導(dǎo)數(shù)專題[經(jīng)典23題]

1、 . . 41/4123個(gè)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)類型專題1、函數(shù)第1題已知函數(shù)，若，且，求的取值圍.解析：= 1 * GB2 將不等式化成模式由得：，化簡得：= 1 * GB3= 2 * GB2 構(gòu)建含變量的新函數(shù)構(gòu)建函數(shù)： （，且）其導(dǎo)函數(shù)由求得：即：= 2 * GB3= 3 * GB2 確定的增減性先求的極值點(diǎn)，由得：即： = 3 * GB3由基本不等式代入上式得：故：即：由于，即，故：，即即：的極值點(diǎn)在時(shí)，由于有界，而無界故： 即：在時(shí)，單調(diào)遞減；那么，在時(shí)，單調(diào)遞增.滿足= 3 * GB3式得恰好是= 4 * GB2 在由增減性化成不等式在區(qū)間，由于為單調(diào)遞減函數(shù)，故：應(yīng)用不等式：得：即：，即：

2、的最大值是代入= 1 * GB3式得：，即：，即：= 4 * GB3= 5 * GB2 在由增減性化成不等式在區(qū)間，由于為單調(diào)遞增函數(shù)，故：由于極限，故：，代入= 1 * GB3式得：= 5 * GB3= 6 * GB2 總結(jié)結(jié)論綜合= 4 * GB3和= 5 * GB3式得：. 故：的取值圍是本題的要點(diǎn)：求出的最小值或最小極限值.特刊：數(shù)值解析由= 1 * GB3式，設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，用洛必達(dá)法則得：，則用數(shù)值解如下：0.30.40.50.60.70.80.91.00.20620.12730.07580.04220.02090.00830.00180.00001.11.21.31.41.51.61

3、.71.80.00150.00550.01140.01860.02690.03590.04540.0553其中，的最小值是，即，所以本題結(jié)果是.2、函數(shù)第2題已知函數(shù)，連續(xù)，若存在均屬于區(qū)間的，且，使，證明：解析：= 1 * GB2求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)：= 1 * GB3其導(dǎo)函數(shù)：= 2 * GB3= 2 * GB2給出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由于，由= 2 * GB3式知：的符號由的符號決定. 當(dāng)，即：時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即：時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，即：時(shí)，函數(shù)達(dá)到極大值.= 3 * GB2由區(qū)間的增減性給出不等式由均屬于區(qū)間，且，得到：，若，則分屬于峰值點(diǎn)的兩側(cè)即：，.所以：所在的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間

4、，所在的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間.故，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性，在單調(diào)遞增區(qū)間有：= 3 * GB3在單調(diào)遞減區(qū)間有：= 4 * GB3= 4 * GB2 將數(shù)據(jù)代入不等式由= 1 * GB3式得：；代入= 3 * GB3得：，即：，即：= 5 * GB3代入= 4 * GB3式得：，即：，即：= 6 * GB3= 5 * GB2 總結(jié)結(jié)論結(jié)合= 5 * GB3和= 6 * GB3式得：. 證畢.本題的要點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性來證明本題.特刊：特值解析由= 3 * GB2已得：，且：，若：，則：即：，故：當(dāng)：，時(shí)，當(dāng)：，時(shí)，故：處于這兩個(gè)特值之間，即：3、函數(shù)第3題已知函數(shù).若函數(shù)的圖像與

5、軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試證明：.解析：= 1 * GB2求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)的定義域由可得：.導(dǎo)函數(shù)為：= 1 * GB3= 2 * GB2確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)達(dá)到極大值.= 2 * GB3= 3 * GB2 分析圖像與軸的交點(diǎn)，求出區(qū)間由于，若與軸交于兩點(diǎn)，則其極值點(diǎn)必須.即：，即：= 3 * GB3考慮到基本不等式與= 3 * GB3式得：即：，即：，即：結(jié)合，即：得：= 4 * GB3= 4 * GB2 求出點(diǎn)以與關(guān)于極值點(diǎn)的對稱點(diǎn)兩點(diǎn)分居于極值點(diǎn)兩側(cè)，即：，設(shè)：，則，且（因）設(shè)：，則與處于一樣得單調(diào)遞減區(qū)間.于是：，即

