剛體的基本運(yùn)動(dòng)

1、目錄 平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體的兩種最簡(jiǎn)單、最基本的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體的兩種最簡(jiǎn)單、最基本的運(yùn)動(dòng)；以后可以看到，剛體的更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)可以看成運(yùn)動(dòng)；以后可以看到，剛體的更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)可以看成是由這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。因此，這兩種運(yùn)動(dòng)稱為是由這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。因此，這兩種運(yùn)動(dòng)稱為。 2-1 剛體的平移剛體的平移剛體的平移剛體的平移平移的特點(diǎn)平移的特點(diǎn) 在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上任意一條直線的方位都保持不在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上任意一條直線的方位都保持不變。具有這種特征的剛體運(yùn)動(dòng)，稱為剛體的變。具有這種特征的剛體運(yùn)動(dòng)，稱為剛體的平行移動(dòng)平行移動(dòng)，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱為稱為平移平移。1. 剛體的平移剛體平剛體平移移的定義的定義 平移

2、的實(shí)例平移的實(shí)例 平移的實(shí)例平移的實(shí)例 平移的實(shí)例平移的實(shí)例 剛體剛體的平移的平移 剛體剛體的平移的平移 1.1.當(dāng)剛體作平移時(shí)，剛體上所有各點(diǎn)的軌跡形狀相同，當(dāng)剛體作平移時(shí)，剛體上所有各點(diǎn)的軌跡形狀相同，并且位置平行。并且位置平行。證明證明：A1B1A2B2二、二、平移的特點(diǎn)平移的特點(diǎn) 2.2.當(dāng)剛體作平移時(shí)，同一瞬時(shí)，剛體上各點(diǎn)的速度相當(dāng)剛體作平移時(shí)，同一瞬時(shí)，剛體上各點(diǎn)的速度相 等，各點(diǎn)的加速度也相等。等，各點(diǎn)的加速度也相等。 剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)1 1可由圖說明?？捎蓤D說明。 剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)2 2可證明如下：可證明如下：AOrBrABxzyBvAA

3、上式再對(duì)時(shí)間上式再對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)一次，即得求導(dǎo)一次，即得 故故 或或 ttABddddrrABvv ABaa 即，在每一瞬時(shí)，平移剛體即，在每一瞬時(shí)，平移剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的速度和加速度內(nèi)任意兩點(diǎn)的速度和加速度分別相等。分別相等。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B20ddABt剛體平移時(shí)，剛體內(nèi)任一線段剛體平移時(shí)，剛體內(nèi)任一線段AB的長(zhǎng)度和方向都保持不變。的長(zhǎng)度和方向都保持不變。因而因而ABrrAB AB為剛體上任意一矢量，則有為剛體上任意一矢量，則有A 平移剛體上各點(diǎn)的速度平移剛體上各點(diǎn)的速度 平移剛體上各點(diǎn)的加速度平移剛體上各點(diǎn)的加速度 應(yīng)該注意，平移剛體內(nèi)的點(diǎn)，不一定沿直線運(yùn)動(dòng)，也應(yīng)該

4、注意，平移剛體內(nèi)的點(diǎn)，不一定沿直線運(yùn)動(dòng)，也不一定保持在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，它的軌跡可以是任意的空間曲不一定保持在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，它的軌跡可以是任意的空間曲線。線。 由上述剛體平移的特點(diǎn)可見，當(dāng)剛體作平移時(shí)，只須由上述剛體平移的特點(diǎn)可見，當(dāng)剛體作平移時(shí)，只須給出剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)給出剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，就可以完全確定整個(gè)剛體的就可以完全確定整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。 這樣，剛體平移問題就可看為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題來處理。這樣，剛體平移問題就可看為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題來處理。 如果平移剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡都是平面曲線或直線，則如果平移剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡都是平面曲線或直線，則這些特殊情形稱為這些特殊情形稱為平面平移或直線平移平面平移

5、或直線平移。 綜上所述，可以得出剛體平移的幾個(gè)主要結(jié)論： 剛體上的各點(diǎn)具有形狀相同的運(yùn)動(dòng)軌跡。剛體上的各點(diǎn)具有形狀相同的運(yùn)動(dòng)軌跡。 剛體上的各點(diǎn)在某一瞬時(shí)具有相同的速度剛體上的各點(diǎn)在某一瞬時(shí)具有相同的速度 和和 加速度。加速度。 剛體平移時(shí)的運(yùn)動(dòng)分析可以簡(jiǎn)化為其上任意剛體平移時(shí)的運(yùn)動(dòng)分析可以簡(jiǎn)化為其上任意 一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析。一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析。在圖示機(jī)構(gòu)中，已知：在圖示機(jī)構(gòu)中，已知：O1A=O2B=l， O1O2=AB， AC=0.5BC。O1A，O2B 與三角板鉸接，與三角板鉸接， O1A勻角速度勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。ABO1O2llMC試問：試問：(1). 三角板三角板ABC作什么運(yùn)動(dòng)？作什么運(yùn)

