高中數(shù)學(xué)平面向量專題復(fù)習(xí)(含例題練習(xí))

1、專題八平面向量一、復(fù)習(xí)要求一.向量有關(guān)概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量 的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線 段，為什么？向量可以平移。如：2. 零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向 量的方向是任意的；3. 單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量與AB共線的單位向量是 AB ；|AB|4. 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量， 相等向量有傳遞性；5. 平行向量也叫共線向量：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a / b，規(guī)定零向量和任何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相

2、等； 兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè) 向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線 重合； 平行向量無傳遞性！因?yàn)橛? ; 三點(diǎn)A B、C共線AB、AC共線；6. 相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的 相反向量是一a。如以下命題：1假設(shè)a b，那么a b。 2兩個(gè)向量相等的 充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。3假設(shè)AB DC，那么 ABCD是平行四邊形。4假設(shè)ABCD是平行四邊形，那么AB DC。5假設(shè) a b,b c，那么 a c。6假設(shè) a/b, b/c，貝U allc。其 中正確的選項(xiàng)是二、向量的表示1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，

3、如 AB，注意起點(diǎn)在 前，終點(diǎn)在后；2. 符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如 a，b，c等;3. 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，那么平面內(nèi)的任一向量a可表示為a xi yj x, y，稱 x, y為向量a的坐標(biāo)，a =x, y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.平面向量的根本定理：如果ei和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共 線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)i 、2 ，使 a= iei+ 2 e2。女口1假設(shè) a i,ib i, i,c 1,2，那么 c2以下向量組中，能作為平

4、面內(nèi)所有向量基底的是&( i,2),&(5,7)A.ei (0,0), e； (i, 2) B.1 3C. G (3,5),e2 (6,i0) D. 8 (2, 3) (,)2 43丨 AD,BE分別是 ABC的邊BC,AC上的中線，且AD a,BE b ,那么bC可用向量a,b表示為4丨 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上， 且CD 2 DB，CD r AB sAC，貝U r s 的值是 _四. 實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量，記作 a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：i a | i|a, 2當(dāng)0時(shí)，a 的方向與a的方向相同，當(dāng) 0，且ab不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件；當(dāng) 為鈍角

5、時(shí)，a ? b v0,且a、b不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充分條件；非零向量a， b夾角 的計(jì)算公式：cosa?b|a?b| |a|b|。如1a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a與b的夾角為銳 角，貝U的取值范圍是2OFQ的面積為S，且OF FQ 1，假設(shè) f-1 3S，那么OF ,FQ夾角的取值范圍是2 2六. 向量的運(yùn)算：1 幾何運(yùn)算： 向量加法：利用“平行四邊形法那么進(jìn)行，但“平行四邊 形法那么只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法那么：設(shè)AB a,BC b，那么向量AC叫做a與b的 和，即 a b AB BC AC ； 向量的減法：用“三角形法那么：設(shè)

6、AB a, AC b,那么a b AB AC CA，由減向量的終點(diǎn)指向 被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如 化簡(jiǎn)： AB BC CD ； AB AD DC ； (AB CD) (AC BD) 2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a (x,yj,b (x2, y2)，那么: 向量的加減法運(yùn)算：a b (x1 x2， y y2)。女口1點(diǎn) A(2,3), B(5,4)，C(7,10)，假設(shè)AP AB AC( R)，那么當(dāng) =時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上2 A(2,3), B(1,4),且】AB (sin x,cosy)， x, y ()，2 2 2 那么x y 實(shí)數(shù)與向量的積：ax1,

7、y-!y1 0 假設(shè)A(X1, yj, B(X2, y2)，那么ABx?為山 ，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn) 坐標(biāo)。如彳-rI設(shè) A(2,3), B( 1,5)，且 AC 1 AB，AD 3AB，那么 C、D 的坐標(biāo)3分別是 _ _ 平面向量數(shù)量積：a?b %x2 y)y2。女口FF-向量 a =sinx，cosx, b =sinx，sinx，c =一31,0。 1假設(shè)x=，求向量a、c的夾角；2假設(shè)x 一，一，3 841函數(shù)f(x) a b的最大值為-，求 的值2 向量的模：|a| /x2 y2, a | a I2 x2 y2。如a,b均為單位向量，它們的夾角

8、為60，那么|a 3b | = 兩點(diǎn)間的距離：假設(shè)A %, yi , B X2, y2，那么| AB | . X Xi 2 y2 yi 2。七向量的運(yùn)算律：1.交換律:a bb a，aa， a?b b?a ；2 .結(jié)合律：a1-1b c1-a b1- 1-c, a1bc1-abc ，a ?ba?ba?b ；3 .分配律: aa1-a,1-ab1-ab ，a b ?ca?c b?co如以下命題中：a (bc)abac;a (bc)(ab) c ；(a b)2|a|22|a| |b|b|2 ;假設(shè)ab 0，那么a0或b0 ；假設(shè)r-rr -_223 b b 2 2a b c b,那么 a c ；

