轉(zhuǎn)債定價方法進化史

1、目錄索引 HYPERLINK l _TOC_250009 一、研究的起點：漫長摸索中邁出的第一步 4 HYPERLINK l _TOC_250008 二、研究的轉(zhuǎn)折：B-S 公式的出現(xiàn) 5 HYPERLINK l _TOC_250007 （一） 條款的期權(quán)價值與合成定價模型 5 HYPERLINK l _TOC_250006 （二）理想情況下的完美估值指標(biāo)：隱含波動率 7 HYPERLINK l _TOC_250005 三、研究的發(fā)展：B-S 方法的拓展、二叉樹、LSM 9 HYPERLINK l _TOC_250004 （一）B-S 理論的拓展：基于或有權(quán)益偏微分方程的單因素和多因素模型 9

2、 HYPERLINK l _TOC_250003 （二）二叉樹方法：正面應(yīng)對轉(zhuǎn)債的美式期權(quán)特性 11 HYPERLINK l _TOC_250002 （三）最小二乘蒙特卡羅模擬法（LSM）：應(yīng)對條款觸發(fā)的路徑依賴問題 14四、總結(jié)：重要的不是結(jié)論，而是加深認(rèn)識轉(zhuǎn)債產(chǎn)品的過程 16 HYPERLINK l _TOC_250001 五、風(fēng)險提示 16 HYPERLINK l _TOC_250000 附錄 參考文獻 17圖表索引圖 1：早期的轉(zhuǎn)債研究將其價值拆分為股權(quán)部分和債券部分的現(xiàn)值 4圖 2：合成定價模型將轉(zhuǎn)債價值拆分后分別定價 6圖 3：從光大轉(zhuǎn)債的例子來看，隱含波動率指標(biāo)實際效用有限（元，

3、%） 8圖 4：Ingersoll 的方法直接建立了轉(zhuǎn)債的偏微分方程組進行求解 9圖 5：轉(zhuǎn)債市場價格與利率變動的關(guān)聯(lián)性并不算強 11圖 6：可轉(zhuǎn)債的二叉樹定價思路 12圖 7：簡單設(shè)定下的二叉樹模型示例 13圖 8：LSM 法模擬生成的股價序列 15表 1：早期轉(zhuǎn)債定價研究的代表性文獻 5表 2：可轉(zhuǎn)債二叉樹定價方法的代表性文獻 14表 3：可轉(zhuǎn)債 LSM 定價方法的代表性文獻 16本篇報告是轉(zhuǎn)債入門手冊系列的第四篇，主要討論轉(zhuǎn)債誕生以來估值和定價思路的演變，以及相關(guān)研究方法對當(dāng)前國內(nèi)轉(zhuǎn)債價值分析的啟示。在本系列的第一篇報告初識轉(zhuǎn)債真面目中，我們曾對轉(zhuǎn)債價格的分析框架進行過詳細介紹，但當(dāng)時并

4、未對基于理論模型的定量化估值方法作重點說明，而在本篇報告中，我們將對現(xiàn)有的主流數(shù)量化研究方法進行詳細說明，并詳細探討各類方法的運算原理和主要特征。一、研究的起點：漫長摸索中邁出的第一步歷史上的第一只可轉(zhuǎn)債產(chǎn)品于1843年在美國發(fā)行，距今已有接近180年歷史，不過在隨后的120年中，無論是證券市場還是學(xué)術(shù)界都未能對這種復(fù)雜的產(chǎn)品提出系統(tǒng)化的研究方法。從轉(zhuǎn)債的基本要素來看，其在普通信用債的基礎(chǔ)上賦予了投資者將其轉(zhuǎn)化為一定比例股票的權(quán)利，同時還包含有贖回條款、回售條款和下修條款等附加條款的約束，而這些條款又都具有各自不同的價格屬性，并且條款之間的價值也存在相互影響，這使得轉(zhuǎn)債成為了一種定價難度極高的

5、復(fù)雜衍生品，正因為如此，如何對轉(zhuǎn)債價格進行定量化研究也成為市場和學(xué)術(shù)界長久以來的一道難題。直到1960年代，也就是轉(zhuǎn)債產(chǎn)品問世后的約120年，轉(zhuǎn)債定價研究才真正形成了第一套相對完整且系統(tǒng)化的體系。在這一階段，Baumol& Malkiel& Quandt（1966）、 Weil& Segal& Green（1968）等率先對轉(zhuǎn)債產(chǎn)品的價格屬性展開分析，確定了基本思路，這一系列方法隨后也在Walter& Que（1973）、Jennings（1974）等眾多1970年代中期前的研究成果中得以應(yīng)用和擴展。早期階段的轉(zhuǎn)債定價研究思路可以簡單概括為：將轉(zhuǎn)債產(chǎn)品的價格拆分為：未來選擇轉(zhuǎn)股后的股權(quán)價值，以

6、及未來一直作為信用債持有的價值兩部分，并將兩部分價值分別折現(xiàn)到當(dāng)前時點，取二者現(xiàn)值的孰高者作為當(dāng)前轉(zhuǎn)債的合理定價。圖1：早期的轉(zhuǎn)債研究將其價值拆分為股權(quán)部分和債券部分的現(xiàn)值當(dāng)前時點T0當(dāng)前時點T0未來時點T 當(dāng)前時點的純債價值 未來時點的純債價值當(dāng)前時點的轉(zhuǎn)債價格二者取其大貼現(xiàn)到T0時刻當(dāng)前時點的轉(zhuǎn)換價值未來時點的轉(zhuǎn)換價值數(shù)據(jù)來源：Baumol& Malkiel& Quandt（1966）等， 上述研究思路可以用公式表示為：BC er max B, S 其中BC為轉(zhuǎn)債價值，B為未來時點的純債價值，S為未來時點的選擇轉(zhuǎn)股獲得的價值，r為折現(xiàn)率，為未來時點距離當(dāng)前的時間。從上文的描述中可以看出，早

7、期階段的轉(zhuǎn)債研究思路非常直接，針對轉(zhuǎn)債既可以作為信用債持有、又能夠轉(zhuǎn)化為股票的特殊性質(zhì)，對其價值進行拆分研究。這一時期的轉(zhuǎn)債定價研究思路很好地突出了轉(zhuǎn)債價格的二重性，為市場提供了一個定量化定價研究的切入點，但其在方法設(shè)置上也存在較為明顯的缺陷：首先，在這一階段的方法中，轉(zhuǎn)股權(quán)的期權(quán)性質(zhì)并沒有得到充分體現(xiàn)。方法中“未來時點”的時間選擇并不好確定。如果直接將其設(shè)置為到期日，那么提前轉(zhuǎn)股的情形便不能被刻畫；而如果將其設(shè)置為到期日前的某一日，那么其轉(zhuǎn)換條款的期限又將受到影響，致使其價值被低估。大多數(shù)早期研究并沒有對利率因素在轉(zhuǎn)債生命周期中的變動問題進行討論。總體來看，早期階段的成果邁出了轉(zhuǎn)債系統(tǒng)化定價

