概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章隨機變量及其分布函數(shù)通用PPT課件

1、隨機變量及其分布Chapter 2Random variable and Distribution目錄CONTENTS隨機變量及其分布2.12.22.32.4常用的連續(xù)型隨機變量常用的離散型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布2.1 隨機變量及其分布函數(shù) Random variable and distribution E4：在土地里種下一粒種子。E1：記錄一個路口在一段時間內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)1=0，1，2，3，E2：扔一個骰子，出現(xiàn)的點數(shù)2=1，2，3，4，5，64=發(fā)芽，不發(fā)芽E5：在工廠生產(chǎn)的零件中任取一件。5=正品，次品E3：檢驗燈泡的壽命3=t|t0隨機試驗的結(jié)果雖然不是數(shù)量，但是可以將它數(shù)量化！

2、引例:2.1 隨機變量及其分布函數(shù)E4：在土地里種下一粒種子。4=發(fā)芽，不發(fā)芽E5：在工廠生產(chǎn)的零件中任取一件。5=正品，次品隨機試驗的結(jié)果雖然不是數(shù)量，但是可以將它數(shù)量化！由于試驗的結(jié)果是隨機的，因而X=X()的取值也是隨機的，所以將X=X()稱為隨機變量！在樣本空間上定義一個集合函數(shù) 一、隨機變量 Random variable例如：設(shè) X=某路口在一段時間內(nèi)通過的車輛數(shù)A = 通過的車輛數(shù)不超過 4B = 通過至少 6 輛車設(shè) X=取到次品的件數(shù)= 至多取到 2件次品= A= 恰好取到 2 件次品= B今后，我們用隨機變量的取值和取值范圍來表示隨機事件！為隨機變量,記為 R.V.X.(r

3、andom variable X)。 二、分布函數(shù) Distribution function 取值或取值范圍的概率？例如：將一枚硬幣連拋三次，觀察正反面向上的情況。設(shè) X=正面向上的次數(shù)二、分布函數(shù) Distribution function 對于任意區(qū)間（a，b二、分布函數(shù) Distribution function 定義2 設(shè)X為隨機變量,x為任意實數(shù),函數(shù)為隨機變量X的分布函數(shù)(distribution function)。分布函數(shù)F(x)是隨機事件Xx的概率,它是一個普通函數(shù),因而可用微積分的方法來研究隨機變量.隨機點實數(shù)點二、分布函數(shù) Distribution function 分

4、布函數(shù)利用概率性質(zhì)等知識可以證明分布函數(shù)具有下列性質(zhì): 1、0F(x)1;2、F(x) 在其間斷點處是右連續(xù).3、F(-)=0, F(+)=1 4、F(x)是單調(diào)不減函數(shù),即對任意實數(shù)x1,x2(x1x2), 有F(x1) F(x2) ;5、Px1Xx2=F(x2)-F(x1)圖像值域范圍圖像左右趨勢間斷點右連續(xù)(離散型)圖像自左至右呈上升利用分布函數(shù)計算事件概率【例1】設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為試求 (1)系數(shù)A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。 解（1）由 解得： 于是，分布函數(shù)為： （2）由分布函數(shù)計算事件概率公式得： 解：已知分布函數(shù)為： 【例1】設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為試求 (

5、1)系數(shù)A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。【例2】設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為求: 常數(shù) a 和 b。解：因為 F(x) 在 x=0 點右連續(xù)所以又因為故3、F(-)=0, F(+)=12.1 離散型隨機變量 Discrete random variable一、概念定義2 設(shè)離散型隨機變量X所有可能取值為 , 且X取各個可能值的概率為 定義1 若隨機變量 X 的全部可能取值為有限個或可列無限個可能值 ,則稱 X 為離散型隨機變量.稱為離散型隨機變量 X 的概率分布(分布律或分布列).注意：離散型隨機變量 X 的概率分布(分布律或分布列) 與分布函數(shù) 不是一回事！Discrete Dist

6、ribution數(shù)列: 分布列的表示方法:表格: 概率分布圖：PX0.51由概率的性質(zhì)易知離散型隨機變量的分布列 滿足下列特征性質(zhì): 非負性規(guī)范性用于確定待定參數(shù)隨機點實數(shù)點NonnegativityNormalizationAdditivity注 意 Attention 對離散隨機變量的分布函數(shù) distribution function 應(yīng)注意： (1) F(x)是遞增的階梯函數(shù); (2) 其間斷點均為右連續(xù)的; (3) 其間斷點即為X的可能取值點; (4) 其間斷點的跳躍高度是對應(yīng)的概率值. Figure 1 The distribution function 【例1】給定離散型R.V.

