工程數(shù)學-復變函數(shù)4

1、第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的斂散性三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)四、典型例題五、小結(jié)與思考一、冪級數(shù)的概念1.復變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域 D內(nèi)有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù), 記作 稱為這級數(shù)的部分和. 級數(shù)最前面n項的和和函數(shù)稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂, 那末它的和一定2. 冪級數(shù)當或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散, 那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足阿貝爾介紹證由收斂的必要條件, 有因而存在正數(shù)M, 使對所有的n, 而由正項級數(shù)的比較判別法

2、知:收斂.另一部分的證明請課后完成.證畢2. 收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù), 其收斂半徑的情況有三種:(1) 對所有的正實數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂.例如, 級數(shù)對任意固定的z, 從某個n開始, 總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.(2) 對所有的正實數(shù)除 z=0 外都發(fā)散.此時, 級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).例如,級數(shù)通項不趨于零, 如圖:故級數(shù)發(fā)散.收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.答案: 冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出一般的結(jié)論, 要

3、對具體級數(shù)進行具體分析.注意問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?例如, 級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.3. 收斂半徑的求法方法1: 比值法(定理二):那末收斂半徑證由于收斂.據(jù)阿貝爾定理,根據(jù)上節(jié)定理三,所以收斂半徑為證畢即假設(shè)不成立 .如果:即注意:存在且不為零 .定理中極限(極限不存在),即答案課堂練習 試求冪級數(shù)的收斂半徑.方法2: 根值法(定理三)那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1.冪級數(shù)的有理運算2. 冪級數(shù)的代換(復合)運算如果當時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當時,說明: 此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑

4、為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到, 是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù) .(1)3. 復變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分, 簡言之: 在收斂圓內(nèi), 冪級數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級數(shù)可逐項求導, 逐項積分.(常用于求和函數(shù))即四、典型例題例1 求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi), 級數(shù)絕對收斂, 收斂半徑為1,例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時的情形)或解(1)因為所以收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散, 收斂的級數(shù) 所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收

5、斂的.在圓周上,級數(shù)說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點, 也有 級數(shù)的發(fā)散點.原級數(shù)成為交錯級數(shù), 收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調(diào)和級數(shù)，(2)故收斂半徑例3求冪級數(shù) 的收斂半徑:解解所以例4求 的收斂半徑.例5把函數(shù)表成形如的冪級數(shù), 其中是不相等的復常數(shù) .解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)湊出級數(shù)收斂,且其和為例6 求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以例7 求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解例8 計算解五、小結(jié)與思考 這節(jié)課我們學習了冪級數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法和冪級數(shù)的運算性質(zhì).思考題冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定, 可以依復數(shù)項級數(shù)斂散性討論.思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.阿貝爾資料Born: 5 Aug 1802 i