8、研究的第一步，對市場進一步認(rèn)識轉(zhuǎn)債價值的構(gòu)成具有很重要的意義，但這一階段研究方法和成果的局限性也顯而易見。而研究存在上述缺陷的重要原因之一，便是市場和學(xué)術(shù)界在此期間都缺乏有力的期權(quán)價值研究工具。作者年份主要成果和貢獻表1：早期轉(zhuǎn)債定價研究的代表性文獻Baumol& Malkiel& Quandt 1966最早開始研究轉(zhuǎn)債定價問題，提出將轉(zhuǎn)債視為債券與一份股票看漲期權(quán)的組合，或股票與一份股票看跌期權(quán)的組合。因此轉(zhuǎn)債價值便是純債價值加上轉(zhuǎn)股期權(quán)價值，與平價加上回售期權(quán)價值間的孰高者。Weil& Segal& Green 1968他們認(rèn)為轉(zhuǎn)債價值是平價、回售期權(quán)價值與利息收益之和，并且給出了轉(zhuǎn)債相對

9、其對應(yīng)股票的溢價的表達式和回歸方程。Walter& Que 1973提出轉(zhuǎn)債價值應(yīng)該取純債價值與平價的孰高者，并加上溢價進行分析，溢價通過市場數(shù)據(jù)回歸得出。同時，文章還提出了通過蒙特卡洛模擬求得轉(zhuǎn)債收益率的方法。數(shù)據(jù)來源：Baumol& Malkiel& Quandt（1966）等， 注：具體文獻列表見附錄中的參考文獻二、研究的轉(zhuǎn)折：B-S 公式的出現(xiàn)（一） 條款的期權(quán)價值與合成定價模型1970年代，轉(zhuǎn)債定價研究迎來了一次重要轉(zhuǎn)折，隨著著名的B-S期權(quán)定價理論出現(xiàn)（Black&Scholes，1973），研究者終于得到了能夠有效刻畫轉(zhuǎn)債產(chǎn)品中各類期權(quán)價值的工具。轉(zhuǎn)債產(chǎn)品中最重要的一部分期權(quán)價值

10、來自于轉(zhuǎn)股權(quán)，它通常規(guī)定投資者可以按照面值除以轉(zhuǎn)股價的比例將轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的正股。從B-S期權(quán)定價理論的角度來看，轉(zhuǎn)股權(quán)是一種典型的或有權(quán)益（Contingent Claims），可以理解為一只以轉(zhuǎn)股價為執(zhí)行價的看漲期權(quán)。利用B-S公式，我們便可以對轉(zhuǎn)股權(quán)的期權(quán)價值進行定價，再加上轉(zhuǎn)債作為信用債的純債價值，便可以得到轉(zhuǎn)債價值中最核心的兩個部分：潛在的轉(zhuǎn)化為正股的價值，以及轉(zhuǎn)債的純債價值，將二者進行加總之后，便可以形成對轉(zhuǎn)債價值的粗略定價。在上述思路下，基于合成模型的轉(zhuǎn)債定價方法逐漸成型。這一階段的研究總體思路是將轉(zhuǎn)債的純債價值、轉(zhuǎn)股權(quán)價值、回售條款、下修條款以及贖回條款的價值進行拆分，分別計算

11、每一部分的價值后，加總得到對轉(zhuǎn)債產(chǎn)品的理論定價。其中，純債價值的計算方法與常規(guī)的信用債無異，運用無風(fēng)險利率+信用風(fēng)險溢價作為折現(xiàn)率，對轉(zhuǎn)債純債條款的未來現(xiàn)金流進行折現(xiàn)；轉(zhuǎn)股權(quán)可視為轉(zhuǎn)債投資者的看漲期權(quán)，可用 B-S公式進行計算后在轉(zhuǎn)債價值中加入；回售條款和下修條款均可視為投資人的看跌期權(quán)，同樣可以運用B-S公式分別計算后加入到轉(zhuǎn)債價值中；而贖回條款則是屬于轉(zhuǎn)債發(fā)行人的看漲期權(quán)，其價值可以利用B-S公式計算后從轉(zhuǎn)債價值中扣除。圖2：合成定價模型將轉(zhuǎn)債價值拆分后分別定價純債價值 本息現(xiàn)金流貼現(xiàn)計算轉(zhuǎn)債價格轉(zhuǎn)股權(quán)價值 投資者的看漲期權(quán)回售、下修條款價值 投資者的看跌期權(quán)贖回條款價值發(fā)行人的看漲期權(quán)數(shù)

12、據(jù)來源： 合成模型的表達式如下：VC B P VVO CVO DV O P其中VCB為轉(zhuǎn)債價值，PV為純債價值，VOC為轉(zhuǎn)股權(quán)的期權(quán)價值，VOD為下修條款的期權(quán)價值，VOP為回售條款的期權(quán)價值，VOR為贖回條款的期權(quán)價值。B-S公式的表達式如下：B S ,x; K,r, x N d, xr K e N d,1x 2 式中d ( , x) log K r 2 其中BS表示期權(quán)價值，表示距到期日的剩余時間，x為正股價格，K，r，分別表示執(zhí)行價格、無風(fēng)險利率和股價波動率，N()則是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計分布函數(shù)。其中，波動率取正股的歷史波動率。綜上，在合成模型的思想下，我們可以計算轉(zhuǎn)債各個部分的價值，并

13、將其加總得到轉(zhuǎn)債價格。不過，這樣的定價思路同樣存在較為明顯的問題，其中最為明顯的一項就是，轉(zhuǎn)債中各項條款的期權(quán)價值實際上都呈美式期權(quán)特征，而B-S公式只能用于計算歐式期權(quán)的價值。歐式期權(quán)和美式期權(quán)的差別在于，歐式期權(quán)只能在到期時選擇是否行權(quán)，而美式期權(quán)則可以選擇在到期前的時點行權(quán)，相較之下，顯然美式期權(quán)的設(shè)定更符合轉(zhuǎn)債產(chǎn)品中各類期權(quán)價值的特性。另一方面，轉(zhuǎn)債附加條款的觸發(fā)條件都具有一定路徑依賴特征，而B-S公式只能用于刻畫定點問題1，這也使得B-S公式1 舉例來說，強贖條款的觸發(fā)條件通常需要連續(xù) 30 個交易日中至少有 15 個交易日正股價格不低于轉(zhuǎn)股價 130%的情況，B-S 公式只適用于計

