雙因素方差分析

1、雙因素方差分析(two-way analysis of variance)1例子 有4個品牌的彩電在5個地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(品牌因素)和銷售地區(qū)(地區(qū)因素)對銷售量是否有影響，對每種品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響？(=0.05)2不同品牌的彩電在各地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)品牌因素 地區(qū)因素地區(qū)1地區(qū)2地區(qū)3地區(qū)4地區(qū)5品牌1365350343340323品牌2345368363330333品牌3358323353343308品牌42882802982602983符號 設(shè)在某實(shí)驗(yàn)中，有二個因子在變動。因子A取r個不同水平 因子B取s個不同水平

2、,在（ ）水平組合下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果獨(dú)立地服從N（ ）分布。 為了研究方便起見，如單因子方差分析中那樣把參數(shù)改變一下，并令45 稱 為一般平均， 為因子A的第i個水平的效應(yīng)， 為因子B的第j個水平的效應(yīng)，它們顯然滿足關(guān)系式：6雙因素方差分析的基本假定每個總體都服從正態(tài)分布 對于因素的每一個水平，其觀察值是來自正 態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本各個總體的方差必須相同 對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總 體中抽取的 觀察值是獨(dú)立的7兩種情況分類 分析兩個因素(行因素Row和列因素Column)對試驗(yàn)結(jié)果的影響。 如果兩個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷行因素和列因素對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素

3、方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析或無重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor without replication)。 如果除了行因素和列因素對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個因素的搭配還會對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor with replication )。8有交互作用的雙因素方差分析若 則我們稱為因子A的第i個水平與因子B的第j個水平的交互作用，它們滿足關(guān)系式：9 為研究交互效應(yīng)是否對結(jié)果又顯著影響，那么在（ ）水平組合下至少要做t( )次試驗(yàn)，記其結(jié)果為 ，則諸 相互獨(dú)立，均服從 分布這就是有交互作

4、用的方差分析模型。（模型一）10有交互作用的雙因子方差分析:假設(shè)因子A 原假設(shè): H0: 備擇假設(shè): H1: 至少一個 不同于0因子B 原假設(shè): H0: 備擇假設(shè): H1: 至少一個 不同于0 交互作用 原假設(shè): H0:對一切i,j有 備擇假設(shè): H1: 至少一個 不同于011綜上所述有交互作用的雙因子方差分析的原假設(shè)為：對一切i,j有12平方和分解首先引入下述符號：13由模型一可知：14總的偏差平方和可以作如下分解：15其中各偏差平方和表達(dá)式如下：16 從中可知 反映了誤差的波動； 除反映了誤差的波動外還反映了因子A的效應(yīng)的差異，因子B的效應(yīng)的差異，交互效應(yīng)的差異所引起的波動。我們分別稱它們

5、為誤差的偏差平方和，因子A的偏差平方和，因子B的偏差平方和以及交互作用A*B的偏差平方和。 同理可計(jì)算各偏差平方和的自由度，它們分別是17構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量在 為真時，在 為真時，在 為真時，18F-檢驗(yàn) 根據(jù)上述構(gòu)造的三個統(tǒng)計(jì)量，按照顯著性假設(shè)檢驗(yàn)程序，對給定的顯著性水平 ，當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)拒絕拒絕拒絕19方差分析表20有交互作用的雙因子方差分析例題 在某化工生產(chǎn)中為了提高收率，選了三種不同濃度，四種不同溫度做試驗(yàn)。在同一濃度與溫度組合下各做兩次試驗(yàn)，其收率數(shù)據(jù)如下面計(jì)算表所列（數(shù)據(jù)均已減去75）。試在0.05顯著性水平下檢驗(yàn)不同濃度、不同溫度以及它們間的交互作用對收率有無顯著影響。21B（溫度）A（濃度）14，10 11，11 13，9 10，12（24）（22） （22） （22）9081009，7 10，8 7，11 6，10（16）（18）