6、：故：= 5 * GB3將替換成代入就得到：= 6 * GB3= 5 * GB2比較點(diǎn)的函數(shù)值，以增減性確定其位置構(gòu)造函數(shù)：將= 5 * GB3= 6 * GB3式代入上式得：= 7 * GB3其對的導(dǎo)函數(shù)為：= 8 * GB3由于= 4 * GB3式與，所以.即：是隨的增函數(shù)，其最小值是在時(shí)，即：由= 7 * GB3式得：，故：.當(dāng)時(shí)，即：由于和同在單調(diào)遞減區(qū)間，所以由得：即：，即：或= 9 * GB3= 6 * GB2 得出結(jié)論那么，由= 9 * GB3式得：即： . 證畢.本題的關(guān)鍵：首先求得極值點(diǎn)，以為對稱軸看的對稱點(diǎn)就可以得到結(jié)論. 具體措施是：設(shè)點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到4、函數(shù)第4

7、題已知函數(shù).若，求的最大值.解析：= 1 * GB2求出函數(shù)的解析式由于和都是常數(shù)，所以設(shè)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式.設(shè)：，則：其導(dǎo)函數(shù)為：，則：所以：，函數(shù)的解析式為：= 1 * GB3= 2 * GB2化簡不等式即：，故：= 2 * GB3= 3 * GB2構(gòu)建新函數(shù)，并求其極值點(diǎn)構(gòu)建函數(shù)= 3 * GB3其導(dǎo)函數(shù)：= 4 * GB3要使= 2 * GB3式得到滿足，必須.即：，或的最小值等于0故當(dāng)取得極值時(shí)有：，由= 4 * GB3式得極值點(diǎn)：此時(shí)的由= 3 * GB3得：= 5 * GB3= 4 * GB2 求的最大值由= 5 * GB3式得：，則：= 6 * GB3令：，則=

8、6 * GB3式右邊為： （）其導(dǎo)函數(shù)為：= 7 * GB3當(dāng)，即：時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即：時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)，即：時(shí)，達(dá)到極大值.此時(shí)，的極大值為：= 8 * GB3= 5 * GB2 得出結(jié)論將= 8 * GB3代入= 6 * GB3式得：，故：的最大值為本題的關(guān)鍵：利用已知的不等式得到關(guān)于的不等式即= 6 * GB3式，然后求不等式= 6 * GB3式的極值.5、函數(shù)第5題已知函數(shù)的最小值為，其中.若對任意的，有成立，數(shù)的最小值.解析：= 1 * GB2 利用基本不等式求出利用基本不等式或，得：即：，即：已知的最小值為，故，即：或者，將的端點(diǎn)值代入，利用最小值為，求得= 2 * GB2用導(dǎo)數(shù)

9、法求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：= 1 * GB3當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)達(dá)到極小值.依題意，的最小值為，故當(dāng)時(shí)，即：，故：函數(shù)的解析式為：= 2 * GB3= 3 * GB2構(gòu)建新函數(shù)當(dāng)時(shí)，有，即：構(gòu)建函數(shù)：= 3 * GB3則函數(shù)，即的最大值為.實(shí)數(shù)的最小值對應(yīng)于的最大值點(diǎn).= 4 * GB2 確定的單調(diào)區(qū)間和極值于是由= 3 * GB3式得導(dǎo)函數(shù)為：= 4 * GB3當(dāng)時(shí)，由= 3 * GB3式得函數(shù)；則是極值點(diǎn)，同時(shí)也是區(qū)間的端點(diǎn).當(dāng)時(shí)，即：當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)達(dá)到極大值.故：從開始單調(diào)遞增，直到達(dá)到的極大值，再單調(diào)

