線性代數(shù)課件：第1章 線性方程組

1、-1-線 性 代 數(shù)-2- 代數(shù)學(xué)的一個分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系即數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達的。 例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。 線性關(guān)系問題簡稱線性問題。解線性方程組是最簡單的線性問題。-3- 線性代數(shù)作為獨立的分支直到20世紀才形成，然而它的歷史卻非常久遠。 最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)方程章中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實質(zhì)上相當(dāng)于

2、現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。 隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在1819世紀期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數(shù)的發(fā)展。-4- 向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣理論，構(gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。 線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。比如，“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時一個很自然的思想。很多實際問題的處理，最后往往歸結(jié)為線性問題，它比較容易處理。同時也是理論物理和

3、理論化學(xué)所不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識。-5- 因此，線性代數(shù)在工程技術(shù)和國民經(jīng)濟的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是一門基本的和重要的學(xué)科。線性代數(shù)的計算方法是計算數(shù)學(xué)里一個很重要的內(nèi)容。-6-1.1 線性方程組1.2 矩陣及其初等變換1.3 線性方程組的矩陣解法第一章線性方程組 -7-若干典型問題線性方程組它的解取決于系數(shù)和常數(shù)項故對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究。引例1-8-引例2 某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示的四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接 A 與B。四城市間的航班圖情況常用以下表格來表示:0010D1001C0101B0110A

4、DCBA 到站 發(fā)站1表示有航班,0表示沒有航班-9-線性代數(shù)研究對象線性方程組線性代數(shù)研究工具矩陣線性代數(shù)研究方法矩陣的初等變換-10-1.1 線性方程組1.2 矩陣及其初等變換1.3 線性方程組的矩陣解法第一章線性方程組-11- 矩陣誕生于19世紀，晚于行列式約一百年。從表面上看，矩陣與行列式不過是一種數(shù)學(xué)語言和書記符號；但是，正是這種“結(jié)構(gòu)好的語言的好處，它的簡潔的記法常常是深奧理論的源泉?！?P.S.Laplace) 進入20世紀，線性代數(shù)的發(fā)展曾一度被認為相當(dāng)成熟，作為研究課題已壽終正寢。隨著電子計算機的發(fā)展，各種快速算法相繼涌現(xiàn)，矩陣數(shù)值分析快速發(fā)展，矩陣理論研究進入一個新的發(fā)展階

5、段。2 矩陣及其初等變換-12- 為表示它是一個整體，總是加一個括號，并用大寫字母記之。定義-13-(1) 11的矩陣就是一個數(shù)。 (2) 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣 A，稱為 n 階方陣或 n 階矩陣。 (3) 只有一行的矩陣稱為行矩陣或 n 維行向量。ai 稱為A的第 i 個分量。稱為列矩陣或 m 維列向量。 ai 稱為A的第 i 個分量。(4) 只有一列的矩陣-14-(5) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O 。(6) 矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。(7) 矩陣稱為對角矩陣。記作-15-定義設(shè) ，如果(此時稱A與B是同型矩陣) 且則稱 A 與 B 相等，記作 A = B。問

6、： 與 相等嗎？-16- 稱矩陣的下面三種變換為初等行變換(1) 交換矩陣的某兩行，記為(2) 以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為(3) 把矩陣的某一行乘上一個數(shù)加到另一行上，記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義-17-初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同初等列變換也有類似的結(jié)果逆變換逆變換逆變換-18-初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(階梯)形矩陣(行最簡形就是所謂的最簡單的“代表”) 書P5 定義4行階梯形矩陣-19-行最簡階梯形矩陣（1）臺階左下方元素全為零；（2）每個臺階上只有一行；（3）每個臺階上第一個元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡階梯形(

7、1)(2)(3) + (4)臺階上的第一個元素為1,且其所在列其它元素全為零。-20- 只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡形。行階梯形不唯一，行最簡形唯一。（P 9定理1.1）定理 例1-21-化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡形：從下向上，從右到左。-22-(等價關(guān)系)定義 如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作 。等價滿足：自反性：(2) 對稱性：(3) 傳遞性：-23-1.1 線性方程組1.2 矩陣及其初等變換1.3 線性方程組的矩陣解法第一章線性方程組-24-3 線性方程組的矩陣解法討論有n個未知數(shù)m個方程的線性方程組 是否有解？ 若有解

8、，解是否唯一？ 如何求出所有的解？-25-若B=(b1, b2, bm)TO，則稱(1)為非齊次線性方程組若B=(b1, b2,， bm)TO，即： 則稱(2)為(1)對應(yīng)的齊次線性方程組（或(1)的導(dǎo)出組） -26-系數(shù)矩陣增廣矩陣-27-解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得 例1-28-(2)-(1)2, (3)-(1)4(3)-(2)-29-(3) (-1/2)消元過程結(jié)束，以下過程稱為“回代過程”。-30-(2) (-1/3)(1)-(3)2，(2)+(3)2-31-所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過程就是增廣矩陣化為行階梯形矩陣，回代過程就是繼續(xù)化成行最簡階梯形的過程。(1) (2)原方程組的解為：-32-解線性方程組解：增廣矩陣 例2-33-即則原方程組的解為有何特點？-34-解：同解方程組最后一個方程0= -2是矛盾方程，所以方程組無解。 例3特點-35- 例4求解齊次線性方程