2019高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修4

1、1.1.1任意角學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解任意角的概念.2.掌握終邊相同角的含義及其表示(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知1角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形2角的表示：如圖111，圖111(1)始邊：射線的起始位置OA，(2)終邊：射線的終止位置OB，(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.這時(shí)，圖中的角可記為“角”或“”或簡(jiǎn)記為“”3任意角的分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分(2)按角的終邊位置分前提：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合分類：基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)第二象限角大于第一象限角()1(2)第二象限角是鈍

2、角()(3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同()(4)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360的整數(shù)倍()解析(1)錯(cuò)誤如第二象限角100小于第一象限角361.(2)錯(cuò)誤如第二象限角181不是鈍角(3)(4)都正確答案(1)(2)(3)(4)250角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周，所得角是_670由題意知，所得角是502360670.3已知0360，且與600角終邊相同，則_，它是第_象限角240三因?yàn)?00360240，所以240角與600角終邊相同，且0240360，故240，它是第三象限角合作探究攻重難任意角和象限角的概念(1)給出下列說(shuō)法：銳角都是第一

3、象限角；第一象限角一定不是負(fù)角；小于180的角是鈍角、直角或銳角；始邊和終邊重合的角是零角其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫上)(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角420.855.510.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352000】(1)(1)銳角是大于0且小于90的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以正確；350角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以錯(cuò)誤；0角是小于180的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以錯(cuò)誤；360角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以錯(cuò)誤(2)作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：2420是第一象限角855是第二

4、象限角510是第三象限角規(guī)律方法1.判斷角的概念問(wèn)題的關(guān)鍵與技巧：(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可2象限角的判定方法：(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限(2)第一步，將寫成k360(kZ,0360)的形式；第二步，判斷的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)的終邊所在的象限，即可確定的終邊所在的象限提醒：理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”跟蹤訓(xùn)練1已知集合A第一象限角，B銳角，C小于90的角，則下面關(guān)系正確的是()AABCCACBBA

5、CDBCCD由已知得BC，所以BCC，故D正確2給出下列四個(gè)命題：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正確的命題有()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352001】A1個(gè)C3個(gè)B2個(gè)D4個(gè)D90750，180225270，36090475360180，360315270.所以這四個(gè)命題都是正確的終邊相同的角的表示及應(yīng)用(1)將885化為k360(0360，kZ)的形式是_(2)寫出與1910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式720360的元素寫出來(lái)思路探究(1)根據(jù)885與k360，kZ的關(guān)系確定k.(2)先寫出與終邊相同的角k360，kZ，再由已知不等式確定k

6、的可能取值33k6(kZ)，故取k4,5,6.(1)(3)360195(1)8851080195(3)360195.(2)與1910終邊相同的角的集合為|k3601910，kZ720360，即720k3601910360(kZ)，11113636k4時(shí)，43601910470；k5時(shí)，53601910110；k6時(shí)，63601910250.規(guī)律方法1.在0到360范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角化成k360的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過(guò)如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360的方式；當(dāng)所給角是正

7、角時(shí)，采用連續(xù)減360的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止2運(yùn)用終邊相同的角的注意點(diǎn)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)可以用式子k360，kZ表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉(2)是任意角(3)k360與之間用“”連接，如k36030應(yīng)看成k360(30)，kZ.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍提醒：表示終邊相同的角，kZ這一條件不能少跟蹤訓(xùn)練3下面與85012終邊相同的角是()A23012C12948B22948D13012B與85012終邊相同的角可表示為85012k360(kZ)，當(dāng)k3時(shí)，85012

8、108022948.4在360360之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限790；20.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352002】4(1)若是第一象限角，則是()解7902360703360290，在360360之間與它終邊相同的角是70和290，它們都是第一象限的角20360340，在360360之間與它終邊相同的角是20和340，它們都是第四象限的角任意角終邊位置的確定和表示探究問(wèn)題1若射線OA的位置是k36010，kZ，射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90經(jīng)過(guò)的區(qū)域?yàn)镈，則終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合應(yīng)如何表示？提示：終邊落在區(qū)域D包括邊界的角的集合可表示為|k36010k36010

9、0，kZ2若角與的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線yx對(duì)稱，則角與分別具有怎樣的關(guān)系？提示(1)關(guān)于x軸對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與的關(guān)系是k360，kZ.(2)關(guān)于y軸對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與的關(guān)系是180k360，kZ.(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則角與的關(guān)系是180k360，kZ.(4)關(guān)于直線yx對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，則角與的關(guān)系是90k360，kZ.2A第一象限角C第二象限角(2)已知，如圖112所示B第一、四象限角D第二、四象限角圖112分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.5思路

10、探究(1)由的范圍寫出的范圍確定是第幾象限角2所以k180k18090，kZ，2又因?yàn)榕c的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，222根據(jù)角終邊的對(duì)稱性確定是第幾象限角(2)觀察圖形確定終邊落在OA，OB位置上的角由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的角加上360的整數(shù)倍，得所求集合(1)D(1)因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以k360k36090，kZ，2所以是第一、三象限角，22所以是第二、四象限角(2)終邊落在OA位置上的角的集合為|9045k360，kZ|135k360，kZ；終邊落在OB位置上的角的集合為|30k360，kZ由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于30，135之間的與之終邊相同的角組

11、成的集合，故該區(qū)域可表示為|30k360135k360，kZ母題探究：1.若將本例(2)改為如圖113所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？圖113解在0360范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60105與240285，所以所有滿足題意的角為|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ6|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ故角的取值集合為|n18060n180105，nZ2若將本例(2)改為如圖114所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同

12、的角的集合如何表示？2n或所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角n或的范圍；(2)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)確定角n或所在象限例如：k120k12030，kZ.由030，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120可得終邊的位置圖114解在0360范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150225，則所有滿足條件的角為|k360150k360225，kZ規(guī)律方法1.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的360360范圍內(nèi)的角和，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間x|x，其中360；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角，再加上360的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合nnn333提

13、醒：表示區(qū)間角時(shí)要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1下列說(shuō)法正確的是()A三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B第四象限的角一定是負(fù)角C60角與600角是終邊相同的角76D將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為60DA錯(cuò)誤，90角既不是第一象限角也不是第二象限角；B錯(cuò)誤，280角是第四象限角，但它不是負(fù)角；C錯(cuò)誤，60060540不是360的倍數(shù)；D正確，分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為360，將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，撥1慢10分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角為36060.2下列各個(gè)角中與2017終邊相同的是()A147C317B677D217D因?yàn)?0173605217，所以與2017終邊相同的角是217.3已知角的終邊在如圖115陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角的集合是_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352004】圖115k|k36045k360150，Z觀察圖形可知，角的集合是|k36045k360150，kZ4角，的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若30，則_.150k360，kZ30與150的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，的終邊與150角的終邊相同150k360，kZ.5在0到360范圍