信號與線性系統(tǒng)第二章、連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析ppt課件

1、第二章、延續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析主要內(nèi)容：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型零輸入呼應(yīng)與零形狀呼應(yīng)奇特函數(shù)與信號的時域分解沖激呼應(yīng)與階躍呼應(yīng)卷積 2.1 引言延續(xù)時間系統(tǒng)的分析，歸結(jié)為建立并且求解線性常系數(shù)微分方程，求解微分方程通常有兩種方法：一是直接求解，因涉及的函數(shù)變量都是時間t，所以稱時域分析法；二是變換的方法，即將時間變量變換為其他變量，所以也稱變換域分析法。這一章我們主要討論時域分析法，下面先看一個RLC串聯(lián)電路列回路方程可得:或一、經(jīng)典解法這種方式的方程其解法在高等數(shù)學(xué)中已學(xué)過。求解過程可分為三步：1、求出齊次方程的通解。稱自在呼應(yīng)2、根據(jù)鼓勵函數(shù)的詳細(xì)方式求特解。稱受迫 呼應(yīng)3、根據(jù)初始條件求待定系數(shù)

2、。這種方法對于簡單的正弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)、直流鼓勵時求解比較簡單，但對于一些復(fù)雜的鼓勵信號求解就比較困難了。 二、疊加積分法這種方法將全呼應(yīng)分為零輸入呼應(yīng)和零形狀呼應(yīng) r(t)=rzi(t)+rzs(t)初態(tài)0系 統(tǒng)初態(tài)=0系 統(tǒng)初態(tài)=0系 統(tǒng)初態(tài)=0系 統(tǒng)1、求解齊次方程，根據(jù)初始形狀求出待定系數(shù)得rzi(t)2、將e(t)分解為根本函數(shù)，分別求解系統(tǒng)對這些根本函數(shù)的呼應(yīng)。3、根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理將它們相加得rzs(t)4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)2.2系統(tǒng)方程的算子表示法對于n階線性非時變系統(tǒng)其輸入輸出方程為引入算子那么方程可改寫為：進(jìn)一步可寫成：p就不能隨意消去，除非x(-)

3、=0，另外由 px=py 也不能推出 x=y 這是由于結(jié)論：1、代數(shù)量的運算規(guī)那么對于算子符號普通也適用，只是在分子分母或等式兩邊的一樣算子符號不能隨意約去。2、它表達(dá)的是一個運算過程，應(yīng)把它作為整體對待，書寫時也應(yīng)把它寫在變量的左邊，表示該運算過程作用于某個變量。3、算子方式的方程本質(zhì)上還是一個微分方程。 因此對于零輸入呼應(yīng)就是解齊次方程 D(p)r(t)=0 ，而求零形狀呼應(yīng)那么要解方程 r(t)=H(p)e(t)。下面我們先看一個例子例:電路如下圖，寫出i1(t) , i2(t)的轉(zhuǎn)移算子。解：直接用算子符號列方程：討論：1、在電路中有三個獨立的儲能元件，為一個三階系統(tǒng)，特征方程應(yīng)為三次

4、方程，即H(p)的分母多項式的最高次數(shù)應(yīng)為三次。2、所以這類標(biāo)題也可直接求解，最后經(jīng)過核對電路的階數(shù)來確定能否能消去分子分母中的公共因子。 2.3系統(tǒng)的零輸入呼應(yīng)前面曾經(jīng)指出求零形狀呼應(yīng)就是求解齊次方程：先看一階、二階的簡單情況，然后再推行到普通情況。其中的C為常數(shù)，需求系統(tǒng)的初始條件來確定。設(shè)初始條件為：t=0 時 r=r(0) 普通地，設(shè)初始條件為：t=t0 時 r=r(t0) 顯然r1(t)，r2(t)都滿足原方程，所以解的普通方式可寫為：假設(shè)t=0時的初試條件為 r(0) , r(0)，代入上式得：解之便可得C1，C2 對于普通的n階齊次方程 可設(shè)其特征方程 有n個根1, 2 n 稱特

