選修3.1回歸分析三

1、2022/7/18鄭平正 制作鄭平正 制作3.1回歸分析（三）高二數(shù)學(xué) 選修2-3 第三章 統(tǒng)計(jì)案例2022/7/18鄭平正 制作鄭平正 制作2022/7/18鄭平正 制作復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e， (3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。3、對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為： 稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。2022/7/18鄭平正 制作4、兩個(gè)指標(biāo)：（1）類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可

2、以用作 為 的估計(jì)量， 越小，預(yù)報(bào)精度越高。（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計(jì)算公式是： R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差。2022/7/18鄭平正 制作表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。5、殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg485

3、7505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。2022/7/18鄭平正 制作殘差圖的制作及作用1、坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；3、對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予

4、以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。2022/7/18鄭平正 制作例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753解：2022/7/18鄭平正 制作例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求

5、量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42022/7/18鄭平正 制作例2 關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個(gè)線性模型：（1） ；（2） 試比較哪一個(gè)擬合效果更好。x24568y30406050702022/7/18鄭平正 制作6、注意回歸模型的適用范圍：（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來自哪個(gè)總體的，預(yù)報(bào)時(shí)也僅適用于這個(gè)總體。（2）模型的時(shí)效性。利用不同時(shí)間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來對(duì)那段時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。（3）建立模型時(shí)自變量的取值范圍決定了預(yù)報(bào)時(shí)模型的適用范圍，通常不

6、能超出太多。（4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經(jīng)指出的，某個(gè)女大學(xué)生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預(yù)測(cè)她的體重，只能給出身高為172cm的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測(cè)值。2022/7/18鄭平正 制作7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分

7、析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。2022/7/18鄭平正 制作案例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)7112124661153252022/7/18鄭平正 制作選變量 解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù) 為預(yù)報(bào)變量y。畫散點(diǎn)圖假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a選 模 型分析和預(yù)測(cè)當(dāng)x=28

8、時(shí)，y =19.8728-463.73 93估計(jì)參數(shù)由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關(guān)指數(shù)R2=r20.8642=0.7464所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1當(dāng)x=28時(shí)，y =19.8728-463.73 93一元線性模型2022/7/18鄭平正 制作奇怪？9366 ?模型不好？2022/7/18鄭平正 制作 y=bx2+a 變換 y=bt+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系方案2問題選用y=bx2+a ，還是y=bx2+cx+a ？問題3 產(chǎn)卵數(shù)氣

9、溫問題2如何求a、b ？合作探究 t=x2二次函數(shù)模型2022/7/18鄭平正 制作方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關(guān)指數(shù)R2=r20.8962=0.802將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.54當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367282-202.5485，且R

10、2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t2022/7/18鄭平正 制作問題 變換 y=bx+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系問題如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對(duì)數(shù)2022/7/18鄭平正 制作方案3解答溫度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325xz當(dāng)x=28oC 時(shí)，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為z=0.118x-1.665 ，相關(guān)指數(shù)R2=r20.99252=0.985 對(duì)數(shù)

11、變換：在 中兩邊取常用對(duì)數(shù)得令 ，則 就轉(zhuǎn)換為z=bx+a2022/7/18鄭平正 制作最好的模型是哪個(gè)? 產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.802指數(shù)函數(shù)模型0.9852022/7/18鄭平正 制作比一比最好的模型是哪個(gè)?2022/7/18鄭平正 制作用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。 事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。這些問題

12、也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié)什么是回歸分析？ （內(nèi)容）從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度2022/7/18鄭平正 制作回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別相關(guān)分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測(cè)因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機(jī)變量，自變量 x 可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對(duì)變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制 2022/7/18鄭平正 制作2022/7/18鄭平正 制作練習(xí) 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用 y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料。使用年限x 2345