22屈曲分析李立

1、第18章屈曲分析18.1 概述結(jié)構(gòu)失穩(wěn)(屈曲)是指在外力作用下結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)開始喪失，稍有擾動則變形迅速增大，最后使結(jié)構(gòu)破壞。穩(wěn)定問題一般分為兩類，第一類是理想化的情況，即達(dá)到某種荷載時,除結(jié)構(gòu)原來的平衡狀態(tài)存在外，可能出現(xiàn)第二個平衡狀態(tài)，所以又稱平衡分岔失穩(wěn)或分支點失穩(wěn)，而數(shù)學(xué)處理上是求解特征值問題，故又稱特征值屈曲。此類結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時相應(yīng)的荷載稱為屈曲荷載。第二類是結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時，變形將迅速增大，而不會出現(xiàn)新的變形形式，即平衡狀態(tài)不發(fā)生質(zhì)變，也稱極值點失穩(wěn)。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時相應(yīng)的荷載稱為極限荷載。此外，還有一種跳躍失穩(wěn)，當(dāng)荷載達(dá)到某值時，結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)發(fā)生一明顯的跳躍，突然過渡到非鄰近的另一具有較大位移的

2、平衡狀態(tài)。由于在跳躍時結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，其后的狀態(tài)不能被利用，所以可歸入第二類失穩(wěn)。SAP2000的屈曲分析工況(Buckling)是解決線性屈曲問題，屬于第一類失穩(wěn)，在分析過程中不考慮結(jié)構(gòu)的非線性屬性。對于非線性屈曲分析，在SAP2000中，可以通過定義非線性靜力分析工況來模擬。18.2 線性屈曲18.2.1 技術(shù)背景結(jié)構(gòu)的第一類穩(wěn)定問題，在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為廣義特征值問題。SAP2000也是通過對特征方程的求解，來確定結(jié)構(gòu)屈曲時的極限荷載和破壞形態(tài)。程序的屈曲特征方程為：KG(r)甲0(18.1)式中K為剛度矩陣，G(r)為荷載向量r作用下的幾何(P-A)剛度，入為特征值對角矩陣，W為對應(yīng)的特征向量

3、矩陣。求解特征方程，得到特征值和對應(yīng)的特征向量，用以確定屈曲荷載和對應(yīng)的變形形態(tài)。每一組“特征值一特征向量”稱為結(jié)構(gòu)的一個屈曲模式，程序按照找到這些模式的順序從數(shù)字1到n為各模式命名。特征值入稱為屈曲因子。在給定模式中，它必須乘以r中的荷載才能引起屈曲。即屈曲荷載為屈曲因子與給定荷載的乘積。有時，也可以將入視為安全系數(shù)：如果屈曲因子大于1,給定的荷載必須增大以引起屈曲；如果它小于1,給定荷載必須減小以防止屈曲。當(dāng)然，屈曲因子也可以為負(fù)值，這說明當(dāng)荷載反向時會發(fā)生屈曲。SAP2000可以生成任意數(shù)量且對應(yīng)不同荷載形式的屈曲分析工況，每個工況可以定義需要的屈曲模式數(shù)量，工程師可以對自己所關(guān)心的荷載

4、清楚地計算屈曲，從而了解基于荷載的屈曲模式。18.2.2 定義屈曲分析工況SAP2000中進(jìn)行屈曲分析的基本步驟是：定義用于屈曲分析的荷載工況；在分析模型中建立荷載作用；定義屈曲分析工況；運(yùn)行分析；查看結(jié)果，得到各個屈曲模態(tài)的解。首先定義用于屈曲分析的荷載工況，然后點擊命令定義分析工況，在彈出的對話框中點擊添加新工況按鈕，彈出分析工況數(shù)據(jù)對話框。在分析工況類型中選擇Buckling,出現(xiàn)關(guān)于屈曲分析工況數(shù)據(jù)的對話框（圖18-1）。圖18-1屈曲分析工況數(shù)據(jù)對話框“使用的剛度”一欄，用于定義屈曲分析開始時的初始狀態(tài)。默認(rèn)情況下程序會采用整個結(jié)構(gòu)在無應(yīng)力狀態(tài)下的剛度矩陣。也可以選擇采用某個非線性分

5、析工況結(jié)束時的結(jié)構(gòu)剛度?！笆┘拥暮奢d”一欄，用于定義形成特征方程中荷載向量r的荷載形式。這里的荷載可以是一個荷載工況或加速度，也可以是幾個荷載工況和/或加速度的線性組合。“其他參數(shù)”一欄，用于定義計算需要的屈曲模態(tài)數(shù)量和收斂容差。因為前幾個屈曲模態(tài)可能有非常小的屈曲因子，所以一般需要尋找超過一個的屈曲模態(tài)，建議最少找到六個。完成上述參數(shù)的設(shè)置后，點擊確定，即完成一個屈曲分析工況的設(shè)定。重復(fù)這些操作，可以生成任意數(shù)量的屈曲分析工況，從而可以對多種荷載作用形式下的結(jié)構(gòu)的屈曲模式分別進(jìn)行分析。18.2.3 屈曲分析結(jié)果顯示屈曲分析的結(jié)果輸出主要有兩種方式：圖形顯示和表格顯示。運(yùn)行分析后，點擊命令顯示