5、征根,也稱為系統(tǒng)自然頻率，或稱為轉(zhuǎn)移算子H(p)的n個極點。下面分根的三種不同情況來討論。 一、特征根為異實根算子方程寫為：由前面的討論可寫出解的普通方式：假設(shè)給定系統(tǒng)的n個初始條件： 我們就可以確定其中的待定常數(shù)C1，C2，Cn。將初始條件代入r(t)就得到一個線性方程組： 二、特征根為共軛復(fù)根由于特征方程的系數(shù)為實數(shù)，所以假設(shè)出現(xiàn)復(fù)根那么必定成對出現(xiàn)。設(shè)特征根1，2為一對共軛復(fù)根，即1=+j，2=-j 那么對應(yīng)的解為：所以特征根為一對共軛復(fù)根時解的普通方式寫為：其中的C1，C2同樣可由初始條件求出。三、特征根為k階重根設(shè)特征根為k階重根，這種情況闡明特征多項式D(p)中有因子(p-) k，

6、根為其它的情況前面已作出討論，所以我們只需求解方程(p-)kr=0即可。如此推下去可得：所以方程(p-)kr=0解的普通方式為：常數(shù)C1，C2，Ck同樣可由初始條件求出。例2-1 如圖RLC串聯(lián)諧振電路，知 L=1H , C=1F , R=2.5 初始條件為：1、i(0)=0 A , i(0)=1 A/s2、i(0)=0 A, uc(0)=10 V分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入呼應(yīng)。解：前面我們曾經(jīng)列出了它的微分方程 寫成算子方式： 1、初始條件為i(0)=0 A , i(0)=1 A/s時2、初始條件為i(0)=0 A , uc(0)=10 V時 初始條件uc(0)=10 V不能直接用

7、于確定常數(shù)C1, C2 所以必需轉(zhuǎn)化為i(0)。代入零輸入呼應(yīng)的普通方式得：1、初始條件為i(0)=0 A , i(0)=1 A/s時2、初始條件為i(0)=0 A , uc(0)=10 V時1、由于電容C上的初始電壓為10V方向為左正右負(fù)，所以電容放電，方向與參考方向相反，曲線在橫軸下方，由于電路中存在電阻將損耗能量，最終電流變?yōu)榱恪?、第一種情況i(0)=1 A/s相當(dāng)于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負(fù)，所以電容放電方向與參考方向一樣，曲線在橫軸上方。電路的任務(wù)過程與第二種情況一樣。例2-2 上例中將電阻改為R=2 初始條件仍為：i(0)=0 A , i(0)=1 A/s求回路電流

8、的零輸入呼應(yīng)。 解:討論：這種情況特征根為二階重根，在電路實際中屬于臨界阻尼的情況，電路任務(wù)過程與例2-1一樣。而例2-1在電路實際中屬于過阻尼的情況，臨界阻尼和過阻尼的零輸入呼應(yīng)電流都不出現(xiàn)振蕩。假設(shè)繼續(xù)減小電阻那么零輸入呼應(yīng)電流將出現(xiàn)衰減的振蕩，在電路實際中稱欠阻尼。例2-3 上例中將電阻改為R=1 初始條仍件為：i(0)=0 A , i(0)=1 A/s求回路電流的零輸入呼應(yīng)。解：1、i(0)=1 A/s相當(dāng)于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負(fù)，所以電容放電方向與參考方向一樣，曲線在橫軸上方。電容放電時將電容中的電能轉(zhuǎn)化為電感中的磁能；討論：2、接下來電感中的磁能向電容釋放，當(dāng)電感

9、中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時電感中的電流為零；3、電容中的電能反向釋放，曲線在橫軸下方，電容中的電能轉(zhuǎn)化為電感中的磁能；4、電感中的磁能向電容釋放方向與2相反，當(dāng)電感中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時，電感中的電流又變?yōu)榱悖?、接下來從1開場反復(fù)這個過程，由于電路中存在電阻將損耗能量，所以振蕩幅度逐漸減小，最終衰減為零。零輸入呼應(yīng)小結(jié)：求解零輸入呼應(yīng)就是解齊次方程 D(p)r(t)=0 ，可根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的普通方式。對于復(fù)雜的系統(tǒng)其特征根中能夠既有異實根又有重根還能夠有共軛復(fù)根，那么系統(tǒng)零輸入呼應(yīng)的普通方式我們可以根據(jù)根的不同情況分別寫出，例如系統(tǒng)的特征根中1