10、遞減，所以是個(gè)極小值.是個(gè)極大值，也是最大值.= 5 * GB2求出最大值點(diǎn)將最值點(diǎn)代入= 3 * GB3式得：（）由的最大值為得：即：，即：，此時(shí)，即：，即：= 6 * GB2 給出結(jié)論由于，也是端點(diǎn)，結(jié)合= 4 * GB2的結(jié)論，所以：在區(qū)間單調(diào)遞減，是個(gè)極大值，也是最大值.由得出實(shí)數(shù)的最小值為：故：實(shí)數(shù)的最小值.本題關(guān)鍵：用構(gòu)建新函數(shù)代替不等式，通過求導(dǎo)得到極值點(diǎn).特刊：特值解析由= 3 * GB3式，要求函數(shù).由= 3 * GB3式可看出時(shí)，由得：，令我們只要求出在極值點(diǎn)的值就好.用洛必達(dá)法則：對應(yīng)于的，即：實(shí)數(shù)的最小值.6、函數(shù)第6題已知函數(shù)，（），當(dāng)在一定圍時(shí)，曲線上存在唯一的點(diǎn)，

11、曲線在點(diǎn)的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，就是點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).解析：= 1 * GB2確定曲線的切線方程曲線：= 1 * GB3其導(dǎo)函數(shù)：= 2 * GB3設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則切線方程為：= 3 * GB3= 2 * GB2 構(gòu)建新函數(shù)，并求導(dǎo)構(gòu)建函數(shù)，則切線與曲線的交點(diǎn)就是的零點(diǎn).則：= 4 * GB3其導(dǎo)函數(shù)：= 5 * GB3由= 2 * GB3得：，代入= 5 * GB3式得：= 6 * GB3= 3 * GB2分析時(shí)函數(shù)的單調(diào)性和極值當(dāng)時(shí)：若，則，故：，單調(diào)遞增；若，則，故：，單調(diào)遞減；若，則，故：，達(dá)到極小值.由= 4 * GB3式得：的極小值.此時(shí)，的零點(diǎn)與點(diǎn)的取值有關(guān)，因此點(diǎn)的取值不唯

12、一，所以的零點(diǎn)就不唯一.故當(dāng)時(shí)，不滿足點(diǎn)唯一的條件.= 4 * GB2 分析時(shí)函數(shù)的切線當(dāng)時(shí)：由= 6 * GB3式，的情況分兩種：a即：，此時(shí)與= 2 * GB2的情形一樣，點(diǎn)的取值不唯一.b ，即：，此時(shí)，即：= 7 * GB3= 7 * GB3式的解是曲線與直線的交點(diǎn).曲線恒過點(diǎn)，直線也恒過點(diǎn)，當(dāng)曲線過點(diǎn)的切線斜率等于時(shí)，其這個(gè)切線就是曲線的切線.故：曲線過點(diǎn)的切線斜率為：于是：，即：，即：= 5 * GB2 得到切點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)時(shí)，就存在.由于在其定義域是凸函數(shù)，所以與其切線的交點(diǎn)是唯一的.將代入= 1 * GB3式得：得到和，這就是點(diǎn)的唯一坐標(biāo).= 6 * GB2 結(jié)論切點(diǎn)的坐標(biāo)：，本題

13、要點(diǎn)：利用圖象法解超越方程= 7 * GB3.7、函數(shù)第7題已知函數(shù)，其中.在函數(shù)的圖象上取定兩點(diǎn)，且，而直線的斜率為.存在，使成立，求的取值圍.解析：= 1 * GB2的斜率與的導(dǎo)函數(shù)由、兩點(diǎn)的坐標(biāo)得到直線的斜率：= 1 * GB3函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：= 2 * GB3= 2 * GB2 構(gòu)建新函數(shù)，并求導(dǎo)判斷是否成立，即判斷是否不小于.所以，構(gòu)建函數(shù)：，若，則成立.則：= 3 * GB3導(dǎo)函數(shù)：= 4 * GB3= 3 * GB2求在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值由= 3 * GB3式得：= 5 * GB3= 6 * GB3= 4 * GB2 確定的零點(diǎn)存在利用基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.即：= 7 *