7、X的分布列如下：解：所以有：求： 常數(shù) C； 分布函數(shù) F(x) 概率求： 分布函數(shù) F(x) 概率解：當(dāng) 時， 在 內(nèi)不含X的任何取值當(dāng) 時， 在 內(nèi)含X的一個取值當(dāng) 時， 在 內(nèi)含X的2個取值當(dāng) 時， 在 內(nèi)含X的3個取值當(dāng) 時， 在 內(nèi)含有X的全部取值綜上所述：因為 X的可能取值中沒有1，所以求： 概率解：2.2 常用離散型隨機變量的分布1、兩點分布 或（0 - 1）分布定義1 設(shè)離散型隨機變量X的分布列為則稱 X 服從（0 - 1）分布，記作 X （0 - 1）分布（0 - 1）分布的分布函數(shù)11-p01F(x)x其中 0p1two-point distribution設(shè)隨機試驗E的只

8、有兩個樣本點： ，其中 則稱這種試驗為貝努利試驗(Bernoulli experiment)。顯然，貝努利試驗服從（0 - 1）分布若將一個貝努利試驗 獨立 重復(fù) 地做 n 次，則稱之為 n 重貝努利試驗。各次試驗的結(jié)果互不影響每次試驗中P(A)=p例如： 拋一枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的次數(shù)。 這是一個一重貝努利試驗。 若將一枚硬幣連拋 n 次，觀察正反面出現(xiàn)的次數(shù)。 令 A 表示出現(xiàn)正面，那么這是一個 n 重貝努利試驗。 袋中有 a 個紅球，b 個白球，任取一球，觀察其顏色，令 A 表示“取到紅球”，則若連續(xù)有放回的取 n 次，那么這是一個 n 重貝努利試驗。問題：n 重貝努利試驗服從什么分布

9、？注意：不放回抽樣取 n 次，不是 n 重貝努利試驗！假設(shè)在 n 重貝努利試驗中，用 X 表示事件 A 發(fā)生的次數(shù)那么 X 是一個離散型隨機變量，其可能取值為0,1,2，n求：P(X=k)=? k= 0,1,2,.,n假設(shè)在 n 重貝努利試驗中，用 X 表示事件 A 發(fā)生的次數(shù)那么 X 是一個離散型隨機變量，其可能取值為0,1,2，n求：P(X=k)=? k= 0,1,2,.,n現(xiàn)在：取 n=3，k=2, 即進行3次貝努利試驗，事件A發(fā)生2次的概率。設(shè) Ai = 事件 A 在第 i 次發(fā)生（i=1,2,3）, X = “三次試驗中 A 發(fā)生的次數(shù)”，2、二項分布 binomial distri

10、bution則稱 X 服從參數(shù) n，p 的二項分布，記為 特別的，當(dāng)n=1時，稱之為兩點分布或 0-1分布。設(shè)n 重貝努利試驗中事件A發(fā)生的概率為 令隨機變量X表示“n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”，則其可能取值為0，1，2，n ，且其分布列為例2.2.1 一批產(chǎn)品中，一等品率為20%，從這批產(chǎn)品中任取20件，則取出的產(chǎn)品中至少 2 件一等品的概率？解：設(shè) X 表示20件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)，則 X 的可能取值為 0,1,2，20A = 抽檢產(chǎn)品為一等品20重貝努利試驗X 表示“ n 次試驗中事件A 發(fā)生的次數(shù)” 例2.2.2 某種特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用， 問至少有8人治愈的概