14、算股價簡單上升至超過某一價位的情形。在實際定價中效果進一步受限。B-S公式自身的假設(shè)條件限制同樣會影響合成模型的效果。我們先來看B-S公式的基本假設(shè)2：市場無摩擦：無稅收、無交易費用、所有資產(chǎn)都可以無限細分，并且沒有賣空限制。從0時刻到T時刻，利率水平保持不變。從0時刻到T時刻，股票不進行分紅派息。正股變動趨勢需要服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機過程：股價連續(xù)變動；正股的預(yù)期收益和方差不會在轉(zhuǎn)債的生命周期中發(fā)生改變；各時段正股的預(yù)期收益率與其他時段相互獨立；正股的復(fù)利收益率服從正態(tài)分布。在上述假設(shè)條件中，無賣空限制和正股的正態(tài)假定是兩個我國市場明顯不服從的假設(shè)條件。對于正股處在我國A股市場的轉(zhuǎn)債而言，若

15、直接運用B-S公式對各項條款的期權(quán)價值進行推算，那么很可能會得到偏差較大的結(jié)果，從而影響投資策略的效果。雖然合成模型存在上述諸多問題，但總體來看，該方法仍然為市場和學(xué)術(shù)界帶來了非常重要的結(jié)論和啟示：首先，合成法提出了將轉(zhuǎn)債各部分進行拆分后分別計算價值的研究思路，而這樣的分析思路一直沿用至今，尤其是在偏債型轉(zhuǎn)債的分析中，對轉(zhuǎn)債各部分價值進行拆分后討論，仍然是我們當(dāng)前常用的分析思路。第二，雖然方法在理論層面上存在明顯瑕疵，但由于其計算時僅需要在公式中帶入相應(yīng)的已知變量即可計算出轉(zhuǎn)債估值結(jié)果，使用十分便捷，因此仍然得到了廣泛應(yīng)用。事實上，由于B-S公式在市場中的高知名度以及方法在操作上的便捷性，合成

16、法計算的轉(zhuǎn)債估值仍然是當(dāng)前使用頻率最高的轉(zhuǎn)債理論定價指標(biāo)之一。第三，合成法對于轉(zhuǎn)股條款期權(quán)價值的刻畫中隱含了一個重要結(jié)論：轉(zhuǎn)債的期權(quán)價值與轉(zhuǎn)債的波動率呈正相關(guān)關(guān)系3。也即是說，在給定股價等其他變量的情況下，正股波動率更高的轉(zhuǎn)債將得到更高的轉(zhuǎn)股期權(quán)價值。這一結(jié)論在轉(zhuǎn)債低價配置策略中具有十分重要的指導(dǎo)意義：由于轉(zhuǎn)債絕對價格的理論變動空間有限（下至債底，上至強贖觸發(fā)價），正股波動率更高的品種雖然會面臨更大的平價下行風(fēng)險，但由于轉(zhuǎn)債價格下行過程中受到債底保護，因此轉(zhuǎn)債價格并不會承受與正股相應(yīng)的下行風(fēng)險；反之，當(dāng)正股價格出現(xiàn)反彈時，其平價上行幅度將明顯大于其他低波動率品種，從而使得轉(zhuǎn)債有更大機會上行至更

17、高的價格區(qū)間。2019年末的贛鋒轉(zhuǎn)債、雅化轉(zhuǎn)債等正股處于高波動率行業(yè)的轉(zhuǎn)債標(biāo)的便很好地展示了這一特性。（二）理想情況下的完美估值指標(biāo)：隱含波動率除了可以直接對轉(zhuǎn)債產(chǎn)品中各類期權(quán)價值進行定價外，B-S期權(quán)定價理論還為轉(zhuǎn)債產(chǎn)2 宋逢明. 金融工程原理:無套利均衡分析M. 清華大學(xué)出版社, 1999.3 更詳細的關(guān)聯(lián)可參考 B-S 期權(quán)定價理論下的希臘字母 Vega。品提供了一項非常重要的估值指標(biāo)：隱含波動率。隱含波動率是在B-S公式基礎(chǔ)上，將未知量由原本的期權(quán)價值設(shè)置為波動率，同時用實際的“期權(quán)價值”（不考慮附加條款價值，用轉(zhuǎn)債價格-純債價值作為期權(quán)價值）作為已知量代替公式中的期權(quán)價值BS，從而反

18、解出波動率的結(jié)果。從理論上看，隱含波動率對于轉(zhuǎn)債產(chǎn)品來說是一個理想的估值指標(biāo)，這一方面是因為波動率與轉(zhuǎn)債的期權(quán)價值正向相關(guān)，而另一方面是因為它為轉(zhuǎn)債提供了一個歷史維度上可比的估值指標(biāo)。對比我們目前常用的轉(zhuǎn)債估值指標(biāo)轉(zhuǎn)股溢價率，由于其標(biāo)尺會隨著平價水平的變化而發(fā)生改變，因此若非轉(zhuǎn)債的平價一直維持不變，否則其自身并沒有直接在歷史維度上進行比較的價值。若需要進行縱向比較，則需要結(jié)合轉(zhuǎn)債價格、平價等其他指標(biāo)進行綜合判斷，較為繁瑣和主觀。理論上，通過判斷轉(zhuǎn)債隱含波動在歷史中的分位數(shù)水平，以及比較隱含波動率和歷 史波動率4的相對高低，我們可以對轉(zhuǎn)債當(dāng)前所處的相對價格水平和性價比進行判斷，從而發(fā)揮隱含波動率

19、的估值價值。但很遺憾的是，由于隱含波動率指標(biāo)仍然需要運用B-S公式進行計算，前文中提到的種種弊端依然存在，因此即便是運用當(dāng)前學(xué)術(shù)界較為前沿的各類B-S改進模型進行計算，仍可能由于違背過多假設(shè)條件而得到偏差較大的結(jié)果。另一方面，計算隱含波動率時，通常運用轉(zhuǎn)債價格與純債價值之差作為期權(quán)價值，但事實上這一部分價差還同時包含了附加條款的期權(quán)價值，我們很難運用適當(dāng)?shù)亩炕侄螌⒏黝惼跈?quán)價值從中分離。從光大轉(zhuǎn)債的例子中可以看出，利用B-S公式計算出的隱含波動率序列和轉(zhuǎn)債價格雖存在一定的相關(guān)性，但契合度仍較為有限，在精確的價格判斷上效力不足。同時，隱含波動率也并沒有表現(xiàn)出對于價格的領(lǐng)先性特征。圖3：從光大轉(zhuǎn)