6、動(dòng)？其角速度等于多少？其角速度等于多少？(2). 三角板三角板BC邊中點(diǎn)邊中點(diǎn)M的速度的速度和加速度各為多少？和加速度各為多少？ 思考題思考題 CvBvMvM=vB =raM=aB=r2答：答：(1). 因?yàn)槿前逡驗(yàn)槿前錋BC作平移運(yùn)動(dòng)，所以其角速度等于零。作平移運(yùn)動(dòng)，所以其角速度等于零。 (2). 三角板三角板ABC作平移運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)作平移運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M與點(diǎn)與點(diǎn)B有相同的速度和加速有相同的速度和加速 度。度。 例例2-1 2-1 蕩木用兩條等長(zhǎng)的鋼蕩木用兩條等長(zhǎng)的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長(zhǎng)索平行吊起，如圖所示。鋼索長(zhǎng)為長(zhǎng)為長(zhǎng)l，長(zhǎng)度單位為，長(zhǎng)度單位為m。當(dāng)蕩木擺。當(dāng)蕩木擺動(dòng) 時(shí) 鋼 索 的

7、擺 動(dòng) 規(guī) 律動(dòng) 時(shí) 鋼 索 的 擺 動(dòng) 規(guī) 律為為 ，其中，其中 t 為時(shí)為時(shí)間，單位為間，單位為s；轉(zhuǎn)角；轉(zhuǎn)角0的單位為的單位為rad。試求當(dāng)。試求當(dāng)t=0和和t=2 s時(shí)，蕩木時(shí)，蕩木的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的速度和加速度。的速度和加速度。OABO1O2ll（+）M例題 2-1 由于兩條鋼索由于兩條鋼索O1A和和O2B的長(zhǎng)度相的長(zhǎng)度相等，并且相互平行，于是蕩木等，并且相互平行，于是蕩木AB在運(yùn)在運(yùn)動(dòng)中始終平行于直線動(dòng)中始終平行于直線O1O2，故蕩木作，故蕩木作平移。平移。 為求中點(diǎn)為求中點(diǎn)M 的速度和加速度，只需求出的速度和加速度，只需求出A點(diǎn)（或點(diǎn)（或B點(diǎn)）的速度和加速點(diǎn)）的速度和加速度即可。點(diǎn)

8、度即可。點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)，圓弧的半徑為在圓弧上運(yùn)動(dòng)，圓弧的半徑為l。如以最低點(diǎn)。如以最低點(diǎn)O為起點(diǎn)，規(guī)為起點(diǎn)，規(guī)定弧坐標(biāo)定弧坐標(biāo)s向右為正，則向右為正，則A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為tls4 sin0將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度tltsv4 cos4dd0解：OABO1O2ll（+）M再求一次導(dǎo)，得再求一次導(dǎo)，得A點(diǎn)的切向加速度點(diǎn)的切向加速度代入代入t = 0和和t = 2，就可求得這兩瞬時(shí)，就可求得這兩瞬時(shí)A點(diǎn)的速度和加速度，亦即點(diǎn)點(diǎn)的速度和加速度，亦即點(diǎn)M在在這兩瞬時(shí)的速度和加速度。計(jì)算結(jié)果列表如下：這兩瞬時(shí)的速度和加速度。計(jì)算結(jié)果列表如下：tltva4 s

9、in16dd02tA點(diǎn)的法向加速度點(diǎn)的法向加速度tllva4cos16 22022n0002 （鉛直向上）0 （水平向右）00an (ms2)at (ms2)v (ms1)(rad)t (s)04l016l20216OABO1O2ll（+）M2-2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律角速度角速度 角加速度角加速度 當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如其上（或其延展部分）有一條直線當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如其上（或其延展部分）有一條直線始終保持不動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為始終保持不動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 該固定不動(dòng)的直線稱為該固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。 當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