14、 GB3將= 7 * GB3式應(yīng)用于= 5 * GB3式得： （）將= 7 * GB3式應(yīng)用于= 6 * GB3式得： （）則，證明其存在性.函數(shù)在區(qū)間是連續(xù)的，其導(dǎo)函數(shù)也存在.由= 4 * GB3式得：，即函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).是單調(diào)函數(shù)，則證明其唯一性.由和以與函數(shù)零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)必過零點(diǎn)，且是唯一零點(diǎn).= 5 * GB2求在區(qū)間的零點(diǎn)位置設(shè)函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)位置在，則有由= 3 * GB3式得： （）即：= 7 * GB3且：= 6 * GB2 求在區(qū)間的由= 4 * GB3式得：函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故：在區(qū)間，；在區(qū)間，；在時(shí)，.故，的區(qū)間為，即：本題要點(diǎn)：構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式= 3 * G

15、B3，由其導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性、增減性，得出零點(diǎn).8、函數(shù)第8題已知函數(shù).證明：當(dāng)時(shí)，證明：= 1 * GB2 構(gòu)建新函數(shù)，并求導(dǎo)構(gòu)建函數(shù)= 1 * GB3導(dǎo)函數(shù)= 2 * GB3即：= 3 * GB3函數(shù)滿足，現(xiàn)在只要證明，當(dāng)時(shí)，則.= 2 * GB2化掉= 2 * GB3式中的根號項(xiàng).要保持不等號的方向不變，只有即：或. （代表某個(gè)不含根號的式子）由于有和的兩種選項(xiàng)，所以采用化掉的方法.由均值不等式：得：代入= 3 * GB3式得：即：= 4 * GB3= 3 * GB2求函數(shù)的極值點(diǎn)當(dāng)取極值時(shí)，. 故由= 4 * GB3式得：，即：= 5 * GB3令，（）則= 5 * GB3式為：，即：=

16、6 * GB3分解因式法：故有：，與，即：由于，所以舍掉負(fù)值，故取所以有：，即：，由于所以函數(shù)在兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)之間是單調(diào)的.= 4 * GB2由單調(diào)性證明不等式由= 1 * GB3式得：，即：，由于在區(qū)間，是單調(diào)的，故：于是，函數(shù)在時(shí)達(dá)到極大值，然后遞減，直到時(shí)達(dá)到極小值.就是說在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞減.即：，故：. 證畢.本題要點(diǎn)：構(gòu)建函數(shù)，由兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)之間的區(qū)間是單調(diào)的，以與兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)之間的函數(shù)值的大小關(guān)系，得出：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間為單調(diào)遞減，由此來證明本題.9、函數(shù)第9題已知，為正整數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn).設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求證：當(dāng)時(shí)，對所有都有：.證明：= 1

17、* GB2先求點(diǎn)的坐標(biāo)將，代入拋物線得：= 2 * GB2求過點(diǎn)的切線方程拋物線的導(dǎo)數(shù)為：= 1 * GB3故點(diǎn)的切線方程為：即：= 2 * GB3= 3 * GB2求切線在軸上的截距為由= 2 * GB3式，當(dāng)時(shí)，.故：= 3 * GB3= 4 * GB2分析待證不等式，即：，即：，即：，即：，即：將= 3 * GB3式代入上式得：，即：= 4 * GB3證明了= 4 * GB3式，就證明了不等式= 5 * GB2 數(shù)值分析由= 4 * GB3式當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；（，）因?yàn)?，? 4 * GB3式兩邊求對數(shù)得：= 5 * GB3滿足上式得：的最小值，就是的最大值.= 6 * GB2

18、構(gòu)建新函數(shù)構(gòu)建函數(shù)：，求的最大值.求導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)，即：，即：= 6 * GB3令，則. 代入= 6 * GB3式得：= 7 * GB3= 7 * GB2求的最大值雖然解方程= 7 * GB3比較困難，但得到其取值圍還是可以的.由= 7 * GB3式得：，即：即：，即：于是滿足= 5 * GB3式的的最大值是代入= 4 * GB3式得：= 8 * GB3= 8 * GB2 證明結(jié)論滿足= 8 * GB3式，就滿足= 4 * GB3式，由= 4 * GB2得證.當(dāng)時(shí)，對所有都有：. 證畢.10、函數(shù)第10題已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).設(shè)， 證明：對任意，解析：= 1 * GB2 求函數(shù)的解析式函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為