20、債的例子來看，隱含波動率指標(biāo)實際效用有限（元，%）130125120115110105100959035%30%25%20%15%10%5%0%2017-03-31 2017-09-30 2018-03-31 2018-09-30 2019-03-31 2019-09-30 2020-03-31絕對價格隱含波動率 （右軸）數(shù)據(jù)來源：Wind， 不過，雖然隱含波動率存在上述問題，但其在部分情況下仍然具有一定關(guān)注價值，特別是在隱含波動率處于極端位置，并和其他價格指標(biāo)指向相同的結(jié)論時例如當(dāng)隱含波動率和平價或轉(zhuǎn)債絕對價格同時處在極端低位的情況下，隱含波動率仍然能為轉(zhuǎn)債價格處在低點提供側(cè)面佐證。同時，隱

21、含波動率可由B-S公式直接解得，在4 常用對應(yīng)時間窗口內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差，也可用 GARCH 及其衍生模型等進行推算。計算上較為便捷，并且大多數(shù)金融數(shù)據(jù)終端中可以直接提取，因此目前仍然得到了較為廣泛的使用。三、研究的發(fā)展：B-S 方法的拓展、二叉樹、LSM（一）B-S 理論的拓展：基于或有權(quán)益偏微分方程的單因素和多因素模型我們在上一章中提到，隨著B-S公式的出現(xiàn)和推廣，轉(zhuǎn)債定價相關(guān)研究迎來了轉(zhuǎn)機，新的定量化轉(zhuǎn)債價值研究方法也隨之出現(xiàn)，但合成模型的思路過于簡單直接，得到的計算結(jié)果難免與實際結(jié)果存在差距。同時，由于合成模型的價格偏差來自于模型設(shè)置的缺陷，而并非市場對轉(zhuǎn)債價值的認(rèn)知偏差，因此計算出與實際轉(zhuǎn)債

22、價格有偏差的結(jié)果時，也很難被認(rèn)為是轉(zhuǎn)債的內(nèi)在價值。隨后，學(xué)術(shù)界開始對基于B-S公式的轉(zhuǎn)債定價方法進行了改進。Ingersoll（1977a， 1977b）和Brennan& Schwartz（1977）等對B-S公式在轉(zhuǎn)債中的運用進行了新的改進和嘗試，與合成模型中直接對轉(zhuǎn)債的期權(quán)價值構(gòu)成進行拆分不同，由于轉(zhuǎn)債在整體層面上仍然屬于典型的或有權(quán)益，這一時期的研究利用B-S期權(quán)定價理論，在風(fēng)險中性和風(fēng)險對沖的定價思路下，直接推導(dǎo)出可轉(zhuǎn)債所滿足的偏微分方程。此時轉(zhuǎn)債價值就成為了一個關(guān)于公司價值和到期時間的函數(shù)。接著，便可進一步確定轉(zhuǎn)債面對轉(zhuǎn)股、贖回和回售時的最優(yōu)策略，并將其作為求解微分方程的邊界條件。

23、由于上述微分方程并不存在解析解，所以通常采用數(shù)值方法進行求解5。上述思路可以總結(jié)為如下幾個步驟：利用B-S期權(quán)定價理論，確定轉(zhuǎn)債作為或有權(quán)益的偏微分方程。確定不同條款觸發(fā)時轉(zhuǎn)債投資者的最優(yōu)策略，并以此為依據(jù)，將贖回、回售等條款轉(zhuǎn)化為方程的邊界條件。利用有限差分法等數(shù)值方法對轉(zhuǎn)債價值進行求解。圖4：Ingersoll的方法直接建立了轉(zhuǎn)債的偏微分方程組進行求解基本要素推導(dǎo)出轉(zhuǎn)債的偏微分方程轉(zhuǎn)債的線性方程組B-S期權(quán)定價理論邊界條件限制&離散化處理公司價值（或股價）與時間的函數(shù)迭代求解轉(zhuǎn)債價格的數(shù)值解數(shù)據(jù)來源：Baumol& Malkiel& Quandt（1966）等， 在Ingersoll（19

24、77a，1977b）的方法中，轉(zhuǎn)債價值的不確定性來自公司價值，因此這樣的轉(zhuǎn)債定價模型可以視為一個基于公司價值的單因素模型，可以用來探討公司價值因素對于轉(zhuǎn)債價格的影響。在隨后的研究中，Ingersoll（1977a，1977b）的框5 以有限差分法為例，其思想核心是將連續(xù)的倒數(shù)問題進行離散化處理，我們可以用差分來近似替代偏微分方程中的的偏導(dǎo)數(shù)，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，得到衍生證券價格的線性方程組，從而迭代求解得到轉(zhuǎn)債價格的數(shù)值解。架逐漸成為了基于B-S期權(quán)定價思想的轉(zhuǎn)債定價研究的范式和基礎(chǔ)。Ingerso（ll 1977a，1977b）認(rèn)為，具有固定票息的可轉(zhuǎn)債滿足Merton（1974

25、）設(shè)立的或有權(quán)益偏微分方程（Contingent Claims Partial Differential Equation）：1 2V 2 fV , rV -C f V , rf V , fV , c 02VVV其中，V為公司價值，2為資產(chǎn)價格的波動率，為剩余期限，f(V,)整體代表或有權(quán)益的價值（這里即是轉(zhuǎn)債的價值），下標(biāo)代表求偏導(dǎo)，r為基準(zhǔn)利率，C為每期公司支付的股利和利息總和，c是其中單位證券所需要支付的部分。上述偏微分方程是Merton（1973）經(jīng)典方程在引入票息、股利等要素后的拓展形式，雖然看上去略顯復(fù)雜，但其實可以很清晰地看出，可轉(zhuǎn)債的價值是一個關(guān)于公司價值和到期時間的函數(shù)。在進

26、一步將贖回、回售、到期選擇等因素轉(zhuǎn)化為方程的邊界條件和終值條件，并確定波動率、基準(zhǔn)利率等客觀變量后，便可對轉(zhuǎn)債價格進行數(shù)值求解。相較于簡單地將轉(zhuǎn)債的各部分價值進行拆分運算，Ingersoll（1977a，1977b）將轉(zhuǎn)債價值整體作為一項或有權(quán)益展開討論，從而可以刻畫各項條款之間的相互影響，以及討論公司價值等因素對轉(zhuǎn)債價格的影響。同時，在這樣的方法體系中，借助顯式法等數(shù)值求解手段，我們可以對可轉(zhuǎn)債的美式期權(quán)特性進行處理，從而放寬了合成模型的最大限制只能將條款的期權(quán)價值作為歐式期權(quán)進行求解。不過上述方法在實際應(yīng)用中一個較為明顯問題，那就是公司價值通常難以直接觀測，并且也很難找到相對準(zhǔn)確的代理變量