10、，轉(zhuǎn)動(dòng)軸以外的各點(diǎn)都分別在垂當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸以外的各點(diǎn)都分別在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在該平面與轉(zhuǎn)軸之交直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在該平面與轉(zhuǎn)軸之交點(diǎn)上。點(diǎn)上。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)一、一、 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)例實(shí)例 這就是這就是剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程方程。 如已知這個(gè)方程，則剛體在如已知這個(gè)方程，則剛體在任一瞬時(shí)的位置就可以確定。任一瞬時(shí)的位置就可以確定。)(tf 剛體的位置可由角剛體的位置可由角完全確定。角完全確定。角也稱為也稱為角坐標(biāo)角坐標(biāo)，當(dāng)，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角坐標(biāo)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角坐標(biāo)隨時(shí)間隨時(shí)間t

11、t而變化，因而可表示為時(shí)間而變化，因而可表示為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)三、轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律三、轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律1 1、轉(zhuǎn)動(dòng)方程、轉(zhuǎn)動(dòng)方程（1）、角速度的大小表示剛體在該瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，即角速度的大小表示剛體在該瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，即單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)角的變化。單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)角的變化。)(ddtft 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的角速度剛體的角速度，以以表示。表示。故有故有2. 角速度角速度（2）、當(dāng)轉(zhuǎn)角當(dāng)轉(zhuǎn)角隨時(shí)間而增大時(shí)，隨時(shí)間而增大時(shí)，為正值，反之為為正值，反之為負(fù)值，這樣，角速度的正負(fù)號(hào)確定了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。負(fù)值，這樣，角速度的正負(fù)號(hào)確定了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。 和和正負(fù)相同，則角速度的絕對(duì)

12、值隨時(shí)間而增大，即剛正負(fù)相同，則角速度的絕對(duì)值隨時(shí)間而增大，即剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；反之，兩者正負(fù)不同，則角速度的絕對(duì)值隨體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；反之，兩者正負(fù)不同，則角速度的絕對(duì)值隨時(shí)間而減小，即剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)間而減小，即剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。 )(dddd22tftt 角速度角速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為角加速度角加速度，以以表示，表示，故有故有它表示單位時(shí)間內(nèi)角速度的變化。它表示單位時(shí)間內(nèi)角速度的變化。3. 角加速度角加速度 其中積分常數(shù)其中積分常數(shù)0 和和0 是在初瞬時(shí)剛體的轉(zhuǎn)角是在初瞬時(shí)剛體的轉(zhuǎn)角和角速度角速度之值之值。 t020021tt)(20202 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式2-3

13、 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度點(diǎn)的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度剛體內(nèi)在平行于轉(zhuǎn)軸剛體內(nèi)在平行于轉(zhuǎn)軸z的任一直線上，各點(diǎn)具有相等的速的任一直線上，各點(diǎn)具有相等的速度和相等的加速度，又各點(diǎn)的軌跡為同樣大小的圓周，其圓心度和相等的加速度，又各點(diǎn)的軌跡為同樣大小的圓周，其圓心都在轉(zhuǎn)軸都在轉(zhuǎn)軸z上。上。1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度tRtsdddd 由于點(diǎn)由于點(diǎn)M繞點(diǎn)繞點(diǎn)O作圓周運(yùn)動(dòng)，用自然法表示。點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，用自然法表示。點(diǎn)M的弧坐弧坐標(biāo)標(biāo) s=R，式中的式中的s和和取相同的

14、正負(fù)號(hào)。對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得取相同的正負(fù)號(hào)。對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得xsyRMOvM0考慮到考慮到tvtsdd ,ddRv 故有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)故有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi) M 點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度即即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度，等于等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角速度的乘積。該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角速度的乘積。Rv xsyRMOvM0 式中式中v與與兩者正負(fù)相同，故速度兩者正負(fù)相同，故速度是沿著點(diǎn)是沿著點(diǎn)M的軌跡圓周的切線，指向轉(zhuǎn)的軌跡圓周的切線，指向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)的一方。動(dòng)前進(jìn)的一方。 在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。平面上各點(diǎn)的

15、速度分布如圖。半徑成正比。平面上各點(diǎn)的速度分布如圖。Rv 即即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度，等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度，等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角加速度的乘積徑與剛體角加速度的乘積。式中。式中和和at具有相同的正負(fù)號(hào)具有相同的正負(fù)號(hào)。tRRttvadd)(ddddtRa t 點(diǎn)點(diǎn)M的加速度包含兩部分：的加速度包含兩部分：切向分量和法向分量。切向分量和法向分量?；蚧騉aMvanat切向加速度切向加速度2.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度不難看出，當(dāng)不難看出，當(dāng)和和正負(fù)相同時(shí)，切向加速度正負(fù)相同時(shí)，切向加速度at和速度和速度v有相有相同的指向，這