11、率是多少？ 令 X 表示治愈的人數(shù)，則 X 表示“ n 次試驗中事件A 發(fā)生的次數(shù)”由此得： 從而解得: p = 2/3. 例2.2.3 設(shè) ， 已知 ， 求 解: 由 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 3、泊松分布 Poisson distribution定義3 設(shè)離散型隨機變量 X 所有可能取的值為 0,1,2,， 且其分布律為則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為的泊松分布,記為 泊松分布主要用于描述 （i）稀有事件發(fā)生的概率;（ii）單位時間或單位面積上的計數(shù)過程解：令 X 表示鑄件的砂眼數(shù)，則 故所求事件的概率為： 例2.2.4 由某商店過去的銷售記錄可知，某種商品每月的銷售數(shù)可用參數(shù)為

12、 的泊松分布描述。為了有99% 以上的把握保證商品不脫銷，問：商店在月底至少要進貨該商品多少件？設(shè)商店月底進貨 N 件 令 X 表示“商店每月銷售該種商品的件數(shù)”,則有r.v. XP(5)?！窘狻坑深}意可知，當(dāng) 時，產(chǎn)品不脫銷。 所以有 即 查泊松分布表可得：或 關(guān)于二項分布的近似計算，當(dāng)n20，p0.05時，滿足泊松逼近定理的條件。 泊松分布可作為二項分布的一種近似計算。 （二項分布的泊松逼近定理）設(shè)當(dāng) n 很大，np很小時，有其中例2.2.5 某射擊運動員射擊400次，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.01，問：至少2次擊中目標(biāo)的概率？解：設(shè) X = 擊中目標(biāo)的次數(shù)，則 X 的可能取值為0,1,

13、2,400根據(jù)題意可知，則所求事件的概率為又因為利用泊松逼近定理有：400重貝努利試驗4 . 幾何分布 Geometric distribution定義4 獨立重復(fù)的進行一個試驗（無數(shù)次），設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為 p，0p1，用 X 表示事件 A 首次發(fā)生時已進行的試驗次數(shù)，則X的可能取值為 k=1,2， ,若Ai=在第i次試驗中事件A發(fā)生，則有則稱隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布,記做或表示為：直到事件A發(fā)生為止，已經(jīng)進行 的試驗次數(shù)【例2.2.6】設(shè)甲袋中有9個白球，1個紅球，乙袋中有10個白球。每次從甲乙兩袋中各取一球交換后放回袋中，求紅球首次放入乙袋中時，取球次數(shù)不超過3次的

14、概率？解：設(shè) X=紅球首次放入乙袋時的取球次數(shù)故 隨機變量X服從參數(shù)為p=0.1的幾何分布, A=取到紅球則 P(A)=0.1其概率分布律為所求事件的概率為 一、概念定義1 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),如果存在非負函數(shù) f(x),使對任意實數(shù)x均有則稱X為連續(xù)型隨機變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度(函數(shù)).例如：牛頓-萊布尼茲公式2.3 連續(xù)型隨機變量 Continuous random variableprobability density function of X 二、概率密度的性質(zhì) Properties由概率密度求分布函數(shù)由分布函數(shù)求概率密度“規(guī)范性”，用于確定待定參數(shù)由于

15、F(x)是變上限積分函數(shù)，則F(x)是實數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)非負性NonnegativityNormalizationAdditivity需要指出的是：對于連續(xù)型R.V.X來說，X 取任一指定實數(shù)值 a 的概率均為0即：因此，對于連續(xù)型R.V.X來說，這條性質(zhì)對于離散型R.V.X來說不成立！注意區(qū)分：f(x) 是概率密度函數(shù)，用來求解概率 F(x)！ P(A)=0 A=.由此可知：不可能事件與零概率事件的關(guān)系為【例1】設(shè)隨機變量X的概率密度為求： A的值 分布函數(shù) F(x)解：-11求： A的值 分布函數(shù) F(x)【例1】設(shè)隨機變量X的概率密度為解：-11【例1】設(shè)隨機變量X的概率密度為求： A的