19、：= 1 * GB3函數(shù)得：= 2 * GB3= 2 * GB2 構(gòu)造新函數(shù)由基本不等式（僅當(dāng)時(shí)取等號）得:代入= 2 * GB3式得： （）令：= 3 * GB3則上式為：= 4 * GB3= 3 * GB2 分析的單調(diào)性，并求其極值由= 3 * GB3式得導(dǎo)函數(shù)為：= 5 * GB3當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最大值.的最大值是在，由= 3 * GB3式得：= 6 * GB3= 4 * GB2 證明結(jié)論故由= 4 * GB3式和= 6 * GB3式：即：對任意，. 證畢.本題要點(diǎn)：運(yùn)用基本不等式.11、函數(shù)第11題已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，和是、的導(dǎo)函數(shù). 設(shè)，且，若在以

20、為端點(diǎn)的開區(qū)間上恒成立，求的最大值.解析：= 1 * GB2 構(gòu)建新函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：= 1 * GB3函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：= 2 * GB3構(gòu)建函數(shù)：= 3 * GB3則已知條件化為：在開區(qū)間上恒成立，等價(jià)于= 4 * GB3= 2 * GB2確定的取值圍已知，若，則區(qū)間；故：此時(shí)區(qū)間包括點(diǎn).由= 1 * GB3= 2 * GB3式得：，所以不滿足= 4 * GB3式，即：不成立.故：，與同處于區(qū)間.= 3 * GB2確定的取值圍由于，即：要滿足= 4 * GB3式，在時(shí)，則必須有：，即：，即：，即：，結(jié)合得：= 5 * GB3= 4 * GB2確定的最大值.由于區(qū)間是以為端點(diǎn)，而所以若，則，所以

21、：，即：，故：，代入= 5 * GB3式得：故：= 6 * GB3故：的最大值就是由= 6 * GB3式?jīng)Q定的區(qū)間長度，即本題的要點(diǎn)：確定，確定的取值圍= 5 * GB3式.12、函數(shù)第12題已知函數(shù)（），若時(shí)，求的最小值.解析：= 1 * GB2 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)得：導(dǎo)函數(shù)為：= 1 * GB3依題意，若時(shí)，即在區(qū)間的最大值為0.所以，只要求出區(qū)間的最大值，使之為0，就解決問題.= 2 * GB2由函數(shù)極值點(diǎn)得出相應(yīng)的結(jié)果由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0得：所以當(dāng)在區(qū)間時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減故滿足的條件.于是：由于，所以，即：故：，即：求三角函數(shù)定義域得：，故：.結(jié)合，于是，即的最小值是.13、函數(shù)

22、第13題已知函數(shù)（），若曲線和曲線都過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線相互垂直.若時(shí)，求的取值圍.解析：= 1 * GB2 求出函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：= 1 * GB3函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：= 2 * GB3= 2 * GB2由求出和由曲線過點(diǎn)得：由曲線過點(diǎn)得：= 3 * GB2 由點(diǎn)處的切線相互垂直條件得出與的關(guān)系式由點(diǎn)處的切線相互垂直，即切線斜率的乘積等于，即：由= 1 * GB3得：，由= 2 * GB3得：代入上式得：= 3 * GB3= 4 * GB2構(gòu)建新函數(shù)構(gòu)建函數(shù)：，即：于是：，即：= 4 * GB3當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.= 5 * GB3= 5 * GB2 化簡求解條件只要滿足，就一定滿足= 5 *