16、相當(dāng)于加速轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)同的指向，這相當(dāng)于加速轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)和和正負(fù)不相同時(shí)，則正負(fù)不相同時(shí)，則at與與v有相反的指向，這相當(dāng)于減速轉(zhuǎn)動(dòng)。有相反的指向，這相當(dāng)于減速轉(zhuǎn)動(dòng)。 OaMvanatOaMvanat即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度，等于該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度，等于該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角速度平方的乘積。法向加速徑與剛體角速度平方的乘積。法向加速an恒向軌跡的曲率中恒向軌跡的曲率中心即圓心心即圓心O，因此也稱為，因此也稱為向心加速度向心加速度。 RRva22n)(2nRa 法向加速度法向加速度OaMvanat或或42222n2tRRaaa42 Ra總加速度總加速度它與半徑它與半

17、徑MO的夾角的夾角（恒取正值恒取正值）可可按下式求出按下式求出2nttanRRaa2tan或 顯然，當(dāng)剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度顯然，當(dāng)剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度a偏向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)的一偏向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)的一方；當(dāng)減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度方；當(dāng)減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度a偏向相反的一方；當(dāng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)偏向相反的一方；當(dāng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)a指向軸心指向軸心O。 OaMvanat 但是，總加速度但是，總加速度a與轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑所成的偏角，卻與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑所成的偏角，卻與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑無關(guān)，即動(dòng)半徑無關(guān)，即在任一瞬時(shí)，在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的偏角度對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的偏角 都都相同相同；平面上各點(diǎn)加速度的

18、；平面上各點(diǎn)加速度的分布如圖。分布如圖。 , 42 Ra 由上式可見，在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的切向加由上式可見，在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的切向加速度、法向加速度和總加速的大小都與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。速度、法向加速度和總加速的大小都與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。2tan加速度的分布規(guī)律加速度的分布規(guī)律 例2-2 滑輪的半徑滑輪的半徑r=0.2 m，可繞水平軸可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上纏有轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上纏有不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩的一端掛有不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩的一端掛有物體物體A（如圖）。已知滑輪繞軸（如圖）。已知滑輪繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律=0.15t3 ，其中，其中t以以s計(jì)，計(jì)， 以以rad

19、計(jì)。試求。試求t=2 s時(shí)輪緣時(shí)輪緣上上M點(diǎn)和物體點(diǎn)和物體A的速度和加速度。的速度和加速度。 OM例題 2-2 首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律 =0.15t3 ，求得，求得它的角速度和角加速度它的角速度和角加速度245. 0tt 9 . 0 代入代入 t =2 s， 得得, srad 8 . 112srad 8 . 1輪緣上輪緣上 M 點(diǎn)上在點(diǎn)上在 t =2 s 時(shí)的速度為時(shí)的速度為 sm 36. 01rvM解：OMOM輪緣上輪緣上 M 點(diǎn)在點(diǎn)在 t =2 s 時(shí)的加速度的兩個(gè)分量時(shí)的加速度的兩個(gè)分量2tsm 36. 0ra22nsm 648. 0ra總加速度總加速度 aM 的大

20、小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2taaaM556. 0 tan229OM 因?yàn)槲矬w因?yàn)槲矬wA與輪緣上與輪緣上M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不同，前點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不同，前者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運(yùn)動(dòng)，者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運(yùn)動(dòng)，因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細(xì)繩不能伸長(zhǎng)，物體由于細(xì)繩不能伸長(zhǎng)，物體A與與M點(diǎn)的速度大小點(diǎn)的速度大小相等，相等，A的加速度與的加速度與M點(diǎn)切向加速度的大小也點(diǎn)切向加速度的大小也相等，于是有相等，于是有1sm 36. 0MAvv2tsm 36. 0 aaA它們的方向鉛直向下。它們的方向鉛直向下。 例2-3 圖示為一

21、對(duì)外嚙合的圓柱圖示為一對(duì)外嚙合的圓柱齒輪，分別繞固定軸齒輪，分別繞固定軸O1和和O2轉(zhuǎn)動(dòng)，兩轉(zhuǎn)動(dòng)，兩齒輪的節(jié)圓半徑分別為齒輪的節(jié)圓半徑分別為r1和和r2。已知某。已知某瞬時(shí)主動(dòng)輪瞬時(shí)主動(dòng)輪的角速度為的角速度為1 ，角加速，角加速度為度為1，試求該瞬時(shí)從動(dòng)輪，試求該瞬時(shí)從動(dòng)輪 的角速的角速度度2和角加速度和角加速度2 。為簡(jiǎn)便起見，本。為簡(jiǎn)便起見，本例的例的1 ， 2 ， 1 ， 2都代表絕對(duì)值。都代表絕對(duì)值。 O1O2M1M2r2r1例題 2-3O1O2M1M2r2r1,21vv 2t1taa ,2211rr2211rr, 1212rr1212rr1212212112zzrri 齒輪傳動(dòng)可簡(jiǎn)化