10、，2為兩個不同的實根，3=+j，4=-j為一對共軛復(fù)根，5為三階重根那么系統(tǒng)零輸入呼應(yīng)的普通方式寫為：2.4奇特函數(shù) 系統(tǒng)的全呼應(yīng)是零輸入呼應(yīng)和零形狀呼應(yīng)之和，上一節(jié)討論了零輸入呼應(yīng)的求法，后面幾節(jié)將討論零形狀呼應(yīng)的求法。本節(jié)先引見幾個很有用的信號函數(shù)，由于這些信號在實踐中并不存在，只是數(shù)學(xué)上對某些信號的一種籠統(tǒng)和理想化，所以稱為奇特函數(shù)。一、單位階躍函數(shù)(t)單位階躍函數(shù)延遲t0的單位階躍函數(shù)恣意一個函數(shù)f(t)乘(t)以后，其乘積在階躍之前為0，之后那么堅持f(t)不變。我們來看下面的一個電路系統(tǒng)，原來輸入端沒有輸入，在t0時接入電源E。等效因此，階躍函數(shù)可以用來表示理想化了的開關(guān)接通一信

11、號源的情況。二、單位沖激函數(shù)(t) 單位沖激函數(shù)(t)除了t=0外其他均為0。(t) 函數(shù)在t=0處的值沒有定義，但其面積為1，即： ，其面積稱為單位沖激函數(shù)的沖激強(qiáng)度。在圖象上用括號括起來，表示沖激強(qiáng)度而不是函數(shù)的幅度；其幅度有時也將它看成無窮大，在圖象上用箭頭表示。單位沖激函數(shù)的幾個性質(zhì)：(t)和(t)這二個奇特函數(shù)特別重要，要求重點掌握。有了這二個函數(shù)對一些分段表示的函數(shù)表達(dá)起來就比較方便，另外對一些不延續(xù)的函數(shù)也可以求導(dǎo)數(shù)了。例如：如下圖的函數(shù)可分段表示為： 實踐上對于這種函數(shù)的求導(dǎo)，經(jīng)過圖形來求更方便。在函數(shù)延續(xù)的部分用常規(guī)的求導(dǎo)方法求，而在函數(shù)有跳變的地方那么有一個沖激存在，沖激的

12、方向取決于向上還是向下跳變，沖激的強(qiáng)度那么取決于它的騰躍量。三、單位斜變函數(shù)R(t) 四、門函數(shù) 我們把幅度為1寬度為的對稱矩形脈沖信號稱為門函數(shù)，記為G(t)，下標(biāo)表示其寬度。那么寬度為幅度為1/的門函數(shù)記為1/G(t)。 五、單位沖激偶(t)我們留意到門函數(shù)1/G(t)，不論取何值它的面積總是1，當(dāng)變小時它的幅度增大，但面積堅持不變。所以，當(dāng)0時1/G(t) (t) 而1/G(t) (t)(t)為一正一負(fù)兩個沖激，因此稱單位沖激偶，帶括號的1標(biāo)在中間，它并不表示沖激的強(qiáng)度，而表示單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。沖激偶有下面的性質(zhì) 2.5信號的時域分解一、周期脈沖信號表示為奇特函數(shù)之和1、有始周期矩形脈

13、沖2、有始周期鋸齒形脈沖信號二、恣意信號分解為異函數(shù) 恣意信號表示為沖激函數(shù)的積分當(dāng)t0時為無窮小量，用d表示；kt延續(xù)變量，記為；求和積分；近似相等相等。 2.6階躍呼應(yīng)與沖激呼應(yīng)一、單位階躍呼應(yīng)與單位沖激呼應(yīng)系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)(t)的零形狀呼應(yīng)稱單位階躍呼應(yīng)，用r(t)表示；系統(tǒng)對單位沖激函數(shù)(t)的零形狀呼應(yīng)稱單位沖激呼應(yīng)，用h(t)表示。 對于線性非時變系統(tǒng)有：證明：所以對于線性非時變系統(tǒng)，還有如下的結(jié)論：假設(shè)：e(t)r(t) 那么：e(t)r(t) 可見r(t)， h(t)只需求出其中之一，另一個也就相應(yīng)地確定下來了。在實踐的系統(tǒng)分析中更重要的是單位沖激呼應(yīng)h(t)。所以，下面我們