16、值 分布函數(shù) F(x)解：-11當(dāng) 時，當(dāng) 時，【例1】設(shè)隨機變量X的概率密度為求： A的值 分布函數(shù) F(x)解：-11當(dāng) 時， 【例2】設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為（1）求概率（2）求概率密度。 【解】（1）由分布函數(shù)求概率公式得： （2）對分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即得概率密度：【例3】設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)為求：系數(shù) A？根據(jù)F(x)的連續(xù)性，有連續(xù)型密度函數(shù) X f(x) ( 不唯一 )2.4. P(X=a) = 0離散型分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(a a 和 B = Y a 獨立， 解: 因為 X 與 Y

17、同分布，故 P(A) = P(B), P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)從中解得且 P(AB)=3/4,求常數(shù) a .且由A、B 獨立，得：= 2P(A) P(A)2 = 3/4從中解得: P(A)=1/2, 由此得 0a a )例4例4 某種型號電子元件的壽命 X (小時) 具有以下的概率密度函數(shù)現(xiàn)有一批元件(設(shè)各元件工作相互獨立)，問： 任取一只，其壽命大于1500小時的概率是多少？ 任取4只，4只壽命都大于1500小時的概率是多少？ 任取4只，4只中至少有一只壽命大于1500小時的概率？ 若已知一只元件的壽命大于1500小時，則該元件的壽命大 于2000小時的概率是多少？

18、解：（1）（2）由于各元件工作獨立，故所求事件的概率為：（3）所求事件的概率為：任取一只，其壽命大于1500小時的概率是多少？ 任取4只，4只壽命都大于1500小時的概率是多少？ 任取4只，4只中至少有一只壽命大于1500小時的概率？各元件工作相互獨立 令 則所求事件的概率為：已知：且有：又因為：所以(4) 若已知一只元件的壽命大于1500小時，則該元件的壽命大 于2000小時的概率是多少？均勻分布的意義 例2.4.2 假設(shè) X U(2, 5). 現(xiàn)在對 X 進行三次獨立觀測， 試求至少有兩次觀測值大于 3 的概率.解：記 A = X 3 , 則 P(A) = P( X 3)設(shè) Y 表示三次獨

19、立觀測中 A 出現(xiàn)的次數(shù),則 Y b(3, 2/3)，所求概率為 P(Y2) =P(Y=2)+P(Y=3)=20/27已知例2.4.3 某公司經(jīng)銷某種原料，根據(jù)歷史資料表明：這種原料的市場需求量X（單位：噸）服從（300,500)上的均勻分布，每售出一噸該原料，公司可獲利1.5（千元）；若積壓1噸，則公司損失0.5（千元）問公司應(yīng)該組織多少貨源，可使平均收益最大？解：由已知 ， 可得設(shè)公司應(yīng)組織 a 噸貨源，收益 Y 千元。故平均收益為定義3 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為其中0為常數(shù),則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為2、指數(shù)分布 Exponential Distribution注：指

20、數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間.例如，乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等，因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應(yīng)用.易求得的分布函數(shù)湊微分例2.4.3 設(shè)打一次電話所用時間（分鐘）服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布。如果有人剛好在你面前走進公用電話亭并開始打電話（假定只有一部電話），試求你等待： 超過 5 分鐘的概率； 5分鐘到10分鐘之間的概率？解：設(shè) X 表示打電話所用的時間則其概率密度函數(shù)為根據(jù)題意可有：即：等候的時間 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.(1)

21、正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 3、正態(tài)分布 Normal Distribution 定義4 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為其中 均為常數(shù),則稱隨機變量X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布或高斯分布,記為(2) 正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征(3) 正態(tài)分布的分布函數(shù)及其圖像連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的圖像是一條連續(xù)沒有間斷的曲線！標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為4. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為定義5在正態(tài)分布 中，如果 ，則稱該正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形概率密度函數(shù)概率分布函數(shù)2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算若 ，則有例1= 0.7517= 1-0.9591= 0.0409= 0.8925= 2*0.975-1= 0.95= 0.9591-1+0.7517= 0.7108= 2*(1-0.9671)= 0.0658一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化過程對于一般的正態(tài)分布 只要通過一個線性變換就能將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布！