期末復(fù)習(xí)矩陣分析課件

1、第八的章廣矩的陣廣的義廣逆的義廣逆的義廣逆第一節(jié)第一廣節(jié)義逆矩陣Ax b有唯一解, x A1b;若矩陣A是可逆方陣, 則方若A不是可逆方陣, 則Ax b有解 bR(A解), 解不不唯唯一一一“” bR(A), y使bAy. 由AAAA (AAA)yAy A(Ab)b, 即Ab是Axb的解 A是A的廣義逆矩陣1:AC mn, m階和n階可逆陣P, Q, 使 PAQ Er0,例1:00rEXr則MQ P 是A的一個廣義逆矩陣.YAMAZ1 ErX1 Er00證明：1r PPPQ00Er0YXErZ00E1 0 P1rQ00YZ00 P1 Er01QA00例 2：設(shè)A是ACmn的一個廣義逆, 則對任

2、意的VCnm,WCnm,V E()AAA( nXE)AAWm也是A的一個廣義逆矩陣.AVA)AAA證A 明： A (AAXA( E) EAAWAmn A AV ( A AA A) ( A AA A)WA A例 3：設(shè)A是ACmn的一個廣義逆, 則對任意的VCnm,A VA AXVAA也是A的一個廣義逆矩陣.AAVAAXA證A明A ：AAAVAAAA定理：設(shè)ACmn, R, 則:) T 若)C(An n)Tn, 則AAH(且 1,AHA(唯A一;(1)(A( A2,);,1, 0,) A(其,中 )(3A 00;4S 設(shè)) Cm ,n ,)T1A1;mnC則SA: T(TSmAnA5A )都是A

3、 冪等矩陣,:及且AAA( ArA rm n)r();6 )C7 )Cn A;A(A(EEnm n AA.mm證明：(2) A (A1A)A (AA1) A1(AAA)A1 A1AA1 A1A r r“” r(AAA) r(AA) r(AA) r(5)r(A)(A)A r(AA) nAA可逆 (6)En (AA)(AA)1 (AA)A (AAA)1 (AA)(AA)(AA)1 (AA)(AA)1(AA)1 (AA)1AA En“” 若AA En, 則: rA r(AA) n其它可直接驗(yàn)證或類似證明.定義：設(shè)ACmn, 若ACnm, 使AAA A, AAA A ,則稱A是A的自反廣義逆, 記為A

4、r.定理：設(shè)X, YCnm都是ACmn的廣義逆, 則Z XAY 是A的一個自反廣義逆矩陣.證明：AZA AXAYA AYA A;ZAZ XAYAXAYXAY(AXA)YXAY(A)YX(AYA)YXAYZ定理：設(shè)A是ACmn的廣義逆, 則A是A的自反廣義逆 rA rA rA AAA rAAA r證明：“”由AAA A 由AAA A rAArA r rA rA“” 設(shè)A滿足AAA A 且 rA rA rA, 則:AA rArdim N(AA) dim N(A)又因?yàn)镹(AA) N(A), 從而 N(AA) N(A). AA AAAA 0由 AAA AAA(E AA) 0A(E AA) 0第二節(jié)偽

5、逆矩陣定義：設(shè)ACmn, 若ACnm, 使AAA A, AAA A, (AA)H AA, (AA)H AA,則稱A為A的偽逆矩陣, 或稱A為Moore-Penrose廣義逆.定理：設(shè)ACrmn, A BC, 其中BCrmr, CCrrn, 則:X CH(CCH)1(BHB)1BH求偽逆的方法是A的偽逆矩陣.證明: AXA BCCH(CCH)1(BHB)1BHBC BC A;XAX CH(CCH)1(BHB)1BHBCCH(CCH)1(BHB)1BH CH(CCH)1(BHB)1BH X(AX)H (BCCH(CCH)1(BHB)1BH)H (B(BHB)1BH)H B(BHB)1BH(XA)H