22、為兩輪以節(jié)圓相切并在切點(diǎn)齒輪傳動(dòng)可簡(jiǎn)化為兩輪以節(jié)圓相切并在切點(diǎn)處無相對(duì)滑動(dòng)，因而兩輪的嚙合點(diǎn)處無相對(duì)滑動(dòng)，因而兩輪的嚙合點(diǎn)M1與與M2恒具有恒具有相同的速度與切向加速度。即相同的速度與切向加速度。即或或因而從動(dòng)輪的角速度和角加速度分別為因而從動(dòng)輪的角速度和角加速度分別為顯然，顯然， 2 ，2的轉(zhuǎn)向分別與的轉(zhuǎn)向分別與1 , 1相反。相反。傳動(dòng)比為傳動(dòng)比為解：2-4 用矢積表示剛體上點(diǎn)的用矢積表示剛體上點(diǎn)的速度與加速度速度與加速度 用矢積表示剛體上點(diǎn)的速度用矢積表示剛體上點(diǎn)的速度 用矢積表示剛體上點(diǎn)的加速度用矢積表示剛體上點(diǎn)的加速度用矢量表示角速度與角加速度用矢量表示角速度與角加速度 沿剛體的轉(zhuǎn)軸

23、沿剛體的轉(zhuǎn)軸z畫出一個(gè)矢畫出一個(gè)矢量量=k （其中其中k為軸為軸z的單位的單位矢矢），稱為剛體的角速度矢稱為剛體的角速度矢。角速度矢角速度矢 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度矢定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度矢被認(rèn)為是滑動(dòng)矢量，可以從轉(zhuǎn)被認(rèn)為是滑動(dòng)矢量，可以從轉(zhuǎn)軸上的任一點(diǎn)畫出。軸上的任一點(diǎn)畫出。 它的作用線表示出轉(zhuǎn)軸的位它的作用線表示出轉(zhuǎn)軸的位置，而它的模則以某一比例表示置，而它的模則以某一比例表示出角速度出角速度的絕對(duì)值。的絕對(duì)值。的指向的指向由右手規(guī)定決定。由右手規(guī)定決定。1. 用矢量表示角速度與角加速度 同樣，可以用矢量同樣，可以用矢量=k 表示剛體的角加速度，它也是表示剛體的角加速度，它也是滑動(dòng)矢量，沿轉(zhuǎn)軸

24、滑動(dòng)矢量，沿轉(zhuǎn)軸z畫出。它的畫出。它的大小表示角加速度的模，它的大小表示角加速度的模，它的指向則決定于指向則決定于的正負(fù)。的正負(fù)。kktddttddddkk角加速度矢角加速度矢 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)M的速度的速度v 的大小為的大小為 。由。由于于 ，因而，因而 Rv sinrR 。 sinrRv根 據(jù) 矢 積 的 定 義 ， 矢 積根 據(jù) 矢 積 的 定 義 ， 矢 積 r 的模也等于的模也等于 ，它的方向也，它的方向也與速度與速度v v的方向一致，故有矢積表達(dá)的方向一致，故有矢積表達(dá)式式sinrrv 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度，可以由剛體的角速度矢與該點(diǎn)的矢徑可以由剛體的角速度矢與該點(diǎn)的矢徑的矢積來表示。的矢積來表示。2. 用矢積表示剛體上點(diǎn)的速度 將上式左右兩邊對(duì)時(shí)間求矢導(dǎo)數(shù)。左端的導(dǎo)數(shù)為點(diǎn)將上式左右兩邊對(duì)時(shí)間求矢導(dǎo)數(shù)。左端的導(dǎo)數(shù)為點(diǎn)M的加的加速度，而右端的導(dǎo)數(shù)為速度，而右端的導(dǎo)數(shù)為 vrrrttddddtsinaRrr式中第一個(gè)矢積式中第一個(gè)矢積r的模為的模為rvO13. 用矢積表示剛體上點(diǎn)的加速度速度的矢積表達(dá)式速度的矢積表達(dá)式逐項(xiàng)分析逐項(xiàng)分析 這矢積垂直由轉(zhuǎn)軸這矢積垂直由轉(zhuǎn)軸z和轉(zhuǎn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑半徑O1M決定的平面決定的平面 OO1M