14、主要討論單位沖激呼應(yīng)h(t)的求法。二、單位沖激呼應(yīng)h(t)的求法h(t)是系統(tǒng)在單位沖激函數(shù)(t)鼓勵下的零形狀呼應(yīng)。所以當(dāng)系統(tǒng)的鼓勵為(t)時，輸入輸出算子方程寫為：1、由轉(zhuǎn)移算子H(p)求h(t) 設(shè)特征方程有n個根1, 2 n。它們是特征根，也稱為轉(zhuǎn)移算子H(p)的n個極點，或叫系統(tǒng)自然頻率。下面要分幾種不同情況來討論。(1)、H(p)有n個單極點1, 2 n且nm那么H(p)可寫成部分分式的方式 (2)、H(p)有n個單極點1, 2 n 但nm這時我們可以把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和，然后將真分式寫成部分分式的方式。即：(3)、H(p)有兩個互為共軛的極點1=+j，2=-

15、j(4)、H(p)有k階極點證明：例1：知系統(tǒng)的微分方程為 :求單位沖激呼應(yīng)h(t)。解：1、求轉(zhuǎn)移算子H(p)2、將H(p)分解例2：知系統(tǒng)的微分方程為: 求單位沖激呼應(yīng)h(t)。解：例3 如圖RLC串聯(lián)諧振電路，知 L=1H , C=1F , R=1 ,e(t)=(t)求回路電流i(t)和電感上電壓uL(t)的零形狀呼應(yīng)。解：1、由算子的概念可直接寫出關(guān)于電流i(t)的H(p) 2、由算子的概念可直接寫出關(guān)于電壓uL(t)的H(p) 討論： 在電路實際中往往強(qiáng)調(diào)電感中的電流和電容上的電壓不能突變，在本例中系統(tǒng)的初始形狀為0，即電感中的初始電流應(yīng)為0，但在t=0時電感中的電流發(fā)生了突變。緣由

16、是電路所受的鼓勵為(t)，這是一種理想的電源，在實踐中并不存在，它的幅度為無窮大。所以，當(dāng)(t)在t=0時作用于系統(tǒng)的瞬間就使電感中的電流到達(dá)某一數(shù)值，電流發(fā)生了突變，在呼應(yīng)的圖形中我們同時畫出了電感兩端的電壓，可以看到在t=0時有一沖激電壓存在，正是這個沖激電壓使得電流發(fā)生的突變；電容上的電壓也發(fā)生了突變。例4：如圖RC串聯(lián)電路受沖激電壓鼓勵，求回路電流i(t)和電容上電壓uc(t)的零形狀呼應(yīng)。解：關(guān)于電流i(t)的H(p)關(guān)于電壓uc(t)的H(p)uc(t)也可以由i(t)的積分來求：由H(p)求單位沖激呼應(yīng)小結(jié)：求單位沖激呼應(yīng)就是求解微分方程 1、H(p)有n個單極點1, 2 n且n

17、m其中 Ki i=1,2,n 為部分分式系數(shù)2、H(p)有n個單極點1, 2 n但nm其中 Ki i=1,2,n 為部分分式系數(shù), C0,C1,Cm-n為多項式系數(shù)。3、H(p)有兩個互為共軛的極點1=+j，2=-j其中 KR為部分分式系數(shù)的實部，KI為部分分式系數(shù)的虛部。4、H(p)有k階極點其中C1,C2,Ck為部分分式系數(shù)。2、用求零輸入呼應(yīng)的方法求h(t) 沖激呼應(yīng)也與方程的特征根有關(guān)，而且也可以分為三種不同的情況。比較沖激呼應(yīng)與零輸入呼應(yīng)的公式發(fā)如今nm時它們的方式是完全一樣的，所不同的是零輸入呼應(yīng)中的系數(shù)是由系統(tǒng)的初始形狀決議的，而沖激呼應(yīng)中的系數(shù)是由部分分式的系數(shù)決議的。其實這種