9、a a ;匸亍=;(a b)2 a b ;a a(a b)2 a 2a b b。其中正確的選項(xiàng)是 提醒：1向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì) 于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)， 兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向 量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；2 向量的“乘法不滿足結(jié)合律，即a(b?c) (a?b)c，為什么？ 八.向量平行(共線)的充要條件： a/b a b (a b)2 (| a |b |)2x1y2 y1x2 = 0。女口(1)假設(shè)向量a (x,1),b (4, x)，當(dāng)x =時(shí)a與b共線且方向相同 _2 a

10、(1,1),b (4,x)， u a 2b， v 2a b，且 u/v， 貝 U x =3設(shè) PA (k,12),PB(4,5), PC (10,k)，貝U k =時(shí)，A,B,C 共線_九.向量垂直的充要條件：a b a b 0 |a b| |a b |X1X2y2 0.特別地(ABC)GABiAC)。女口_ABIAC|ab|ac|(1) OA ( 1,2), OB (3,m)，假設(shè) OA OB，貝U m 2以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形 OABB 90，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是3n (a, b),向量n m，且n m，貝U m的坐標(biāo)是十.向量中一些常用的結(jié)論：1一個(gè)封閉圖形首尾連接

11、而成的向量和為零向量，要注 意運(yùn)用；_2|a| |b| |a b| |a| |b|，特別地，當(dāng) 2、b 同向或有0 |a b| |a| |b|a | |b| |a b| ; 當(dāng)a、b反 向 或 有0 |a b| |a| |b|a| |b| |a b| ;當(dāng) a、b 不共線|a | |b| |a b| |a| |b|(這些和實(shí)數(shù)比擬類似).3在 ABC 中，假設(shè) A xn y1 , B X2, y2 ,C X3, *，那么其重心的坐標(biāo)為G X1 X2 X3,y1 % %。如3 3假設(shè)/ ABC勺三邊的中點(diǎn)分別為2, 1、-3，4、-1，-1， 那么/ ABC勺重心的坐標(biāo)為 PG 3(PA PB

12、PC) G為 ABC的重心，特別地3PA PB PC 0 P為 ABC的重心； PA PB PB PC PC PA P 為 ABC 的垂心； 向量(Bd)(0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是|AB| |AC|BAC的角平分線所在直線);4向量PA、PB PC中三終點(diǎn) A B、C共線存在實(shí)數(shù)、 使得PA PB PC且1 .如平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)A(3,1), B( 1,3),假設(shè)點(diǎn)C滿足OC 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且121,那么點(diǎn)C的軌跡是四：同步練習(xí)2021年高考文科數(shù)學(xué)解析分類匯編：平面向量一、選擇題(x,1),b(1, 2),且 a b ,1 .2021年高考

13、重慶文丨設(shè)x R ,向量a那么 |a b|B10C. 2 5D. 10點(diǎn)P,Q滿足APAB, AQ (1BQ CP2,那么12A-B .333 . 2021年高考天津文在 ABC中C. 4D. 234 . 2021年高考四川文設(shè)a、b都是非零向量，以下四個(gè)條件中，使宣盒成立的充分條件是A . |a| |b|且a/b1B. abC . a/bD . a2b5 . 2021年高考遼寧文向量a =(1, 1),b = (2,x).假設(shè)a b=1,貝U x =A . 1B1C .-D.1226 . 2021年高考廣東文對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和 ，定義，假設(shè)平面向量a、b滿足|a|b 0 , a與b的

14、夾角0,且a b和b a都在集合 n n Z中,那么a b4 21 35A.丄B 1C. 3 D. 52 227 . 2021年高考廣東文向量假設(shè)向量 AB 1,2 , BC 3,4 ,貝UACA.4,6B.4, 6C.2, 2 D.2,29 . 2021年高考大綱文 ABC中,AB邊的高為CD ,假設(shè)CB a,CA b,ab 0,|a| 1,|b| 2,那么 AD1. 12- 23 34 4,A . - a bB . a bC . - a b D . - a b3 3335555二、填空題10 . 2021年高考浙江文在厶ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,貝Uab Ac =.12 . 2021 年高考課標(biāo)文向量a , b夾角為45,且I a |=1,| 2a b |=7i0,那么| b |=.14 . 2021年高考湖南文如圖4,在平行四邊形