2024年高考數(shù)學(xué)真題（北京卷）試題試卷原卷答案解析

第20頁/共20頁絕密★本科目考試啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知，則（）．A. B. C. D.13.求圓的圓心到的距離（）A. B.2 C. D.4.的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（）A15 B.6 C. D.5.已知向量，，則“”是“或”的（）條件．A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.47.記水的質(zhì)量為，并且d越大，水質(zhì)量越好．若S不變，且，，則與的關(guān)系為（）A.B.C.若，則；若，則；D.若，則；若，則；8.已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4，4，，，則該四棱錐的高為（）A. B. C. D.9.已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）A. B.C D.10.若集合表示的圖形中，兩點(diǎn)間最大距離為d、面積為S，則（）A.， B.，C， D.，第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)________．12.已知，且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大值為________．13.已知雙曲線，則過且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為________．14.已知三個(gè)圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個(gè)圓柱的直徑為65mm，第二、三個(gè)圓柱的直徑為325mm，第三個(gè)圓柱的高為230mm，求前兩個(gè)圓柱的高度分別為________．15.已知，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，下列正確的是______.①，均為等差數(shù)列，則M中最多一個(gè)元素；②，均為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；③為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；④單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則M中最多一個(gè)元素.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在△ABC中，，A為鈍角，．（1）求；（2）從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積．①；②；③．注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17.已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點(diǎn)，．（1）若F是PE中點(diǎn)，證明：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角余弦值．18.已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為萬元，前3次出險(xiǎn)每次賠付萬元，第4次賠付萬元賠償次數(shù)01234單數(shù)在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）（i）毛利潤是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤為，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降，已賠償過的增加．估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤的數(shù)學(xué)期望．19.已知橢圓方程C：，焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形，過的直線l與橢圓交于A，B，，連接AC交橢圓于D．（1）求橢圓方程和離心率；（2）若直線BD的斜率為0，求t．20.已知在處切線為l．（1）若切線l的斜率，求單調(diào)區(qū)間；（2）證明：切線l不經(jīng)過；（3）已知，，，，其中，切線l與y軸交于點(diǎn)B時(shí)．當(dāng)，符合條件的A的個(gè)數(shù)為？（參考數(shù)據(jù)：，，）21.設(shè)集合．對于給定有窮數(shù)列，及序列，，定義變換：將數(shù)列的第項(xiàng)加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第列加，得到數(shù)列…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列，記為．若為偶數(shù)，證明：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”．絕密★本科目考試啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：A.2.已知，則（）．A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：C.3.求圓的圓心到的距離（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為，故選：C.4.的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（）A.15 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.【詳解】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，故所求即為.故選：B.5.已知向量，，則“”是“或”的（）條件．A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價(jià)于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因?yàn)?，可得，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：A.6.已知，，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以.故選：B.7.記水的質(zhì)量為，并且d越大，水質(zhì)量越好．若S不變，且，，則與的關(guān)系為（）A.B.C.若，則；若，則；D若，則；若，則；【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，討論與1的大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】由題意可得，解得，若，則，可得，即；若，則，可得；若，則，可得，即；結(jié)合選項(xiàng)可知C正確，ABD錯誤；故選：C.8.已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4，4，，，則該四棱錐的高為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取點(diǎn)作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面平面，可知平面，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖，底面為正方形，當(dāng)相鄰的棱長相等時(shí)，不妨設(shè)，分別取的中點(diǎn)，連接，則，且，平面，可知平面，且平面，所以平面平面，過作的垂線，垂足為，即，由平面平面，平面，所以平面，由題意可得：，則，即，則，可得，所以四棱錐的高為.當(dāng)相對的棱長相等時(shí)，不妨設(shè)，，因?yàn)椋藭r(shí)不能形成三角形，與題意不符，這樣情況不存在.故選：D.9.已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項(xiàng)AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故A正確，B錯誤；對于選項(xiàng)C：例如，則，可得，即，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：例如，則，可得，即，故D錯誤，故選：A.10.若集合表示的圖形中，兩點(diǎn)間最大距離為d、面積為S，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示圖形即為平面區(qū)域，結(jié)合圖形分析求解即可.【詳解】對任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值；陰影部分面積.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)________．【答案】【解析】【分析】形如的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由此即可得解.【詳解】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.12.已知，且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】首先得出，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.【詳解】由題意，從而，因?yàn)椋缘娜≈捣秶?，的取值范圍是，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值.故答案為：.13.已知雙曲線，則過且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為________．【答案】【解析】【分析】首先說明直線斜率存在，然后設(shè)出方程，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【詳解】聯(lián)立與，解得，這表明滿足題意的直線斜率一定存在，設(shè)所求直線斜率為，則過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，聯(lián)立，化簡并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：.14.已知三個(gè)圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個(gè)圓柱的直徑為65mm，第二、三個(gè)圓柱的直徑為325mm，第三個(gè)圓柱的高為230mm，求前兩個(gè)圓柱的高度分別為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.【詳解】設(shè)第一個(gè)圓柱的高為，第二個(gè)圓柱的高為，則，故，，故答案為：.15.已知，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，下列正確的是______.①，均為等差數(shù)列，則M中最多一個(gè)元素；②，均為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；③為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；④單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則M中最多一個(gè)元素.【答案】①③④【解析】【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無窮多個(gè)元素，故②錯誤.對于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故③正確.對于④，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在△ABC中，，A為鈍角，．（1）求；（2）從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積．①；②；③．注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.【解析】分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【小問1詳解】由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.【小問2詳解】選擇①，則，因?yàn)?，則為銳角，則，此時(shí)，不合題意，舍棄；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則17.已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點(diǎn)，．（1）若F是PE中點(diǎn)，證明：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為18.已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為萬元，前3次出險(xiǎn)每次賠付萬元，第4次賠付萬元賠償次數(shù)01234單數(shù)在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）（i）毛利潤是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤為，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降，已賠償過的增加．估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）(i)0.122萬元(ii)萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求.【小問1詳解】設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.【小問2詳解】（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元）19.已知橢圓方程C：，焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形，過的直線l與橢圓交于A，B，，連接AC交橢圓于D．（1）求橢圓方程和離心率；（2）若直線BD的斜率為0，求t．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，進(jìn)一步得，由此即可得解；（2）說明直線斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理有，而，令，即可得解.【小問1詳解】由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；【小問2詳解】顯然直線斜率存在，否則重合，直線斜率不存在與題意不符，同樣直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡并整理得，由題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，綜上所述，滿足題意，此時(shí)或.20.已知在處切線為l．（1）若切線l的斜率，求單調(diào)區(qū)間；（2）證明：切線l不經(jīng)過；（3）已知，，，，其中，切線l與y軸交于點(diǎn)B時(shí)．當(dāng)，符合條件的A的個(gè)數(shù)為？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明見解析（3）2【解析】【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；（2）寫出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；（3）分別寫出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】，切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設(shè)過，則在存在零點(diǎn).，在上單調(diào)遞增，，在無零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線不過.【小問3詳解】時(shí)，.，設(shè)與軸交點(diǎn)為，時(shí)，若，則此時(shí)與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個(gè)即有幾個(gè)零點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；因?yàn)?，，所以由零點(diǎn)存在性定理及