18、景象并不是偶爾的。由于，沖激呼應(yīng)是鼓勵為(t)時的系統(tǒng)呼應(yīng)。在t=0時作用于系統(tǒng)，所以在t0時系統(tǒng)的鼓勵已為0，因此我們完全可以用前面講過的求零輸入呼應(yīng)的方法求h(t)。關(guān)鍵問題是要求出(t)在t=0時作用于系統(tǒng)后在0+時辰系統(tǒng)留下的初始形狀。所以對于線性非時變系統(tǒng)有： 稱卷積積分 2.7疊加積分卷積 稱卷積積分，并用“*表示兩個函數(shù)的卷積運算，所以上式可寫為r(t)=e(t)*h(t)；更普通地對于恣意兩個函數(shù)f1(t)和f2(t)，它們的卷積運算定義為： 恣意一個函數(shù)與(t) 卷積等于它本人。2.8卷積及其性質(zhì)一、卷積的計算過程 假設(shè)我們將f1(t)和f2(t)的卷積結(jié)果記為g(t)，那么

19、卷積可寫成：由卷積的定義式可以看出，卷積的過程可以分為三個步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個函數(shù)的變量由t換成 ；2、將f2()反折并挪動；3、將兩個函數(shù)相乘并求積分。下面我們以以下圖兩個有始函數(shù)來闡明卷積的計算過程。f1(t)tf2(t)tf2()f1()將t換成將f2()反折并挪動將兩個函數(shù)相乘并求積分因此，對于兩個有始的函數(shù)卷積，那么可簡單地寫為：例1：計算矩形脈沖和指數(shù)函數(shù)的卷積解：作圖1、2、3、最后，卷積的結(jié)果可用圖形表示為：或用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：這種完全用作圖的方法確定積分限計算卷積的方法稱圖解法。這是要求同窗重點掌握的。我們也可以將函數(shù)直接代入公式計算。這種方法雖然簡單，但

20、對卷積的計算過程的了解沒有協(xié)助，所以這種方法不引薦。例如上例的卷積可計算如下：從上面計算卷積的過程可以看出，計算卷積的本質(zhì)是二個詳細(xì)化：1、函數(shù)方式的詳細(xì)化；2、積分限的詳細(xì)化。二、卷積的性質(zhì)設(shè)有三個函數(shù)u(t) , v(t) , w(t)1、交換律、分配律和結(jié)合律u(t)*v(t)= v(t)*u(t) u(t)*v(t)+w(t)= u(t)*v(t)+ u(t)*w(t) u(t)*v(t)*w(t)= u(t)*v(t)*w(t)交換律證明：結(jié)合律證明：例2：用交換律重做前例12、卷積后的微分兩個函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中之一求導(dǎo)后與另一函數(shù)的卷積。證明：由交換律知由這個性質(zhì)得到的直接推

21、論是：任何函數(shù)與(t)卷積相當(dāng)于對函數(shù)求導(dǎo)：3、卷積后的積分 兩個函數(shù)卷積后的積分等于其中之一求積分后與另一函數(shù)的卷積。證明：由交換律知由這個性質(zhì)得到的直接推論是：任何函數(shù)與(t)卷積相當(dāng)于對函數(shù)求積分：4、兩函數(shù)的卷積等于其中一個函數(shù)的微分和另一個函數(shù)的積分由卷積后的微分和卷積后的積分不難證明：由這個性質(zhì)我們可以直接推出杜阿美爾積分利用這個性質(zhì)還可以簡化卷積的計算。5、函數(shù)延遲后的卷積證明： 前面已指出恣意一個函數(shù)與(t) 卷積等于它本人，即：f(t)* (t)=f(t)由此性質(zhì)我們又可得出結(jié)論：恣意一個函數(shù)與(t) 的延遲卷積等于函數(shù)本身作相應(yīng)的延遲，即： f(t)* (t-t0)=f(t

