x)可導(dǎo)， 3逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù) 若冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為R， 且有 所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性可能改變。 4逐項(xiàng)積分 設(shè)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)S (x)收斂半徑為R，且有 所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性可能改變。 第十五張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6 討論冪級(jí)數(shù) 逐項(xiàng)求積分所得冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。 解：收斂半徑R=1，逐項(xiàng)求積分后得它的收斂半徑仍為R=1。當(dāng)x= -1時(shí)，冪級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)是收斂的。當(dāng)x= 1時(shí)，冪級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，

10、它是發(fā)散的。故冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間為-1,1)。第十六張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例7 求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)。 解：所給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(-1,1)。注意到而在收斂區(qū)間(-1,1)內(nèi)，所以第十七張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(8-7)式稱為f(x)的x的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。因此，把一個(gè)函數(shù)表示為冪級(jí)數(shù)，而且在它的收斂區(qū)間內(nèi)還可以像多項(xiàng)式一樣地進(jìn)行運(yùn)算，四、函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)對(duì)于研究函數(shù)有著重要的意義。我們看到，冪級(jí)數(shù)不僅形式簡(jiǎn)單，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)f(x),如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù) ，使 (-RxR) (8-7)成立，那么，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)可以展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，

11、在這里，有兩個(gè)問(wèn)題需要我們?nèi)ソ鉀Q：(1) 在式(8-7)中，系數(shù) a0, a1, a2, , an, 如何確定？(2) f (x)滿足什么條件才能展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)？第十八張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月先解決問(wèn)題(1):不妨假設(shè)(8-7)式成立，那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)法，對(duì)式(8-7)依次求出各階導(dǎo)數(shù)： 把x=0代入式(8-7)及上列的各等式， 得a0=f(0),把它們代入式(8-7),得第十九張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)。通常稱式(8-8)為f (x) 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，但要注意，按上述形式作出的麥克勞林級(jí)數(shù)，在收斂區(qū)間內(nèi)是否一

12、定收斂于函數(shù)本身呢？因此，還要解決問(wèn)題(2)，研究f(x)滿足什么條件才能展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，或著說(shuō)麥克勞林級(jí)數(shù)滿足什么條件才能收斂于f (x)。在(-R,R)內(nèi)，只要考察余項(xiàng)是否隨n的無(wú)限增大而趨于零。要使成立，第二十張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)f (x)在(-R，R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以證明，(其中在0和 x之間；n=1,2, )綜上所述可得：如果f (x)在包含點(diǎn)x=0的某一區(qū)間(-R,R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，(在0和 x之間；-RxR) (7-9)且那么f (x)在區(qū)間(R，R)內(nèi)可以展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)。第二十一張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)展開(kāi)為麥克勞林級(jí)

13、數(shù)的一般步驟為：1.求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù) ；2.計(jì)算f (0) , ；3.寫(xiě)出f (x)的麥克勞林級(jí)數(shù)4.求出上述級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間(-R，R)；5.在收斂區(qū)間內(nèi)考察 是否為零， 若為零，則有：否則即使求出的麥克勞林級(jí)數(shù)收斂，其和函數(shù)也不一定為f (x)。第二十二張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例8 求指數(shù)函數(shù)f (x) = e x 的麥克勞林展開(kāi)式。解：由于 f (n)(x) = e x ，故得 f (n)(0) = 1 (n =1,2, )。于是，e x 的麥克勞林級(jí)數(shù)為:它的收斂半徑為R=+。要證明這個(gè)級(jí)數(shù)在(-，+ )內(nèi)收斂于e x ，就需驗(yàn)證式(7-9)在(-，+ )內(nèi)成立

14、，現(xiàn)在(在0和 x之間)，因 ee|x|，故對(duì)任意給定的x，e有界。而 是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，對(duì)任意的 x，都有從而即得e x 的麥克勞林展開(kāi)式為:第二十三張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月于是sin x的麥克勞林展開(kāi)式為:例9 求正弦函數(shù)f (x)=sin x的麥克勞林展開(kāi)式。解：正弦函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為：，(n = 0,1,2, )f (n)(0)依次循環(huán)地取0,1,0,-1, ，于是得sin x麥克勞林級(jí)數(shù)為:其收斂區(qū)間為(-,+)。因?yàn)?,而(在0和x之間)所以，對(duì)任意x，第二十四張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月同理，我們可得到常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式:第二十五張，PPT共二十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上面我們研究了函數(shù)f (x)的麥克勞林展開(kāi)式，即f (x)在 x=0處的展開(kāi)式。采用類似的方法，還可以得到：如果函數(shù)f (x)在包含x=a的某一區(qū)間(a - R, a + R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且(在a和 x之間；a-Rxa+R)那么f (x)在區(qū)間 (a - R, a + R)內(nèi)可以展開(kāi)為(x-a) 的冪級(jí)數(shù):通常稱式(8-10)為f (x) 在x=a 處的泰勒展開(kāi)式,