6、 (CH(CCH)1(BHB)1BHBC)H(AX)H AX; (CH(CCH)1C)H CH(CCH)1C 推論：若ACrmr, 則: A (AHA)1AH;若ACrrn, 則: A AH(AAH)1.(XA)H XA定理：ACmn, A的偽逆是唯一的. 若ACnnn, 則A A1證明: 設(shè)X, Y都是A的偽逆矩陣, 則:X XAX XAYAX X(AY)H(AX)H X(AXAY)H X(AY)H XAY XAYAY (XA)H(YA)HY (YAXA)HY (YA)HY YAY Y當(dāng)ACnnn, A1滿足四個條件, 故A A1性質(zhì)：設(shè)ACrmn, 則(1) (A) A;(2) (AAH)

7、(AH)A(A)HA;(3) (AHA)A(AH)A(A)H;(4) AAH(AAH)(AHA)AH.證明：(1) 顯然, 因?yàn)樵贏的A定義中, A和A處在對稱位置.(2) AAH(AAH)AAH AAH(A)HAAAH A(AA)H(AA)AH AAAAAAH AAAAH AAH(AAH)AAH(AAH) (A)HAAAH(A)HA (A)HAA(AA)HA (A)HAAAAA (A)HAAA (A)HA (AAH)(AAH)(AAH)H(AAH)H(AAH)H(AAH)(AAH) (A)HA(AAH)(A)H(AA)AH(A)H(AA)HAH (A)HAH(A)HAH(AA)H(AA)HA

8、AAA A(AA)HA(AAH)(A)HA(AAH)(AAH)(AAH)(AAH)H(AAH)H(AAH)H(AAH)(AAH) (AAH)(A)HAA(AA)HAAAAA (AA)H(AA)H(A)HAH(A)HAH(A)H(AA)HAH (A)H(AA)HAH(A)HA(AAH)(AAH)(AAH)(3)的證明與(2)類似, 略.(4) 設(shè)A BC, 其中BCrmr, CCrrn. 根據(jù)本節(jié)第一個定理,A CH(CCH)1(BHB)1BH, 由(2)AH(AAH) AH(A)HA CHBHB(BHB)1(CCH)1CCH(CCH)1(BHB)1BH CH(CCH)1(BHB)1BH A(A

9、HA)AH A(A)HAH:例 2：設(shè)ACrmn, 則AHA是正定或正半定Hermite矩陣, UUnn使 UHAHAU diag(1, 2,L, n) , 其中i 0. 試證:A UUHAH證明： AHA Udiag(1, 2, L, n)UH UUH. 不妨設(shè)12Lr1r2Ln0, 并令1 diagr0,1 ,r則:AH A diag U L( , L, 0 U0 )H, ,1r HUU1H0 1UHUBCH1U 1211110H2Ur,n rr n rB 其 中U: CC HH CU1111X CH(CCH)1(BHB)1BH BC是AHA的滿秩分解. 根據(jù)本節(jié)第一個定理, 有(AHA)

10、 U11(1HU1HU11)1(1HU1HU11)11HU1H U11(1H1)1(1H1)11U1HH U11(r)1(r)11HU1H U1(r)1U1H U1rU1H UUH,1100A 2例 3：求A的偽逆矩陣A , 其中2000550,|EAHA| 2(10),A解H： A0解：551 10,2 3 0 10r容易求出, AHA的與特征值1 10對應(yīng)的特征向量為: 1/122/ u10/U10/1122A1HUHUA1r112 12/ 01 111000/022 11212 1 12012001 01 00 00020 110 11122101/ 1 /5 0010/ 11/5第三節(jié)

11、廣義逆與線性方定理：設(shè)ACmn, BCst, DCmt, 則:AXB D有解 A, B 使AADBB D有解情況下, X ADB Y AAYBB是方程的通解, 其中 Y為任意ns矩陣.證明：“” 設(shè)AXB D有解, 則A, B 都有：D AXB (AAA)X(BBB) AA(AXB)BB AADBB“” 設(shè)A, B 使 AADBB D, 則: X ADB 滿足AXB AADBB D, 即X ADB 是AXB D的解.有解時, 可驗(yàn)證: X ADB Y AAYBB是方程的一個解, 且AXB D的任意解G可表示為:G ADB G ADB ADB G AAGBB為所給形式. 故X為通解.推論1：設(shè)A

