北師大版八年級上冊數(shù)學復習知識點及例題相結合 (2)

1、北師大版數(shù)學八年級上冊知識點總結勾股定理1、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即例1 如圖1，直角三角形ABC的周長為24，且AB：BC=5：3，則AC= （ ）.（A）6 （B）8 （C）10 （D）12例2 直角三角形兩直角邊分別為5、12，則這個直角三角形斜邊上的高為（ ）.（A）6 （B）8.5 （C） （D）2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。例3 若三角形三邊長為a、b、c，且滿足等式，則此三角形是（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形（C）等腰直角三角形（D）直角三角形3、勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。例

2、4 下列各組中，不能構成直角三角形的是（ ）.（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，34 （D）9，40，41實數(shù)一、實數(shù)的概念及分類 1、實數(shù)的分類 正有理數(shù) 有理數(shù) 零 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實數(shù) 負有理數(shù) 正無理數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負無理數(shù)2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率，或化簡后含有的數(shù)，如+8等；（3）有特定結構的數(shù)，如0.1010010001等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等例5 下列命題中，正確的是（ ）。A、兩個無理數(shù)的和是無理數(shù) B、兩個無理數(shù)的積是實數(shù)C

3、、無理數(shù)是開方開不盡的數(shù) D、兩個有理數(shù)的商有可能是無理數(shù)二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值 1、相反數(shù)實數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a= - b，反之亦成立。2、絕對值在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（|a|0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0。例6 絕對值小于的整數(shù)有_。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸規(guī)定了原

4、點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數(shù)形結合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應的，并能靈活運用。三、平方根、算數(shù)平方根和立方根 1、算術平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號a。性質：正數(shù)和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互

5、為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。 注意的雙重非負性： 0例7 若x，y都是實數(shù)，且，則xy的值（ ）。A、0 B、 C、2 D、不能確定3、立方根一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么這個數(shù)x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：記作性質：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。例8 _，_。例9 下列說法中，錯誤的是（ ）。A、4的算術平方根是2 B、的平方根是3C、8的立方根是2 D、立方根等于-1的實數(shù)是-1例10 代數(shù)式，,中一定是正數(shù)的

6、有（ ）。A、1個 B、2個 C、3個 D、4個例11 有一個數(shù)的相反數(shù)、平方根、立方根都等于它本身，這個數(shù)是（ ）。A、1 B、1 C、0 D、1四、實數(shù)大小的比較 1、實數(shù)比較大?。赫龜?shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設a、b是實數(shù)，（3）求商比較法：設a、b是兩正實數(shù)，（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，則。（5）平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則。五、算術平方根有關計算（二次根式）1、含有二次根號“”

7、；被開方數(shù)a必須是非負數(shù)。2、性質：（1） （2） （3） （）（4） （）3、運算結果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式例12 計算的值是（ ）。A、1 B、1 C、2 D、7六、實數(shù)的運算 （1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數(shù)的運算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法交換律 加法結合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法對加法的分配律 例13 已知，求7（xy）20的立方根。例14 若，求3xy的值。圖形的平移與旋轉一、平移 1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形

8、整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。2、性質平移前后兩個圖形是全等圖形，對應點連線平行且相等（即為平移的距離），對應線段平行且相等，對應角相等。例15 將圖形平移，下列結論錯誤的是（ ）A.對應線段相等 B.對應角相等C.對應點所連的線段互相平分 D.對應點所連的線段相等二、旋轉 1、定義在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。2、性質旋轉前后兩個圖形是全等圖形，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角等于旋轉角。例16 如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連結BE，將BC

9、E繞點C順時針方向旋轉90得到DCF，連結EF，若BEC=60，則EFD的度數(shù)為（ ）A、10 B、15 C、20 D、25例17 下列說法正確的是( )A.平移不改變圖形的形狀和大小,而旋轉則改變圖形的形狀和大小B.平移和旋轉的共同點是改變圖形的位置C.圖形可以向某方向平移一定距離,也可以向某方向旋轉一定距離D.由平移得到的圖形也一定可由旋轉得到例18 在四邊形ABCD中,ADC=B=900,DEAB,垂足為E,且DE=EB=5,請用旋轉圖形的方法求四邊形ABCD的面積.D CA E B四邊形性質探索一、四邊形的相關概念 1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的