22、-t0)例3：利用性質(zhì)4、5重做例1解：6、相關(guān)卷積兩個函數(shù)x(t)與y(t)的相關(guān)定義為：所以，兩個函數(shù)x(t)與y(t)的相關(guān)也定義為：假設(shè)兩個一樣的函數(shù)進(jìn)展相關(guān)運算，那么稱自相關(guān)，記為Rxx(t)相關(guān)函數(shù)反映了兩個函數(shù)的類似程度。Rxx(0)為信號能量，且 Rxx(0)Rxx(t)。這是由于例4 求兩個一樣的門函數(shù)的卷積g(t)。解：我們將這個結(jié)果總結(jié)為：1、兩個一樣的門函數(shù)對稱的的卷積是一個三角形；2、寬度添加一倍；3、最大值為兩個一樣的門函數(shù)重合時函數(shù)值之積再乘以門函數(shù)的寬度。這是一個典型例子，很重要，希望把它記住。這個結(jié)論以后可以作為一個定理運用 前面曾經(jīng)指出計算卷積的本質(zhì)是二個詳

23、細(xì)化：函數(shù)方式的詳細(xì)化和積分限的詳細(xì)化。其中積分限的詳細(xì)化更重要些。下面列出幾種特殊的情況：例5、RC串聯(lián)電路，及鼓勵信號如下圖。其中R=0.5 ，C=2F電路初始形狀為零，求呼應(yīng)電流i(t)。解：在前面的例題中已求得，該電路的沖激呼應(yīng)為：鼓勵電壓可寫為：那么有線性非時變系統(tǒng)的定義：2.9線性系統(tǒng)呼應(yīng)的時域求解一、時域分析小結(jié)r(t)=rzi(t)+rzs(t)系統(tǒng)物理模型系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)移算子H(p)沖激呼應(yīng)h(t)卷積積分零形狀呼應(yīng)rzs(t)全呼應(yīng)r(t)階躍呼應(yīng)r(t)杜阿美爾積分零輸入呼應(yīng)rzi(t)初始形狀鼓勵e(t)二、指數(shù)函數(shù)鼓勵下的系統(tǒng)呼應(yīng) s0j第一部分為零輸入呼應(yīng)，第二部分那么

24、為零形狀呼應(yīng)。系統(tǒng)的全呼應(yīng)中只包含1，2，n分量稱自然頻率分量；另外還有s0分量相應(yīng)地稱為鼓勵頻率分量。假設(shè)將上式寫為：第一部分只包含自然頻率分量，第二部分只包含鼓勵頻率分量。所以，第一部分稱自然呼應(yīng)或自在呼應(yīng)；第二部就稱為受迫呼應(yīng)。 對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)的呼應(yīng)或最終趨于零或最終趨于一個常數(shù)。所以我們將系統(tǒng)的呼應(yīng)中最終趨于零的部分稱瞬態(tài)呼應(yīng)；最終趨于一個常數(shù)的部分稱穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)。結(jié)論：1、系統(tǒng)的全呼應(yīng)可分為零輸入呼應(yīng)輸入為零和零形狀呼應(yīng)形狀為零；自然呼應(yīng)只含系統(tǒng)自然頻率和受迫呼應(yīng)只含鼓勵頻率；瞬態(tài)呼應(yīng)最終趨于零和穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)最終趨于一個常數(shù)。2、指數(shù)函數(shù)鼓勵經(jīng)過線性非時變系統(tǒng)后仍堅持原指數(shù)函數(shù)的方式。3、指數(shù)函數(shù)也是一種典型的根本信號，今后還會看到普通的信號也可以分解為指數(shù)信號。例：如圖RC串聯(lián)電路，知R=1，C=1F，e(t)=(1+e-3t)(t) ；電容上的初始電壓uc(0-)=1V求電容上的呼應(yīng)電壓uc(t)。解：直接列算子方程 由H(p)還可求得:又例：知線性非時變延續(xù)時間系統(tǒng)的自然響應(yīng)為 ， 受迫呼應(yīng)為 。那么以下說法正確