12、Cmn, DCmt, 則:AX D有解 A 使AAD D,有解情況下, 通解為X AD Y AAY, 其中YCnt為任意矩陣.推論2：設(shè)ACmn, bCm, 則:Ax b有解 A 使AAb b,有解情況下, 通解為x Ab (EAA)y, 其中yCn為任意向量.定義：設(shè)ACmn, bR(A). 稱相容方, 模長|x|最小的解x*為最小模解, 即:Ax b的所有解,s.t. Ax bx定理：設(shè)ACmn, 則:bR(A), xBb是Axb之最小模解 ABAA, (BA)HBA證明：“” 設(shè)bR(A), xBb是Ax b的解, 則ABAA,Ax b的通解可表示為x Bb (EBA)z, 其中zCn因

13、Bb還是Ax b之最小模解, 故|Bb| |Bb(EBA)z|, zCn且方從而|Bb|2 |Bb(EBA)z|2, bR(A), zCn設(shè)b Ay, 則:|BAy|2 |BAy(EBA)z|2, yCn, zCn也就是yCn, zCn,(BAy)H(BAy) BAy(EBA)zHBAy(EBA)z (BAy)H(BAy) (BAy)H(EBA)z (EBA)zH(BAy) (EBA)zH(EBA)z (BAy)H(EBA)z(EBA)zH(BAy)(EBA)zH(EBA)z 2Re(BAy)H(EBA)z |(EBA)z|2 0,yCn, zCn2Re(BAy)H(EBA)z |(EBA)z

14、|2 ,yCn, zCn從而:(BA)H (BA)H(BA)BA (BA)H(BA) (BA)H“” 設(shè)BA (BA)H, 則: (BA)H(EBA) 0, 從而:2Re(BAy)H(EBA)z |(EBA)z|2 0,yCn, zCn|BAy|2 |BAy(EBA)z|2, yCn, zCn|Bb| |Bb(EBA)z|, zCn, bR(A)即: bR(A), x Bb 是Ax b之最小模解(A,b) r(A), 即bR(A)時, Ax b無解, 方當(dāng)r不相容定義：設(shè)ACmn, bCm. 稱滿足|Ax0 b|2 |Ax b|2, xCnAx b的一個最小二乘解, 即:的x0為方2 arg

15、minxAx bx 0定理：設(shè)ACmn, 則:bCm, xBb是Axb之最小二乘解 ABAA, (AB)HAB證明：“” 設(shè)bCm, xBb是Axb之最小二乘解, 則:|Ax b|2 |ABb b|2, bCm, xCn令x yBb, 則:|AyABbb|2 |Ay|2|ABbb|22ReyHAH(ABE)b |ABbb|2,yCn, bCm|Ay|22ReyHAH(ABE)b 0, yCn, bCmReyHAH(ABE)b 0, yCn, bCm AH(ABE) 0 AHAB AHBHAHA A(AB)H AB ABA ABHAHAB AB“” 設(shè)ABA A且 (AB)H AB, 則: AH

16、AB AH(AB)H (ABA)H AHAH(ABE) 0Ax b的最小二乘解的通解可表示為: x0 Ab (EAA)y, yCn為任意向量定理：方Ax b的一個最小二乘解. yCn,證明：Ab是方|Ax0b| |AAb(EAA)yb| |AAbb|,所以, x0 Ab(EAA)y也是Ax b的一個最小二乘解.另一方面, 設(shè)B是任意一個滿足ABAA, BHAH (AB)HAB的矩陣, 即x0 Bb是Ax b的任意一個最小二乘解, 則:x0 AbBbAb AbBbAAAb AbBbA(ABA)Ab AbBbA(AB)H(AA)Hb AbBbABHAH(A)HAHb AbBbA(AAAB)Hb AbBbAABb Ab(EAA)Bb 為所給通解形式 x0 Ab(EAA)y是Ax b的最小二乘解之通解定義：設(shè)ACmn, bCm. 稱方Ax b的最小二乘解中模長最小者x0*為Ax b的最佳最小二乘解. 即:2xa*rgmxin00 x022 ,bAx s.t.AxnxbC0定理理：設(shè)ACmn, bCm, 則x0* Ab是方Ax b的最佳最小二乘解.證明：Ax b的最小二乘解之通解為: