多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法

1、返回總目錄制作與設(shè)計(jì) 賈啟芬振動(dòng)理論與應(yīng)用振動(dòng)理論與應(yīng)用Theory of Vibration with Applications 返回首頁(yè) 第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法Theory of Vibration with Applications 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商5.1.2瑞利第二商 返回首頁(yè)Theory of Vibrati

2、on with Applications5.1.1瑞利第一商設(shè)A為振型矢量，對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其最大動(dòng)能和最大勢(shì)能為KAAMAATTVpT2121max2maxmaxmaxVTpTT2A KAA MA對(duì)于保守系統(tǒng)，由能量守恒，則有若A是系統(tǒng)的第i階主振型A(i)，則得相應(yīng)的主頻率的平方pi2RATT( ) A KAA MA若A是任意的n維矢量，則可得稱(chēng)為瑞利商為了區(qū)別用位移方程求得的值，又稱(chēng)之為瑞利第一商。 MxKx 0 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商瑞利第一商值是否為系統(tǒng)某一主頻率的平方，則決定于所取矢量A。如果A與某一主振

3、型矢量接近，則所得瑞利商是相應(yīng)的固有頻率的近似值。實(shí)際上，對(duì)高階振型很難做出合理的假設(shè)，而對(duì)于第一階主振型則比較容易估計(jì)，所以此方法常用于求基頻，現(xiàn)推證如下。按照振型疊加的原理，系統(tǒng)的任何可能位移，包括假設(shè)振型，都可以描述為各階主振型的線(xiàn)性組合?，F(xiàn)取假設(shè)振型A是正則振型矢量的線(xiàn)性組合，即 AAAAAA CCCCCNNnNniinNiN11221 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商現(xiàn)取假設(shè)振型A是正則振型矢量的線(xiàn)性組合，即 AAAAAA CCCCCNNnNniinNiN11221C CCCnT12 CiNiTNiTNiNiT()

4、()()AMAAMAAMA是組合系數(shù)的列矩陣，且為非全為零的常數(shù)Ci可用振型的正交條件求出。即 nNnNNCCCAAAA2211 MATiN)(前乘 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商CMAACCKAACNTNTNTNTAR)(ICCCPCTT2niiniiiCpC121222121321221212132132122122111CCCCCCppCCppCCppCCpnnn11121221212221221ppCCppCCpnn CiNiTNiTNiNiT()()()AMAAMAAMA AAAAAA CCCCCNNnNniin

5、NiN11221RATT( ) A KAA MA代入 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 瑞利商的平方根是基頻p1的近似值。假設(shè)振型越接近于真實(shí)的第一階振型，則結(jié)果越準(zhǔn)確。通常，以系統(tǒng)的靜變形作為假設(shè)振型，可以得到較滿(mǎn)意的結(jié)果。 RAp( ) 1211312,CCCCCCn1由于假設(shè)振型A接近于第一階主振型，所以有， 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 用瑞利法求出的基頻近似值大于實(shí)際的基頻p1 。這是由于假設(shè)振型偏離了第一階振型，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了約束，因而

6、增加了剛度，使求得的結(jié)果高于真實(shí)的值。 由于 11ppi), 3 , 2(ni 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 0 xxM xAsin ptAMA p2 A MAA M MATTp2 如果采用位移方程描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，即A MT前乘以同理，若A A是任意的n矢量，則有pTT2A MAA M MA RATT( ) A MAA M MA 稱(chēng)為瑞利第二商若假設(shè)振型接近于第一階主振型時(shí)，則 是基頻 的近似值 RA( )p12給出同樣假設(shè)振型的同一振動(dòng)系統(tǒng)，用瑞利第二商計(jì)算的結(jié)果，要比用瑞利第一商計(jì)算的結(jié)果更精確一些。 返回首

7、頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 例5-1 用瑞利法求圖示三自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的第一階固有頻率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。 解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為 III000000 110121012kK3212211111k 逆矩陣A 1 1 1TA MAA KAA M MATTTIkIk3142； 計(jì)算得求第一階固有頻率的估值，取假設(shè)振型 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 RATT( ) A MAA M MA RATT( ) A KAA M

8、AIkAR333. 0)(IkAR214. 0)(在上面的計(jì)算中，假設(shè)振型比較“粗糙”，與該系統(tǒng)的第一階固有頻率 ，精確到第四位值的比較誤差較大。pkI120198 . 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 如果進(jìn)一步改進(jìn)假設(shè)振型，即以靜變形曲線(xiàn)為假設(shè)振型， 設(shè)A 356TA MAA KAA M MATTTIkIk70143532; RAkIRAkI( ).;( ).020001983顯然，在工程上，若以靜變形曲線(xiàn)作為假設(shè)振型，可以得到很好的第一階固有頻率的近似值。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Ap

9、plications第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications用瑞利法估算的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對(duì)第一階主振型的近似程度，而且其值總是精確值的上限。李茲法對(duì)近似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進(jìn)一步下降，并且還可得系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型在李茲法中，系統(tǒng)的近似主振型假設(shè)為A aaass1122 12,s 1212ssTaaa,aAa 是選取的s個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的假設(shè)振型ns矩陣s維待定系數(shù)RApTTTT( ) aKaaMa 2 返回首頁(yè)Theory of Vibra

10、tion with ApplicationsRAUaTap( )( )( )2RApTTTT( ) aKaaMa 2由于 在系統(tǒng)的真實(shí)主振型處取駐值，這些駐值即相應(yīng)的各階固有頻率的平方 ，所以a的各元素由下式確定RA( )pi20)()()()()(1)(2iiiaaTaUaaUaTaTaARis12 , ,0)()(2iiaaTpaaUaMaTTaT)(aKaTTaU)( 返回首頁(yè)Theory of Vibration with ApplicationsRAUaTap( )( )( )20)()(2iiaaTpaaUaMTiiaaT2)(iaaU)(aKaKaaaKaaKaTiTiTiTTi

11、TiaaaaU22)( iTiTpKaMa20is12 , ,KKTK aM a0p2MMTn個(gè)自由度縮減至s 自由度。剛度矩陣質(zhì)量矩陣 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)的近似方法。頻率方程KMp20 aiis(, , ) 12 K aM a0p2求出s個(gè)固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。解出其相應(yīng)的特征矢量求出n自由度系統(tǒng)的前s階主振型 Aaii is 12 , , ()aM aiTjijij01 ()()AMAaMaiTjiTTjijij 01正交性 返回首頁(yè)Theory of Vibration wit

12、h Applications2)(pARTTMAMAMAA 0aMMaM TTp2對(duì)于瑞利第二商Aa 利用駐值條件可得s個(gè)方程，將其寫(xiě)成矩陣形式0aM)(2 p02 pM特征方程MM T aiis(, , ) 12 求出s個(gè)固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。解出其相應(yīng)的特征矢量求出n自由度系統(tǒng)的前s階主振型 Aaii is 12 , ,MMT 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications例5-2 用李茲法求圖示四自由度振動(dòng)系統(tǒng)的前二階固有頻率及主振型。 解：由條件可求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣43213321222111111,00200

13、2002,000000000000kkkkkkkkkkkmmmm KM 12025050075 100000020060100.TT設(shè)振型 返回首頁(yè)Theory of Vibration with ApplicationsMMKK TTmk188155155140025025025036.04.1035.1235.1236.152kmTMM 求出02518802515502515503614002222.kmpkmpkmpkmp02518802515502515503614000222212.kmpkmpkmpkmpaa pkmpkmaaaa12221121122201240010008010

14、0 .,.,.求出2個(gè)固有頻率，即5自由度系統(tǒng)的前5階固有頻率。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications Aa11025000050020075060100100400100079140180220220036064082100 . A1036064082100.T Aa22100100000100 .T求出系統(tǒng)的前二階主振型 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applicati

15、ons鄧克萊法是求多圓盤(pán)的軸的橫向振動(dòng)系統(tǒng)基頻近似值的一種方法。當(dāng)其它各階頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基頻時(shí)，利用此法估算基頻較為方便。由表示位移方程得到的頻率方程，即 MI102p并展開(kāi)得nnnnnnmmm111122221012p令120n1122222111pppnn,根為式又可寫(xiě)成各因式連乘積的形式，即展開(kāi)得nnn1210 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applicationsnnnnnnmmm1111222210nnn12101211112222nnnnnmmm1111222211112222pppmmmnnnnn比較，得到若基頻p1遠(yuǎn)低于高階頻率，即1121111222

16、2pmmmnnnnkii是第i個(gè)質(zhì)量產(chǎn)生單位位移時(shí)，在第i個(gè)質(zhì)量上所需加的力。 iiiik1 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications11211112222pmmmnnnn稱(chēng)為鄧克萊公式鄧克萊公式。由于略去了高階頻率的成分，所以求得的基頻總是低于精確值。 iiiiiiiiiiiiiimmkkmp1121111121122222ppppnnpii表示只有mi存在時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications例5-3 用鄧克萊公式計(jì)算例5-1中的三圓盤(pán)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的基頻。112233123123kkkI

17、III,11112366016671211222233212ppppIkIkIkIkpkIkI .解：由例5-1所解可知顯然用鄧克萊法求基頻十分方便，但誤差較大，故僅適用于初步估算。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻

18、率和主振型矩陣迭代法，亦稱(chēng)振型迭代法是采用逐步逼近的方法來(lái)確定系統(tǒng)的主振型和頻率。0AIM)1(2p AMA21p MD 系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣求系統(tǒng)的基頻時(shí)，矩陣迭代法用的基本方程是由位移方程，即用動(dòng)力矩陣D前乘以假設(shè)振型A0 ，然后歸一化，可得A1，即DAA011 a矩陣迭代法的過(guò)程是：（1）選取某個(gè)經(jīng)過(guò)歸一化的假設(shè)振型A0 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型（2）如果 ，就再以A1為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，并且歸一化得到A2，AA10DAA122 a（3）若 ，則繼續(xù)重復(fù)上述迭代步驟，得AA21DAAkkka1直至 時(shí)

19、停止AAkk1apk12 AA1k第一階主振型 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型根據(jù)振型展開(kāi)定理，任意的假設(shè)振型可以表示為各階主振型的線(xiàn)性組合，即 AAAA01122CCCnn（A）可以證明，上述過(guò)程一定收斂于最低固有頻率及第一階主振型。經(jīng)過(guò)第一次迭代后，即 DADAAADADADA011221122()CCCCCCnnnn（B）根據(jù)主振型應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系，即 DAAiiip12in12 3, , ,（C） 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有

20、頻率和主振型 AAAA01122CCCnn（A） DAAiiip12in12 3, , ,（C）也即是每迭代一次等于在A(yíng)(i)之前乘以系數(shù) ，12pi DAAAA0112122222111CpCpCpnnn（D） 所以式（B） DADAAADADADA011221122()CCCCCCnnnn可寫(xiě)為 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型 AAAA01122CCCnn（A） DAAAA0112122222111CpCpCpnnn（D） 由于p1 p2 pn，所以每迭代一次以后式（D）與式（A）的區(qū)別是，各振型前的系

21、數(shù)不一樣，經(jīng)過(guò)一次迭代，第一階主振型的成分得到比其它主振型更大的加強(qiáng)，反復(fù)迭代下去，一直到第一階主振型成分占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)為止，此時(shí)即有 AAk1 DAAAkkkap11211apk112 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型可以看出：盡管開(kāi)始假設(shè)的振型不理想，它包含了各階主振型，而且第一階主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代過(guò)程中，高階振型的分量逐漸衰減，低階振型的分量逐漸增強(qiáng)，最終收斂于第一階主振型最終收斂于第一階主振型。假設(shè)振型越接近A(1)則迭代過(guò)程快；假設(shè)振型與A(1)相差較大則迭代過(guò)程收斂的慢，但最終仍

22、然得到基頻和第一階主振型。如果在整個(gè)迭代過(guò)程中，第一階主振型的分量始終為零，則收斂于第二階主振型；如果前s 階主振型的分量為零，則收斂于第s+1階主振型。應(yīng)當(dāng)指出，若用作用力方程進(jìn)行迭代，則收斂于最高固有頻率和最高階主振型。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型例5-4 用矩陣迭代法求例5-1所示系統(tǒng)的第一階固有頻率及振型。 解： 由例5-1中計(jì)算的結(jié)果可得到動(dòng)力矩陣DM Ik111122123A01 1 1T取初始假設(shè)振型DAA0111112212311135631000016667200003IkIkIkIk

23、.A1100001666720000.T進(jìn)行迭代，經(jīng)過(guò)第一次迭代后，得 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型第二次迭代DAA1211112212310000166672000046667833441033344666710000178582214346667IkIkIkIk.繼續(xù)迭代下去320000. 52429. 28000. 10000. 10000. 5ADAkIkI430429. 52465. 28017. 10000. 10479. 5ADAkIkI540482. 52469. 28019. 10000

24、. 10482. 5ADAkIkI650488. 52470. 28019. 10000. 10488. 5ADAkIkI760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIkI 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一階固有頻率和主振型760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIkIAA76150489019801212pIkpkI.,. A1100001801922470.T與之對(duì)應(yīng)的第一階主振型為 返回首頁(yè)Theory of Vibration with A

25、pplications5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 當(dāng)需用矩陣迭代法求第二階、第三階等高階頻率及振型時(shí)，其關(guān)鍵步驟是要在所設(shè)振型中消去較低階主振型的成分。如由展開(kāi)定理 AAAACCCnn1122由正交性 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA MATi)(前乘 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 AAAACCCnn1122 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA如果要在A(yíng)中消去A(1)的成分，則只需取假設(shè)振型為 AAAAAMAIAAMAQ ACMMTT11111111

26、1()() QIAAM1111()TM其中稱(chēng)為前P階清除矩陣。應(yīng)用QP A作為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，將得到第P+1階固有頻率及主振型。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 應(yīng)當(dāng)注意到，在運(yùn)算中不可避免地存在舍入誤差，即在迭代過(guò)程中難免會(huì)引入一些低階主振型分量，所以在每一次迭代前都必須重新進(jìn)行清除運(yùn)算。實(shí)際上，可以把迭代運(yùn)算和清除低階振型運(yùn)算合并在一起，即將清除矩陣并入動(dòng)力矩陣D中去，并入原理如下。 DADAAA()CCCnn1122所以 DAADAA1121211ppiii, DAAAACpCpCpnnn1121

27、22222因?yàn)閺腄A中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()() 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 從DA中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()()稱(chēng)之為已含清除矩陣的新動(dòng)力矩陣。用矩陣D*進(jìn)行迭代將得到第二階主振型及第二階固有頻率。 DDAAM11112()TM p因此，包含前P階清除矩陣的動(dòng)力矩陣為 DDAAMjjTjjjPM p()21 返回首頁(yè)Theory of Vibratio

28、n with Applications5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 例5-5 用矩陣迭代法求例5-4系統(tǒng)中的第二階固有頻率及主振型。 pkIT12101980100001801922470.,.A解：在例5-4中，用矩陣迭代法已求出系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型為 IMT2959. 9)(111MAA于是，可計(jì)算出 0490. 50489. 42479. 20489. 42468. 38019. 12479. 28019. 10000. 1)(11ITMAA 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 DDA

29、AM11112045670201002208020100235901998022080199802569().TM pIk得到含清除矩陣的動(dòng)力矩陣 A021 11T pkIT22215552100000445208020.,.A選取初始假設(shè)振型現(xiàn)經(jīng)過(guò)十二次迭代后，得到 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications將矩陣迭代法與李茲法結(jié)合起來(lái)，可以得到一種新的計(jì)算將矩陣迭代法與李茲法結(jié)合起來(lái)，可以得到一種新的計(jì)

30、算方法，即子空間迭代法。方法，即子空間迭代法。它對(duì)求解自由度數(shù)較大系統(tǒng)的較低的前若干階固有頻率及它對(duì)求解自由度數(shù)較大系統(tǒng)的較低的前若干階固有頻率及主振型非常有效。主振型非常有效。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications李茲法：李茲法：假設(shè)系統(tǒng)的近似主振型為A aaass1122 12,s 1212ssTaaa,a是選取的s個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的假設(shè)振型ns矩陣s維待定系數(shù) 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications iTiTpKaMa20is12 , ,KKTK aM a0p2MMTn個(gè)自由度縮減至s 自由度。剛度矩陣質(zhì)

31、量矩陣 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)的近似方法。頻率方程KMp20 aiis(, , ) 12 K aM a0p2求出s個(gè)固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。解出其相應(yīng)的特征矢量求出n自由度系統(tǒng)的前s階主振型 Aaii is 12 , , 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications計(jì)算系統(tǒng)的前P階固有頻率和主振型，按照李茲法，可假設(shè)s個(gè)振型且sP。將這些假設(shè)振型排列成ns階矩陣，即A012 s其中每個(gè) 都包含有前P階振型的成分，也含有高階振型的成分。 返回首頁(yè)Theo

32、ry of Vibration with Applications為了提高李茲法求得的振型和頻率的精確度，將A0代入動(dòng)力矩陣中進(jìn)行迭代，并對(duì)各列陣分別歸一化后得 MA0MD 目的是使 比A0含有較強(qiáng)的低階振型成分，縮小高階成分。但如果繼續(xù)用 進(jìn)行迭代，所有各階振型即 的各列都將趨于A(yíng)(1)。 為了避免這一點(diǎn)，可以在迭代過(guò)程中進(jìn)行振型的正交化。用李茲法進(jìn)行振型正交化具有收斂快的特點(diǎn)。因?yàn)樗抢萌鹄●v值的條件，尋求s2個(gè)aij的系數(shù)，使得 的每一列都成為相對(duì)應(yīng)振型A(i)的最佳近似。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications所以用 作為假設(shè)振型，再按李

33、茲法求解，即設(shè) Aa 可求得廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣MM TKKss階待定系數(shù)方陣KaM a p2得到s個(gè)值 及對(duì)應(yīng)的特征矢量 p2a再由李茲法特征值問(wèn)題，即求解方程A從而求出 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications然后，以求出的 作為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，可求得A MAAa 與李茲法特征值問(wèn)題，解出 。aA,由李茲法，即不斷地重復(fù)矩陣迭代和李茲法的過(guò)程，就可以得到所需精度的振型和固有頻率。迭代的功能是使這s個(gè)矢量的低階成分不斷地相對(duì)放大，即向 張成的子空間靠攏。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 子空

34、間迭代法是對(duì)一組假設(shè)振型反復(fù)地使用迭代法和李茲法的運(yùn)算。 從幾何觀(guān)點(diǎn)上看，原n階特征值系統(tǒng)有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征矢量，它們之間是正交的，張成一個(gè)n維空間。 AAA12、n 12、s而假設(shè)的s個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n維矢量 張成一個(gè)s 維子空間， AAA12、s 如果只迭代不進(jìn)行正交化，最后這s個(gè)矢量將指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李茲法作了正交處理，則這些矢量不斷旋轉(zhuǎn)，最后分別指向前s個(gè)特征值的方向。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 12、s AAA12、s即由張成的一個(gè)s 維子空間，經(jīng)反復(fù)地迭代正交化的旋轉(zhuǎn)而逼近于由所張成的子空間。 返回首頁(yè)

35、Theory of Vibration with Applications 在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，最低的幾階振型一般收斂很快，經(jīng)過(guò)二至三次迭代便已穩(wěn)定在某一數(shù)值。 在以后的迭代中不能使這幾個(gè)低階振型值的精度進(jìn)一步提高，只是隨著迭代次數(shù)的增加，將有越來(lái)越多的低階振型值穩(wěn)定下來(lái)。 所以，在計(jì)算時(shí)要多取幾個(gè)假設(shè)振型，如果所需求的是P個(gè)振型，則假設(shè)振型個(gè)數(shù)s一般應(yīng)在2P與2P+8之間取值。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 子空間迭代法有很大的優(yōu)點(diǎn)，它可以有效地克服由于等固有頻率或幾個(gè)頻率非常接近時(shí)收斂速度慢的困難。 同時(shí)，在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析中，系統(tǒng)的自

36、由度數(shù)目可達(dá)幾百甚至上千，但是，實(shí)際需用的固有頻率與主振型只是最低的三、四十個(gè)，通常對(duì)此系統(tǒng)要進(jìn)行坐標(biāo)縮聚。 與其它方法相比，子空間迭代法具有精度高和可靠的優(yōu)點(diǎn)。因此，它已成為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的最有效的方法之一。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications例5-6 用子空間迭代法求例5-2中所示系統(tǒng)的前二階固有頻率及振型。A002500250075010001000100000000900.T解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣已由前例求出。現(xiàn)取假設(shè)振型由動(dòng)力矩陣迭代得到Tkm600. 0300. 0200. 1100. 1500. 7500. 6

37、750. 4500. 20MA 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications將各列分別歸一化得 0333306333086671000009167100000250005000.T求得MK、MMKK TTmk2263306556065560152802733005560055619722.()KMa0p2 027332363300556065560055606556197222152800121.aa再由李茲法特征值問(wèn)題為其中 mpk2 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications44427497940536002.

38、1212012061000210000001370301510000.,.;.,.aa由上述方程有非零解的條件，得頻率方程為各列分別歸一化后，得 a0333309167063331000008667025001000005000100000301500137100000345908162064720809008701001130993108015.A0348310000065150991308761001391000009820. 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications MAmk287600995454036099807279800051827980

39、9871. 0347306526087921000010000099540005109917.T重復(fù)上述過(guò)程進(jìn)行第二次迭代，由歸一化后得則有MMKK TTmk2219600007000072974302788000010000129744.()KMa0p222798231960000100007000010000729744297430012.aa由 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications22798231960000100007000010000729744297430012.aa解得68991773150832102. 12110120610000

40、10000000010000310000.,.;.,.aa得頻率方程為a034731000006526099540879200051100000991710000000030000110000.由于 近似于單位矩陣，所以有aAa 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications由于 近似于單位矩陣，所以有a034731000006526099540879200051100000991710000000030000110000.aAa 結(jié)束迭代，求得系統(tǒng)的前二階固有頻率及相應(yīng)的主振型為 pkmpkmTT122212012060347306526087921000

41、010000099540005109917.,.AA 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.1 彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 5.6.3 梁的橫向彎曲振動(dòng)系統(tǒng) 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.1 彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)工程上有些結(jié)構(gòu)是由具有重復(fù)性的相同區(qū)段象鏈條那樣組合而成的。例如彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，它是由一個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量依次組合而

42、成的鏈狀系統(tǒng)。對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)，可將其分成有限單元或段，每一單元包含一個(gè)無(wú)重彈簧和一個(gè)質(zhì)量塊。類(lèi)似的系統(tǒng)還有軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)；連續(xù)梁的橫向彎曲振動(dòng)系統(tǒng)等等。計(jì)算這類(lèi)鏈狀結(jié)構(gòu)固有頻率和主振型時(shí)，宜采用傳遞矩陣法。采用傳遞矩陣法進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)，只需要對(duì)一些低階次的矩陣進(jìn)行乘法運(yùn)算，數(shù)值解時(shí)也只需計(jì)算低階次的矩陣及行列式。計(jì)算工作大大簡(jiǎn)化，并可推廣來(lái)求系統(tǒng)的響應(yīng)。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.1 彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)圖是彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)的一部分。質(zhì)量mi和彈簧ki組成一個(gè)單元。畫(huà)出質(zhì)量塊的受力圖。其位移為xi，上標(biāo)L和R是左邊和右邊的標(biāo)記。由于質(zhì)

43、量塊是剛體，所以iiixxx LRLRiiiiFFxm 運(yùn)動(dòng)方程為 xp xii 2設(shè)質(zhì)量塊作頻率為p的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其加速度為L(zhǎng)2LRiiiixpmFF L2R101iiiFxmpFx 寫(xiě)成矩陣形式 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.1 彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)iiixxx LRL2LRiiiixpmFF 矩陣形式L2R101iiiFxmpFx 點(diǎn)傳遞矩陣xFT向量稱(chēng)為狀態(tài)向量點(diǎn)傳遞矩陣把質(zhì)量?jī)蛇叺臓顟B(tài)向量聯(lián)系起來(lái)。 P 1012mp畫(huà)出i段彈簧的受力圖。由于不計(jì)彈簧的質(zhì)量，所以 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Appli

44、cations5.6.1 彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)R1L iiFFR1R1LL)( iiiiiFxxkFiiiikFxxR1R1L R1L1011 iiiFxkFx場(chǎng)傳遞矩陣 F 1101kR1L1011 iiiFxkFxL2R101iiiFxmpFx 場(chǎng)傳遞矩陣把彈簧兩邊的狀態(tài)向量聯(lián)系起來(lái)代入 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.1 彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)R1L1011 iiiFxkFxL2R101iiiFxmpFx R12R1011101 iiiiFxkmpFx代入R122R111 iiiFxkmpmpkFxR1R iiiFxFxH把位置i和i1的右

45、邊的狀態(tài)向量直接聯(lián)系起來(lái)Hiikmpmpk11122i段傳遞矩陣 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.1 彈簧質(zhì)量鏈狀系統(tǒng)RiFx R0 FxHiikmpmpk11122i段傳遞矩陣遞推公式能使典型位置i處的狀態(tài)向量將邊界條件代入式得到頻率方程，從而求得系統(tǒng)的各階固有頻率和主振型。 R0121R FxFxiiiHHHH與系統(tǒng)的邊界處的狀態(tài)向量發(fā)生聯(lián)系，即 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 設(shè)各圓盤(pán)可以和軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)(略去橫向運(yùn)動(dòng))，它們對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I0

46、，I1，Ii，Ii+1 ，圓盤(pán)間各段軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)為k0，k1，ki，k+1 。以第i個(gè)圓盤(pán)和第i段軸組成分段單元。分別畫(huà)出受力圖。1. 單支軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)圖是軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的一部分。由受力分析可得到 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 由受力分析可得到L2R101iiiMIpM R1L1011 iiiMkMMi稱(chēng)為i點(diǎn)的狀態(tài)向量P 1012IpF 1101k點(diǎn)傳遞矩陣場(chǎng)傳遞矩陣R122R12R1111011101 iiiiiiMkIpIpkMkIpM類(lèi)似地可以得到各段向量的轉(zhuǎn)換關(guān)系 返回首頁(yè)Theory of

47、Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) R122R12R1111011101 iiiiiiMkIpIpkMkIpMHiikIpIpk11122分段傳遞矩陣 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 有些軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)是帶有分支的鏈狀結(jié)構(gòu)，這時(shí)需要選擇其中部分鏈狀結(jié)構(gòu)作為主系統(tǒng)，其它分支作為分支系統(tǒng)。在主系統(tǒng)上推導(dǎo)分支點(diǎn)兩側(cè)狀態(tài)向量的傳遞關(guān)系時(shí)，要考慮分支系統(tǒng)對(duì)支點(diǎn)的影響。2. 具有分支的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)具有分支的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)以圖示的分支鏈狀系統(tǒng)為例。選擇圓盤(pán)I1，I3，I4所

48、在的軸作為主系統(tǒng)以(A)表示；圓盤(pán)I5所在的軸作為分支系統(tǒng)以(B)表示。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 2. 具有分支的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)以圖示的分支鏈狀系統(tǒng)為例。選擇圓盤(pán)I1，I3，I4所在的軸作為主系統(tǒng)以(A)表示；圓盤(pán)I5所在的軸作為分支系統(tǒng)以(B)表示。分支系統(tǒng)(B)對(duì)主系統(tǒng)(A)的影響只是在主軸系(A)中的A齒輪上作用有附加力矩。在分析傳遞矩陣時(shí)，應(yīng)將該附加力矩考慮進(jìn)傳遞矩陣中去。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 2. 具有分

49、支的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)假設(shè)齒輪A、B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)，齒輪A與齒輪B的傳動(dòng)比為n。由于是外嚙合，兩個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)角有如下關(guān)系22BAn 對(duì)于(B)軸系，有R2525255R5111BMkpIpIkM 在該式前乘以傳遞矩陣的逆矩陣，并考慮到在自由端的扭矩 ，則有0R5 MR525525R5255525R21111 pIkpIMpIkkpIMB 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 2. 具有分支的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)R525525R5255525R21111 pIkpIMpIkkpIMBR252525R525R21BBkpIpI

50、pIM R2L2R2R2L2R2AABBAAnnnMMM對(duì)于(A)軸系，由作用在(A)軸系上齒輪A的力矩平衡方程，有R2525255R5111BMkpIpIkM 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 2. 具有分支的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) R2L2R2R2L2R2AABBAAnnnMMM對(duì)于(A)軸系，由作用在(A)軸系上齒輪A的力矩平衡方程，有L2525252R21101AAMkpIpInM R12L21011 MkMA式中的矩陣，即為在2處的點(diǎn)傳遞矩陣，再加上軸段的傳遞關(guān)系1101525252R2kpIpInMAR12R1

51、21011MMkH 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 2. 具有分支的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)R12R12525252R210111101 MMkkpIpInMAHH2225252525252511111 kn I pI pkn I pI pk考慮了分支系統(tǒng)經(jīng)過(guò)齒輪A對(duì)主系統(tǒng)的影響的分段傳遞矩陣。軸間的剛度為 ， ， 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 例5-7 圖示系統(tǒng)是一個(gè)由四圓盤(pán)組成的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，各圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 ；242231mkg1

52、 . 0,mkg4 . 0IIII051 kkradmkN1042 kkradmkN203k試求系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解： 從圓盤(pán)1開(kāi)始，由邊界條件 ，于是01L11 M， 2L12L121R14 . 0114 . 001101ppMpIM 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 圓盤(pán)2的狀態(tài)矢量為R1222222R2111 MkpIpIkMR2323233R3111 MkpIpIkM圓盤(pán)3的狀態(tài)矢量為圓盤(pán)5的狀態(tài)矢量為R3424244R4111 MkpIpIkM 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications5.6.2 軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 將以上四式連接起來(lái)，有4424244R4111 kpIpIkM3323233111kpIpIkR12222222111 MkpIpIk代入數(shù)據(jù)，并由邊界條件 ，可得頻率方程，即0R4 M0108 . 01041055. 4815610452R4 ppppM解出s