23、 GB3式.于是由= 3 * GB2得：= 6 * GB3將= 3 * GB3式代入= 6 * GB3式得：，即：而= 4 * GB3式已得：，所以只要滿足就可以滿足= 5 * GB3式.= 6 * GB2化解要，即：將= 1 * GB3= 2 * GB3式代入上式得：= 7 * GB3由= 3 * GB3得:，將上式和基本不等式，代入= 7 * GB3式得：= 8 * GB3只要右邊不小于，就滿足要求. 即：即：已知，所以.已知= 5 * GB2中，所以，由“一正二定三相等”得：或者由基本不等式 （）也可得到上式.代入= 8 * GB3式得：= 9 * GB3= 6 * GB2解析= 9 *

24、 GB3式若：，即：= 10 * GB3= 1 * romani.當(dāng)時(shí)，顯然上式成立，則由= 9 * GB3式得成立；= 2 * romanii.當(dāng)時(shí)，由= 10 * GB3式得：，即：由= 3 * GB3式得：，且，故：= 3 * romaniii.當(dāng)時(shí)，由= 10 * GB3式得：而，故：由于，這兩者之和為定值，由“一正二定三相等”得：當(dāng)，即時(shí)，為極大值.此時(shí)為極小值，故此時(shí).由= 3 * GB3式得：，即：綜上，由和得：可以滿足= 5 * GB3式條件.本題由切線互相垂直得到= 3 * GB3式，構(gòu)建函數(shù)得到= 5 * GB3式，不等關(guān)系得到= 9 * GB3式，重點(diǎn)是分析= 9 * G

25、B3式得到的取值圍.14、函數(shù)第14題已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求的取值圍.解析：= 1 * GB2 分析題意設(shè)，則的意思，就是的圖象在的圖象之上設(shè)在處，與的圖象相切，此時(shí)，設(shè)值為只要，的圖象永在的圖象之上.= 2 * GB2 由點(diǎn)的關(guān)系來建模由于點(diǎn)在曲線上，故：= 1 * GB3同時(shí)點(diǎn)在曲線上，故：= 2 * GB3它們在圖象相切，故：即：= 3 * GB3由= 1 * GB3= 2 * GB3式得：= 4 * GB3= 3 * GB2 解超越方程= 3 * GB3式方程= 3 * GB3是一個(gè)超越方程，令（），即：代入= 3 * GB3得：或= 5 * GB3由得：（因定義域），則：，即：故：= 6

26、 * GB3由基本不等式（僅當(dāng)時(shí)取等號）或（僅當(dāng)時(shí)取等號）代入= 5 * GB3式可得：，即：，即：= 7 * GB3由= 6 * GB3= 7 * GB3得：= 8 * GB3事實(shí)上，方程的解是：.= 4 * GB2 解出極值點(diǎn)的由= 4 * GB3式得：，即：即：= 9 * GB3故：，所以：當(dāng)時(shí)，由= 1 * GB2的分析，本題答案是：，即，本題答案：（嚴(yán)格來說，解超越方程得，本題答案是）本題解析= 3 * GB3式是關(guān)鍵，= 5 * GB2步是技巧.下面是極值點(diǎn)附近的函數(shù)圖15、函數(shù)第15題設(shè)函數(shù)，其中，求時(shí)的取值圍.解析：的圖象是開口向下的拋物線，于是當(dāng)時(shí)，即：，即：故：的取值圍是，

27、本題就是分析二次函數(shù)題.16、函數(shù)第16題已知，函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間的圖像上存在兩點(diǎn)，在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線相互垂直，求的取值圍.解析：去絕對值號= 1 * GB2 對，其導(dǎo)數(shù)：即：在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增；= 2 * GB2 對，其導(dǎo)數(shù)：即：在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞減；= 3 * GB2 對，函數(shù)達(dá)到極小值0. 一個(gè)絕對值的極小值不小于0.若點(diǎn)和點(diǎn)處的切線相互垂直，即：= 1 * GB3則點(diǎn)和點(diǎn)分居于兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)域.設(shè)，則，于是= 1 * GB3式就是：，即：即：= 2 * GB3= 4 * GB2 解析= 2 * GB3式得= 5 * GB3式由= 2 * GB3式得：= 3 * GB3因?yàn)?，所以，代?/p>