10、圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性3、四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360。推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于180； 多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360。4、設多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對角線共有條。從n邊形的一個頂點出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形。例19 一幅美麗的圖案，在某個頂點處由四個邊長相等的正多邊形密鋪而成，其中的三個分別為正三角形、正方形、正六邊形，則另外一個是（ ）（A）正三角形 （B）正方形（C）正五邊形 （D）正六邊形二、平行四邊形 1、平行四邊形的定義：兩組對邊

11、分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。相關結論：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是

12、平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底高=ah例20 如圖1，ABCD的周長是28cm，ABC的周長是22cm，則AC的長為（ ）（A）6cm （B）12cm （C）4cm （D）8cm例21 平行四邊形的兩鄰邊分別為3、4，那么其對角線必（ ）（A） 大于1（B） 小于7 （C） 大于1且小于7 （D） 小于7或大于1三、矩形 1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四

13、個角都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積：S矩形=長寬=ab例22 如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點，AF的延長線交DC的延長線于G，DEAG于E，且DEDC，根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并說明你的結論。四、菱形 1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形

14、的性質（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的鄰角互補，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積：S菱形=底高=兩條對角線乘積的一半例23 菱形的兩條對角線長分別為6cm、8cm，則它的面積為（ ）（A）6 （B）12 （C）24 （D）48例24 菱形的周長為20cm，兩鄰角

15、的比為1：2，則較長的對角線長為（） A4.5 cm B4 cmC5 cm D4 cm五、正方形 1、正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角 （3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：（1）先證它是矩形，再證它是菱形。 （2）先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的

16、面積：設正方形邊長為a，對角線長為b ，S正方形=例25 如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點，已知CEBF，垂足為M，請找出和BE相等的線段，并說明你的結論。六、梯形 1、梯形的相關概念一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底間的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）只有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。3、一般地，梯形的分類如下： 一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形4、直角梯形的定義：一

17、腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。5、等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。6、等腰梯形的性質（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。7、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：底角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形8、梯形的面積（1）如圖，（2）梯形中有關圖形的面積：；例26 下列語句中，正確的是（ ）（A）平行四邊形的對角線相等 （B）平行四邊形的對角線互相垂直平分（C）等腰梯形的對角線互相垂直 （D）

18、矩形的對角線互相平分且相等例27 在四邊形ABCD中，A、B、C、D的度數(shù)比為1223，則這個四邊形是（ ）（A）平行四邊形（B）等腰梯形（C）菱形（D）直角梯形例28 如圖2，等腰梯形ABCD中，ABCD，ACBC，點E是AB的中點，且AD=AE，ECAD，則ABC等于（）（A）75 （B）70 （C）60 （D）30七、有關中點四邊形問題的知識點：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中

19、點所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；AEBFCGDH例29 已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點。若AB2，AD4，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3 （B）4 （C）6 （D）8八、中心對稱圖形 1、定義在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉180，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。2、性質（1）成中心對稱的兩個圖形是全等圖形。（2）成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被

20、對稱中心平分。（3）成中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定：如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。例30 下列圖形中，是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（）A平行四邊形 B矩形 C菱形D正方形九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關系圖：位置的確定一、在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個數(shù)據(jù)。二、平面直角坐標系及有關概念 1、平面直角坐標系在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，組成平面直角坐標系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y

21、軸統(tǒng)稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。2、為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。(注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何一個象限。)3、點的坐標的概念對于平面內(nèi)任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數(shù)對（a，b）叫做點P的坐標。點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序實數(shù)對，當時，（a，b）和（b，

22、a）是兩個不同點的坐標。平面內(nèi)點的與有序實數(shù)對是一一對應的。例31 點M在x軸的上側，距離x軸5個單位長度，距離y軸3個單位長度，則M點的坐標為（ ）A. （5,3） B. （5,3）或（5,3） C. （3,5） D. （3,5）或（3,5）4、不同位置的點的坐標的特征 （1）各象限內(nèi)點的坐標的特征 點P(x,y)在第一象限點P(x,y)在第二象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限（2）坐標軸上的點的特征 點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）即原點（3）兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反