27、，因此在后續(xù)的研究中（McConnell& Schwartz， 1986等），研究者們更多地將偏微分方程中的公司價值變量替換為正股股價。以McConnell& Schwartz（1986）為例，替換后的偏微分方程為：1 2 S 2 fS, rS -D S, f S, rf S, fS, 02SSS其中S為股價，D(S,)為股息，其他符號標(biāo)識與前文中Merton（1974）的模型一致。此外，McConnell& Schwartz（1986）的方法中對股息、股利因素進行了簡化，因此并未包含C和c項。Ingersoll（1977a，1977b）、McConnell& Schwartz（1986）的模

28、型只考慮了公司價值因素或股價等單一因素對轉(zhuǎn)債價值的影響，所以也被稱作可轉(zhuǎn)債定價的單因素模型。在后續(xù)的研究中，市場利率波動、信用風(fēng)險等因素也被納入到了方法體系中，從而形成了基于公司價值（Brennan & Schwartz，1980）或股價與其他因素（討論最多的還是利率變動）的雙因素轉(zhuǎn)債定價模型。利率變動是最早被引入雙因素模型的外生影響因素，也是在后續(xù)研究中最常被討論的對象，其主要原因可能是美國市場的可轉(zhuǎn)債產(chǎn)品通具有有較長的生命周期，部分轉(zhuǎn)債的期限設(shè)置可達20年，顯著高于我國6年的水平，因此從理論角度出發(fā)考慮，假設(shè)在此期間利率始終保持不變并不合理。不過從國內(nèi)外實證研究的結(jié)論來看，大多數(shù)研究成果表

29、明利率變動因素并不是影響轉(zhuǎn)債價格的決定性因素，而這一結(jié)論在當(dāng)前的國內(nèi)轉(zhuǎn)債市場中同樣是適用的。從指數(shù)層面來看，自2010年以來，轉(zhuǎn)債市場價格與利率變化的相關(guān)性并不算強。這樣的現(xiàn)象也并不難解釋，這一方面可能是因為我國的轉(zhuǎn)債期限相對較短，受利率影響并不敏感；另一方面則可能是因為利率變動引發(fā)的純債價值變動對轉(zhuǎn)債價格的影響力遠不如正股價格變化所帶來的平價波動。圖5：轉(zhuǎn)債市場價格與利率變動的關(guān)聯(lián)性并不算強600550500450400350300250200中證轉(zhuǎn)債中債國債到期收益率:10年（右軸）5.0%4.5%4.0%3.5%3.0%2.5%2.0%2010/1/42012/1/42014/1/420

30、16/1/42018/1/42020/1/4數(shù)據(jù)來源：Wind， 除利率變動外，信用風(fēng)險問題也是拓展研究中的重點討論對象。其實早在Ingersoll（1977a，1977b）的研究中，便已經(jīng)通過邊界條件的形式刻畫過企業(yè)違約對轉(zhuǎn)債價格的影響。此后，McConnell，Schwartz（1986）將轉(zhuǎn)債價格微分方程中的無風(fēng)險利率替換為了包含信用利差的利率，而Tsiveriotis，F(xiàn)ernandes（1998）則進一步將股權(quán)價值的折現(xiàn)率設(shè)置為無風(fēng)險利率（因為股票沒有違約風(fēng)險），而票息、贖回補償、回售價等對應(yīng)的現(xiàn)金流則采用無風(fēng)險利率+信用利差作為折現(xiàn)率（因為這部分會承擔(dān)轉(zhuǎn)債的違約風(fēng)險）。雖然我國轉(zhuǎn)債

31、市場尚未發(fā)生過實際的違約事件，但上述研究中針對不同部分的信用風(fēng)險水平采用差異化折現(xiàn)率的思想值得借鑒?？偨Y(jié)來看，在Ingersoll（1977a，1977b）等設(shè)立的方法體系在合成模型的基礎(chǔ)上更進一步，將轉(zhuǎn)債價格作為一個整體展開討論，演化出了可用于刻畫公司價值、正股價格、市場利率等因素對轉(zhuǎn)債價格影響的單因素及多因素模型。同時，這一階段的研究可近似對轉(zhuǎn)債條款的美式期權(quán)特性進行刻畫。如前文的分析中所述，在相關(guān)研究成果中，許多重要的研究思想和結(jié)論沿用至今，例如將轉(zhuǎn)債價格的研究聚焦在正股價格或公司價值上，而非學(xué)習(xí)成本極高的利率變動因素。不過同樣需要注意的是，由于B-S方法體系自身的硬性限制隨著研究的不斷

32、深入而逐漸顯現(xiàn)，比如B-S方法無法正面刻畫轉(zhuǎn)債條款觸發(fā)的路徑依賴問題，并且這并不是通過單純的方法改進可以克服，而是源自于方法根基的限制。另一方面，由于B-S方法需要依賴于數(shù)值求解，特別是當(dāng)處理美式期權(quán)問題時，運算時間不可控，并且可能得不到理想的運算結(jié)果。因此，若要對轉(zhuǎn)債定價展開更深層次的定量化研究，市場和學(xué)術(shù)界都需要找到更為適應(yīng)轉(zhuǎn)債產(chǎn)品特性的分析工具。（二）二叉樹方法：正面應(yīng)對轉(zhuǎn)債的美式期權(quán)特性隨著B-S方法局限性的逐漸顯現(xiàn)，在1970年代末，二叉樹方法被引入了轉(zhuǎn)債定價研究中，這使得轉(zhuǎn)債估值方法在美式期權(quán)特征的刻畫效率上大幅邁進。在B-S方法中，我們雖然可以通過顯式法等手段對可轉(zhuǎn)債的美式期權(quán)特

33、征進行處理，但在運算效率等方面仍存在一些問題。而相較于B-S方法，二叉樹方法最大的特點在于可以正面討論美式期權(quán)的定價問題，并且運算原理相較于B-S方法更為直觀，便于理解，且運算效率更高。二叉樹定價方法的思想可以概括為：首先將轉(zhuǎn)債未來的存續(xù)期劃分為離散的多個時間節(jié)點，假設(shè)未來平價上漲和下跌兩種可能性，以類似“樹枝分叉”的形式在下一時間節(jié)點生成兩種價格可能，并在新的節(jié)點不斷分支疊加，從而生成反映未來平價可能發(fā)展情況的“樹”，并在各種條款的邊界條件限制下，從最后一期的可能平價開始逆向推導(dǎo)轉(zhuǎn)債當(dāng)前的理論價格。圖6：可轉(zhuǎn)債的二叉樹定價思路確定股價上行和下行情景基本要素生成平價二叉樹倒推轉(zhuǎn)債二叉樹出現(xiàn)的概