28、= 3 * GB3式得：，即：，即：= 4 * GB3因?yàn)?，所以，結(jié)合= 4 * GB3式得：即：，故：= 5 * GB3= 5 * GB2 解析= 3 * GB3式得= 7 * GB3式因?yàn)?，所以，即：，代? 3 * GB3式得：，即：= 6 * GB3因?yàn)?，所以代? 6 * GB3式得：，即：= 7 * GB3綜上= 5 * GB3和= 7 * GB3式得，的取值圍是.本題要點(diǎn)：由已知條件演繹出= 2 * GB3式，由= 2 * GB3式演繹出的取值圍.17、函數(shù)第17題已知函數(shù)，為常數(shù)且. 若條件1：滿足；條件2：. 則滿足這2個(gè)條件，稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，試確

29、定的取值圍.解析：= 1 * GB2 函數(shù)去絕對值號得出和當(dāng)時(shí)，記：= 1 * GB3當(dāng)時(shí)，記：= 2 * GB3條件1：= 3 * GB3條件2：= 4 * GB3= 2 * GB2 在與時(shí)解析= 1 * GB3式對二階周期點(diǎn)當(dāng)，函數(shù)用= 1 * GB3式：當(dāng)時(shí)，復(fù)合函數(shù)仍用= 1 * GB3式：故：，條件1：，即：，即：；條件2：，即：，即：.此時(shí)，函數(shù)不能同時(shí)滿足條件1和條件2，故沒有二階周期點(diǎn).= 3 * GB2 在與時(shí)解析= 1 * GB3式對二階周期點(diǎn)當(dāng)，函數(shù)用= 1 * GB3式：當(dāng)時(shí)，函數(shù)用= 2 * GB3式：故：，條件1：，即：；條件2：，即：，即：.則：= 5 * GB3

30、= 4 * GB2 在與時(shí)解析= 5 * GB3式將條件1：代入得：即：，即：，即：= 6 * GB3將代入得：即：，即：，即：故：= 7 * GB3結(jié)合= 6 * GB3式和= 7 * GB3式與得：所以，= 5 * GB3式為一個(gè)二階周期點(diǎn)，記為：此時(shí)，的取值圍是，二階周期點(diǎn)= 5 * GB2 在與時(shí)解析= 2 * GB3式對，函數(shù)用= 2 * GB3式：對時(shí)，應(yīng)用= 1 * GB3式得：故：，條件1：，即：；條件2：，即：.則：，即：，即：且i將代入得：即：，即：，即：即：ii 將代入得：即：，即：，即：結(jié)合i和ii與，得：所以，為另一個(gè)二階周期點(diǎn)，記為：此時(shí)，的取值圍是，二階周期點(diǎn)=

31、6 * GB2 在與時(shí)解析= 2 * GB3式對，函數(shù)用= 2 * GB3式：對時(shí)，應(yīng)用= 2 * GB3式得：即：= 8 * GB3條件1：，即：當(dāng)時(shí)，上式即：條件2：，即： 此時(shí)，函數(shù)不能同時(shí)滿足條件1和條件2，故沒有二階周期點(diǎn).綜上，如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，則的取值圍是.本題要點(diǎn)：兩個(gè)條件要同時(shí)滿足；分類討論18、函數(shù)第18題已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若恒成立，數(shù)的取值圍.解析：= 1 * GB2 解讀題意由于，所以有（）.故可以考慮將函數(shù)化為冪函數(shù)來解決.由于，構(gòu)建函數(shù)：則題目化為：當(dāng)時(shí)，數(shù)的取值圍.= 2 * GB2 將函數(shù)化為冪函數(shù)形式構(gòu)建函數(shù)：，滿足條件1：= 1 * GB3構(gòu)建函數(shù)：，條件

