高等數(shù)學(xué)第九章課件

1、第九章 二重積分第一節(jié) 二重積分的概念及其性質(zhì)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用第一節(jié) 二重積分的概念及其性質(zhì)一、二重積分的概念二、二重積分的性質(zhì)一、二重積分的概念（一） 曲頂柱體的體積柱體體積=底面積*高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.曲頂柱體求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積（二） 平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于

2、零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)設(shè)k為常數(shù)，性質(zhì)2性質(zhì)3 若積分區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)部分D1,D2，則性質(zhì)4性質(zhì)5 設(shè)M,m是函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值與最小值,是D的面積,則第二節(jié) 二重積分的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算如果積分區(qū)域?yàn)椋篨型其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法得如果積分區(qū)域?yàn)椋篩型X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直

3、線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，則必須分割.在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算 設(shè)有極坐標(biāo)系下的積分區(qū)域D, 用一組以極點(diǎn)為圓心的同心圓(r=常數(shù))及過(guò)極點(diǎn)的一組射線(=常數(shù))將區(qū)域D分割成n個(gè)小區(qū)域. 平面上的點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)與該點(diǎn)的極坐標(biāo)(r,)之間的關(guān)系： x=rcos ,y=rsin ，(1)若極點(diǎn)O在區(qū)域D*之外,且D*由射線=,=和兩條連續(xù)曲線r=r1()，r=r2()圍成 (2)若r1()=0,即極點(diǎn)O在區(qū)域D*的邊界上,且D*由射線=,=和連續(xù)曲線r=r ()圍成 (3)若極點(diǎn)O在區(qū)域D*內(nèi),且D*的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=r

4、()(02) 第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用一、幾何應(yīng)用二、物理應(yīng)用一、幾何應(yīng)用（一） 求立體的體積和平面圖形的面積例1 計(jì)算由曲面及 xoy 面所圍的立體體積。解設(shè)立體在第一卦限上的體積為 V1。由立體的對(duì)稱性，所求立體體積 V = 4V1 。立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底為于是，所求立體的體積例2 求兩個(gè)圓柱面所圍的立體在第一卦限部分的體積。解所求立體可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底為它的底為它的曲頂為于是，立體體積為例3 求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解顯然，所求立體應(yīng)在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個(gè)卦限部分的體積是對(duì)稱相等的。因此，若設(shè)第一卦限部分的體積為 V1 ，則所求立體的體積為V1 可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底D 由半圓周及 x 軸圍成。用極坐標(biāo)系表示于是，所求立體體積（二） 求曲面的面積設(shè)曲面的方程為：如圖，- 曲面 S 的面積元素曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