34、率和變化規(guī)則邊界條件倒推求解轉(zhuǎn)債理論價值數(shù)據(jù)來源： 我們結(jié)合Goldman Sachs（1994）中的例子來說明二叉樹轉(zhuǎn)債定價法的基本原理。文章中設(shè)定了這樣一只虛擬的轉(zhuǎn)債：面值為100元、票面利率為11%，剩余的到期期限為5年，當(dāng)前股價是100元，轉(zhuǎn)股比例為1，即這只轉(zhuǎn)債的平價始終與股價相等，其余條款設(shè)置見圖7（原文中回售觸發(fā)價格設(shè)置為80元）。轉(zhuǎn)債的到期贖回、強制贖回和回售等條款轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊界條件：若轉(zhuǎn)債到期，假設(shè)投資者會選擇到期贖回價和平價的孰高者作為轉(zhuǎn)債價值；若觸發(fā)強贖，假設(shè)投資者會立刻選擇轉(zhuǎn)股，獲得轉(zhuǎn)債的平價；若觸發(fā)回售，假設(shè)投資者會在倒推出的持有價值低于回售價格時選擇接受回售，否則

35、繼續(xù)持持有。在時間節(jié)點的劃分上，轉(zhuǎn)債剩余5年的存續(xù)期按年度劃分為5個段，對應(yīng)有6個時間節(jié)點。接下來開始生成平價樹：（1）首先，站在6個時間節(jié)點中的第一個，即當(dāng)前時間，對應(yīng)圖7中平價二叉樹的最左側(cè)端，此時已經(jīng)觀測到平價為100元。（2）在下一個時間節(jié)點，假設(shè)正股價格變化有兩種情況：上升或下降（在期權(quán)定價中習(xí)慣稱為 up和down，簡稱u和d），概率分別為p和1-p（本文中p設(shè)定為0.5），并假定正股價格服從風(fēng)險中性設(shè)定下的幾何正態(tài)分布，在確定無風(fēng)險利率和股價波動率后，便可確定正股上漲和下跌的幅度，衍生出二叉樹中第一年的u價格115.47元和d價格94.53元。（3）由此，每一個新的價格都可以在同

36、樣的規(guī)則下衍生出次年的兩種可能平價，直至轉(zhuǎn)債到期，并得到一個完整的平價二叉樹。66 值得注意的是，由于每一期上漲和下跌的幅度確定，因此平價在經(jīng)歷相同次數(shù)的上漲和下跌后，得到的最終價格是一致的，與上漲、下跌出現(xiàn)的順序無關(guān)。例如，對于圖 7 中第二年的節(jié)點，先漲后跌和先跌后漲的價格變化過程最后會歸于同一節(jié)點上。圖7：簡單設(shè)定下的二叉樹模型示例平價二叉樹79.8775.5轉(zhuǎn)債價值二叉樹205.24a持有b111到期贖回倒推回售 110到期贖回d轉(zhuǎn)債面值：100元轉(zhuǎn)債利率：11%到期剩余時間： 5年 當(dāng)前股價：100元當(dāng)前平價：100元強贖觸發(fā)價格： 130元強贖補償價格： 103元回售觸發(fā)價格： 8

37、0元回售價格：111元到期贖回價格： 110元折現(xiàn)率：10%假設(shè)條件205.24177.75倒推177.75轉(zhuǎn)股133.32153.94145.53168.03133.32153.94轉(zhuǎn)股轉(zhuǎn)股145.53168.03轉(zhuǎn)股100115.47109.15126.04119.15137.57121.03126.63持有轉(zhuǎn)股123.26132.39持有轉(zhuǎn)股123.73c137.57轉(zhuǎn)股94.5389.37103.1997.55112.64117.64持有持有113.54116.79持有持有111.2112.64轉(zhuǎn)股84.4892.22持有111持有110當(dāng)期第一年 第二年 第三年 第四年 第五年當(dāng)期第

38、一年 第二年 第三年 第四年 第五年數(shù)據(jù)來源：Goldman Sachs（1994）， 在得到了轉(zhuǎn)債平價的二叉樹后，我們便可以從最后一期開始逐期對轉(zhuǎn)債的價值進行逆向推導(dǎo)，總體規(guī)則為：在不考慮觸發(fā)邊際條件的情況下，轉(zhuǎn)債的上一期價值等于下一期兩種價值可能性期望值的折現(xiàn)值；而在觸發(fā)邊界條件時，按照邊界條件的設(shè)定回溯。舉例說明，在轉(zhuǎn)債價值二叉樹中，首先運用到期贖回邊界條件確認(rèn)到期時點的轉(zhuǎn)債價值，例如圖7中a情形下轉(zhuǎn)債平價遠高于轉(zhuǎn)股價，因此a點情形下，理性投資者會選擇轉(zhuǎn)股，而非接受到期贖回價，從而使轉(zhuǎn)債的價值等于平價。而b情形下，轉(zhuǎn)債平價小于贖回價值，因此投資人會選擇接受到期贖回而不轉(zhuǎn)股，此時轉(zhuǎn)債價值應(yīng)

39、為110元。在上述的例子中，我們也可以清晰地看到二叉樹定價對美式期權(quán)的刻畫可以利用邊界條件在每一節(jié)點直接對投資者是否行權(quán)進行討論。確認(rèn)了到期時點的轉(zhuǎn)債價值后，便開始按照前文所述的規(guī)則向前反推。比如c情形下，從平價二叉樹對應(yīng)節(jié)點可知，轉(zhuǎn)債此時并未觸發(fā)各類邊界條件，因此c點轉(zhuǎn)債價值就等于后兩期分叉價值取期望值后的折現(xiàn)值。而在d情形下，從平價二叉樹的對應(yīng)位置可見，轉(zhuǎn)債此時已經(jīng)觸發(fā)回售邊界條件，而此時用期望+折現(xiàn)反推出的轉(zhuǎn)債價值小于回售價，因此d情形下理性投資者會接受111元的回售價格，從而確定d時點的轉(zhuǎn)債價值。以此類推，最終便可確定當(dāng)期轉(zhuǎn)債的理論價值。前文中展示了一個設(shè)定較為簡化的二叉樹定價流程，在

40、實際的分析中可將時間節(jié)點分個進一步細化為月度或日度，并進一步細化正股價格的衍生規(guī)則和邊界條件。例如，在我們舉的例子中，Goldman Sachs（1994）的例子并沒有考慮下修條款的邊界條件，而后續(xù)的國內(nèi)研究則對這一我國市場的特色條款進行了補充，例如蔣殿春、張新（2001）便對下修條款在二叉樹定價中的引入進行了嘗試。不過需要注意的是，在采取上述方法對二叉樹定價進行細化后，方法的計算效率也可能會隨之出現(xiàn)明顯降低。從上述的推算過程中，我們可以看到二叉樹方法相較于B-S方法，以非常直觀且高效的處理方式解決了美式期權(quán)的定價問題，但其過于“直觀高效”的處理方式也為模型帶來了較高的局限性，例如高度簡化的股

41、價演變規(guī)則對現(xiàn)實價格波動的模擬效力十分有限，出現(xiàn)上漲和下跌情形的概率設(shè)定也很難找到合理的客觀依據(jù)。同時，二叉樹定價中并不能解決各條款觸發(fā)的路徑依賴問題。其實，我們對二叉樹模型的推導(dǎo)過程進行進一步探究，便可以發(fā)現(xiàn)若將二叉樹模型的時間節(jié)點分割為無限小，那便可以推導(dǎo)出和B-S公式一致的結(jié)果，兩種方法實質(zhì)上是同一思想內(nèi)核下的不同角度展示，因此B-S公式中存在的諸多局限對于二叉樹模型而言依然存在（Cox& Ross& Rubinstein，1979）?？傮w來看，在這一階段的研究中，方法大于結(jié)論，相關(guān)成果為后續(xù)的轉(zhuǎn)債定價研究提供了重要的分析思想：對正股價格在各種情形下的可能變化進行模擬，在充分了解正股可能

42、的未來變化后對當(dāng)前的轉(zhuǎn)債價值進行推導(dǎo)。表2：可轉(zhuǎn)債二叉樹定價方法的代表性文獻作者年份主要成果和貢獻率先將二叉樹技術(shù)引入到轉(zhuǎn)債定價研究中，相比于 B-S 期權(quán)定價方法，二叉樹方法使用Cox& Ross& Rubinstein 1979的數(shù)學(xué)方法更為簡單，對于美式期權(quán)的數(shù)值求解更快。研究同時指出，B-S 公式可以由二叉樹模型每一期間隔時間取極限小推得。Goldman Sachs1994系統(tǒng)完整地闡釋了二叉樹的期權(quán)定價方法如何應(yīng)用于可轉(zhuǎn)債定價中，并舉例進行了說明。蔣殿春、張新2001將可轉(zhuǎn)債的二叉樹定價方法引入國內(nèi)市場，并加入了對于下修條款的討論。數(shù)據(jù)來源：Cox& Ross& Rubinstein

43、（1979）等， 注：具體文獻列表見附錄中的參考文獻（三）最小二乘蒙特卡羅模擬法（LSM）：應(yīng)對條款觸發(fā)的路徑依賴問題如前文所述，二叉樹方法通過對正股價格未來可能出現(xiàn)的變化進行“模擬”，倒推出轉(zhuǎn)債在當(dāng)前時點的價值。在這樣的研究思路下，蒙特卡洛模擬方法自然進入了市場和學(xué)術(shù)界的視野。相較于二叉樹方法，蒙特卡洛模擬可以生成更為完整且連續(xù)的股價變動曲線，而這有助于解決可轉(zhuǎn)債產(chǎn)品中強贖、回售、下修等條款的路徑依賴問題。不過，傳統(tǒng)的蒙特卡洛模擬通常只能解決歐式期權(quán)問題，而針對可轉(zhuǎn)債價格中典型的美式期權(quán)特征，Longstaff& Schwartz（2001）提出了最小二乘蒙特卡羅模擬法（Least Squa

44、res Monte Carlo Simulation，簡稱LSM）。該方法假設(shè)正股未來波動符合幾何布朗運動，在模擬生成大量可能的正股價格變化（或平價）序列后，便可以采取類似于二叉樹的逆向推導(dǎo)方法，借助回歸分析中的最小二乘估計逐步推算前一期轉(zhuǎn)債的期望持有價值，最后對各條模擬路徑的轉(zhuǎn)債估值結(jié)果取平均，從而得到轉(zhuǎn)債在當(dāng)前時點的理論定價。從原理來看，相較于B-S方法和二叉樹方法，LSM方法對現(xiàn)實狀況的擬真程度有了明顯提升，并且由于LSM方法可以生成完整的正股價格演化路徑，因此我們可以對邊界條件的設(shè)置進一步細化，刻畫觸發(fā)所需天數(shù)等涉及路徑依賴的問題。例如，我們可以在邊界條件設(shè)置中加入觸發(fā)時間要素（例如強

45、贖條款的130%、15/30），從而根據(jù)模擬的結(jié)果，清晰地識別出那些路徑觸發(fā)了強贖，從而進行單獨處理。具體來看，LSM方法的流程可總結(jié)如下：在一定的正股波動假設(shè)下（例如幾何布朗運動），模擬生成大量的平價變化路徑；根據(jù)邊界條件設(shè)置找出觸發(fā)強贖和回售的路徑，單獨對其當(dāng)前的轉(zhuǎn)債價值進行直接折現(xiàn)計算；根據(jù)終值條件確定各條模擬路徑在到期時的轉(zhuǎn)債價值（方法與二叉樹類似）；在未觸發(fā)強贖或回售的模擬路徑中（Longstaff& Schwartz（2001）推薦僅使用正股價格高于轉(zhuǎn)股價的路徑樣本），從到期時刻，也就是第T期開始，將轉(zhuǎn)債價值向前一期進行折現(xiàn)，得到T-1期的折現(xiàn)價值，接著在截面維度上建立回歸方程，將

46、各樣本路徑T-1期的折現(xiàn)價值作為因變量（即回歸方程中的“Y”），將各樣本路徑T-1期的平價（或正股價格）作為自變量（即回歸方程中的“X”），對方程中的參數(shù)進行估計，并在此基礎(chǔ)上，將各樣本路徑T-1期的平價重新帶入方程，推算出各路徑T-1期的“期望轉(zhuǎn)債持有價值”，將其與T-1期的平價進行對比，以孰高者作為當(dāng)期的轉(zhuǎn)債持有價值。在上述的倒推規(guī)則下，不斷推算前期轉(zhuǎn)債的理論價值，直到初始時刻，得到各條路徑初期（即當(dāng)前時點）的價格推算結(jié)果，并對各樣本路徑的定價取平均（包括觸發(fā)強贖和回售的），得到最終的轉(zhuǎn)債理論定價結(jié)果。圖8：LSM法模擬生成的股價序列觸發(fā)強贖觸發(fā)回售(促使發(fā)行人下修）數(shù)據(jù)來源：Goldma

47、n Sachs（1994）， 為何要不斷用回歸分析來推算上一期的“期望轉(zhuǎn)債持有價值”，而不簡單使用下一期的價值直接進行折現(xiàn)計算呢？這是因為，模擬得到的路徑序列都具有較強的隨機性，直接折現(xiàn)計算的上一期推算值將包含過多樣本個體差異的不確定因素。而通過回歸分析，便可以對每一期和上一期轉(zhuǎn)債價值的關(guān)聯(lián)規(guī)律進行總結(jié)提煉，從而根據(jù)樣本的整體變化趨勢對前一期價格進行推算，得到更具規(guī)律性的結(jié)果。在上述的例子中，轉(zhuǎn)債的附加條款只考慮了贖回條款和回售條款，下修條款并未進行討論，在后續(xù)的國內(nèi)研究中，孫秋玲、梁永福、鄧荃文（2017）等也嘗試在方法探討了下修條款加入后的情況。總結(jié)來看，LSM方法在二叉樹方法的基礎(chǔ)上對轉(zhuǎn)

48、債定價的模擬研究更近一步，通過直接生成大量正股價格運行路徑的方式，結(jié)合最小二乘法對轉(zhuǎn)債價格進行倒推。這一思路對未來正股變化的模擬顯然比二叉樹更加契合現(xiàn)實，但隨之而來的代價便是，即便是運用LSM法對單只轉(zhuǎn)債個券進行定價都將消耗大量計算資源，并且需要較長的運算時間。最后，該方法一個更核心的問題在于，雖然其在呈現(xiàn)方式上和前文中的方法存在很大區(qū)別，但與二叉樹和B-S方法的關(guān)系一樣，LSM方法由于在正股價格波動規(guī)律的假定上做了類似處理，在定價推理中的思路也相類似，因此LSM方法其實與B-S方法和二叉樹方法“同宗同源”，都是在B-S期權(quán)定價理論的基石下，不同角度的衍生。表3：可轉(zhuǎn)債LSM定價方法的代表性文

49、獻作者年份主要成果和貢獻Longstaff& Schwartz2001在傳統(tǒng)蒙特卡洛模擬的基礎(chǔ)上提出LSM 法，拓展了蒙特卡洛模擬法在美式期權(quán)定價問題中的應(yīng)用。唐文彬、張小勇2008運用 LSM 方法對國內(nèi)市場的轉(zhuǎn)債定價進行了嘗試。孫秋玲、梁永福、鄧荃文2017在 LSM 方法體系中引入下修條款，引入了 Probit 分布，拓展了正態(tài)分布在資產(chǎn)價格研究中普遍存在的適應(yīng)性問題。數(shù)據(jù)來源：Longstaff& Schwartz（2001）等， 注：具體文獻列表見附錄中的參考文獻四、總結(jié)：重要的不是結(jié)論，而是加深認(rèn)識轉(zhuǎn)債產(chǎn)品的過程縱觀轉(zhuǎn)債定價研究的發(fā)展歷史，我們可以發(fā)現(xiàn)，在B-S期權(quán)定價理論出現(xiàn)后，

50、市場和學(xué)術(shù)界所采用的主流方法其實都可以視作B-S期權(quán)定價思路的衍生。隨著研究的逐漸發(fā)展，轉(zhuǎn)債的美式期權(quán)特征問題、條款的路徑依賴問題以及利率變動的影響等一個個難題被逐步解決。但遺憾的是，由于方法體系存在來自底層的限制，因此無論如何進行改進，在這套基礎(chǔ)上演化出的各類定價手段始終會出現(xiàn)不可避免的偏差。然而這樣的偏差并不意味著這些方法沒有實際價值，因為轉(zhuǎn)債定價方法的進化史同樣也是市場和學(xué)術(shù)界對轉(zhuǎn)債產(chǎn)品認(rèn)識不斷加深的進化史。從最初的將股票價值和債券價值分別貼現(xiàn)，到后期通過模擬的方式探尋未來正股價格可能出現(xiàn)的變化，市場對于轉(zhuǎn)債產(chǎn)品價格的理解也隨之不斷深入。這些方法體現(xiàn)出的思想，同樣也為當(dāng)前轉(zhuǎn)債價格“實戰(zhàn)”

51、研究思想提供了基礎(chǔ)。例如，當(dāng)前最常用的轉(zhuǎn)債估值指標(biāo)轉(zhuǎn)股溢價率，其反應(yīng)的市場對正股未來表現(xiàn)的預(yù)期，與二叉樹和LSM方法所試圖刻畫的未來正股價值變化的可能性，其實本質(zhì)上其實探尋的內(nèi)容是一致的。另一方面，對于這些模型所估算的轉(zhuǎn)債價值本身，雖然時常會成為“精確的錯誤”，但有時“精確的錯誤”卻也和“模糊的正確”一樣重要。例如，在轉(zhuǎn)債的發(fā)行工作中，我們并沒有轉(zhuǎn)股溢價率等常用的估值指標(biāo)可以參考，而上述的定量化方法仍然可以在明確給定的假設(shè)情形下提供一個數(shù)量化的價格標(biāo)尺。這也是為什么計算簡便的合成模型，以及其衍生出的隱含波動率等指標(biāo)仍然常在當(dāng)前轉(zhuǎn)債定價研究中出現(xiàn)。其實，近年來學(xué)術(shù)界和市場也在嘗試?yán)@開上述約束，運

52、用機器學(xué)習(xí)等不需要對轉(zhuǎn)債和正股分布做出過分嚴(yán)格假定的方法來對轉(zhuǎn)債價格進行研究。Dubrov（2015）和金仁莉（2016）等學(xué)者已經(jīng)在相關(guān)領(lǐng)域中邁出了腳步，未來隨著方法的不斷完善，相關(guān)估值結(jié)果的參考價值值得期待。五、風(fēng)險提示轉(zhuǎn)債條款設(shè)定規(guī)則出現(xiàn)超預(yù)期變化。附錄 參考文獻英文文獻：【1】 Altman, Edward I . The prediction of corporate bankruptcy : a discriminant analysis /J. Journal of Finance, 1968, 23(1):193-194.【2】 Baumol W J , Malkiel B G

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