32、1成為：= 2 * GB3則：導(dǎo)函數(shù)：= 3 * GB3要滿足時(shí)，必須是：故由= 3 * GB3式：= 4 * GB3= 3 * GB2 解析= 4 * GB3式因?yàn)? 4 * GB3式，記，則：當(dāng)時(shí)，是的單調(diào)遞增函數(shù).故：，則由= 4 * GB3式：；且：，則由= 4 * GB3式：.由于，所以滿足區(qū)間時(shí)，取的最大值，則：= 4 * GB2 構(gòu)建函數(shù)化解由于是偶函數(shù)，且函數(shù)在中的不等號方向是：，即：，即：應(yīng)構(gòu)建函數(shù)，且也是偶函數(shù).構(gòu)建函數(shù)：，滿足條件2：= 5 * GB2 構(gòu)建函數(shù)構(gòu)建函數(shù)：，條件2成為：則：，導(dǎo)函數(shù)：= 5 * GB3要滿足時(shí)，必須是：故由= 5 * GB3式：，則：= 6

33、 * GB3當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由= 6 * GB3式得：取滿足= 6 * GB3式得的最大值，= 6 * GB2 構(gòu)建函數(shù)：構(gòu)建函數(shù)：即：因?yàn)?，則：= 7 * GB2 構(gòu)建函數(shù)，求的圍構(gòu)建函數(shù)：若，因?yàn)?，所以于是：要使，則，故：此時(shí)，若要，即：，則：，即所以，當(dāng)時(shí)，若恒成立，實(shí)數(shù)的取值圍.本題的實(shí)質(zhì)是：將函數(shù)化為冪級數(shù)形式進(jìn)行.基本上初等函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，都可以用冪級數(shù)形式來表達(dá)，即：，這是在處理一些復(fù)雜函數(shù)時(shí)的常用手法.構(gòu)建函數(shù)實(shí)質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)，多重構(gòu)建函數(shù)是多重復(fù)合函數(shù).19、函數(shù)第19題已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù). 設(shè)，為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且.若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線重合，求的取值圍.解析：函

34、數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：如果圖像在點(diǎn)處的切線重合，則點(diǎn)分處于兩個(gè)不同區(qū)間.因，故點(diǎn)在區(qū)間，點(diǎn)在區(qū)間.= 1 * GB2 設(shè)過點(diǎn)的切線方程為：= 1 * GB3則：= 2 * GB3= 3 * GB3將= 2 * GB3= 3 * GB3式代入= 1 * GB3式得：即：= 4 * GB3= 2 * GB2 設(shè)過點(diǎn)的切線方程為：= 5 * GB3則：= 6 * GB3， = 7 * GB3將= 6 * GB3= 7 * GB3式代入= 5 * GB3式得：，即：= 8 * GB3= 3 * GB2 由兩個(gè)切線方程重合得，= 4 * GB3式與= 8 * GB3式相等.即：由,得：，即：，故：由得：，即：，

35、故：由得：= 9 * GB3= 4 * GB2求的取值圍由= 9 * GB3式可知，隨，單調(diào)遞增則有最小值，當(dāng)，時(shí)，最小值.故：，即：本題答案：的取值圍是本題重點(diǎn)是：兩個(gè)方程系數(shù)相等；由區(qū)間得出和的取值圍，代入求得的極值.20、函數(shù)第20題設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值圍.解析：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：= 1 * GB3函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：= 2 * GB3= 1 * GB2 由在上是單調(diào)減函數(shù)得：代入= 1 * GB3式得：，即：考慮到，故：，即：= 2 * GB2 由在上有最小值，是最值點(diǎn)為則：，代入= 2 * GB3式得：，即：，即：考慮到，故：，即：，綜上，的取值圍21、函數(shù)第21題設(shè)函數(shù) (其中).當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.解析：函數(shù)的最大值出現(xiàn)在兩個(gè)地方：一個(gè)是區(qū)間的端點(diǎn)，另一個(gè)是導(dǎo)數(shù)的地方.= 1 * GB2在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值為：= 1 * GB3= 2 * GB2 在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值為：= 2 * GB3因?yàn)椋?，所以：即：因?yàn)椋海裕杭矗? 3 * GB3= 3