6、顯示變形形狀，在彈出的對話框（圖18-2）中選擇需要查看的屈曲工況名稱，輸入屈曲模態(tài)數(shù)，點擊確定，視窗中即顯示相應(yīng)的屈曲變形，并且在視窗標(biāo)題欄中顯示相應(yīng)的屈曲因子大小。另外，也可以以表格的形式輸出屈曲分析結(jié)果。點擊命令顯示顯示表格，在彈出的對話框（圖18-3）中勾選結(jié)構(gòu)輸出>OtherOutputItems>BucklingFactors，點擊確定，即生成包含所有屈曲因子的表格（圖18-4）。圖18-3定義屈曲分析結(jié)果表格輸出OvtiputCaro1ent5t-pTyp號1ewtStepNumDnitilenUmrlFs.卜BUCklWk由1225Z幅喘auckiMl*22096.

7、556637BUCt.1Mede3NMI.2U；LDUCK1Mede49M5.-12S120UCKIWwfe51亞里aIEBiirtik914=9(MA記錄:EHT1|卜|15I完成圖18-4表格輸出屈曲分析結(jié)果18.2.4 例題下面以兩個例子來簡要說明SAP2000的屈曲分析工況的運(yùn)用。前面已詳細(xì)介紹了實現(xiàn)方法，這里不再贅述，盡量用圖片來闡明?！纠}18.1如圖10-20所示，求解H型鋼柱在軸力作用下的屈曲模式及屈曲荷載的大小。1）為了更清晰地觀察鋼柱的屈曲變形，采用殼單元來模擬H型鋼（圖18-5左）。2）定義施加軸力（屈曲荷載）的荷載工況（命名為AXIAL）。采用表面壓力來施加鋼柱的軸向荷

8、載，本例中是在柱頂殼面的面3位置施加均布的表面壓力，大小為1N/mm2（圖18-5右）。3）定義靜力非線性工況DEAD,添加自重作用并考慮P-效應(yīng)。然后，定義屈曲分析工況Buck1（圖18-6）,初始剛度來自DEAD工況。運(yùn)行分析。圖18-5H型鋼柱模型圖18-6定義屈曲工況4）查看結(jié)果。從顯示的屈曲變形（圖18-7）可以看出，第一屈曲模式（圖18-7左上）是弱軸方向側(cè)移的整體失穩(wěn)，第二屈曲模式是由柱頂轉(zhuǎn)動引起的扭轉(zhuǎn)（圖18-7右上），第三屈曲模式是強(qiáng)軸方向側(cè)移的整體失穩(wěn)（圖18-7左上），第四屈曲模式是柱頂幾個角點的局部失穩(wěn)而引起的變形（圖18-7左下）。從表格輸出的結(jié)果（圖18-8）可以知

9、道，最小屈曲因子約為241,即柱頂均布壓力的屈曲荷載為1X241=241N/mm2。圖18-7第1第4屈曲模式Hncirlin®Factors文件如視圖®選項坦）格式處UfiilscAcNoted19u&klingFOutputCjtoTevlStopTypoTcrfStcpNunnillcisAXIAL1RJ5771取AL2439C113MAXIALMoA3762.5968+2郵JALMg山4引甌FAXIAIMnrfe5in?F后4哂AKIALMg山G131,07497記豪四4|1上囪出6二元或!圖18-8屈曲因子表【例題18.2】平面鋼架的屈曲分析。如圖18-9

10、所示結(jié)構(gòu)，其反對稱失穩(wěn)和對稱失穩(wěn)的2.1040EI-14.6602EI理論屈曲何載為p2,P22。對比SAP2000的計算結(jié)果。l2l21）SAP2000模型中鋼架的物理參數(shù)為E=2.0X105N/mm2,I=4.9X106mm4,L=6m。其理論屈曲荷載為：2.1040EIl257.27kN14.6602EIP2P2）SAP2000模型399.08kN（圖18-10左）中P=1kN,計算結(jié)果如圖18-10右邊所示。第一屈曲模式為反對稱失穩(wěn)（圖18-10右上），屈曲因子為57.6376,第二屈曲模式為對稱失穩(wěn)（圖18-10右下），屈曲因子為401.9922。因此，P1=57.6376kN,P2

11、=401.9922kN。SAP2000的計算結(jié)果與理論解十分接近，第二屈曲模2III»-1-bTLT圖18-9平面鋼架結(jié)構(gòu)簡圖式的結(jié)果誤差稍大一些，但也不超過1%。在建模過程中，鋼架單元的細(xì)分程度對計算結(jié)果影響較大，當(dāng)然分得越細(xì)越真實，但計算耗時也越長，對于復(fù)雜模型需要綜合兩個因素合理選擇單元細(xì)分程度。圖18-10平面鋼架模型及其屈曲模式18.3非線性屈曲18.3.1 技術(shù)背景第二類穩(wěn)定問題，在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為一個非線性方程的求解。通常是把結(jié)構(gòu)的臨界荷載分成若干級荷載增量。就某一級加載而言，荷載-變形曲線中的相應(yīng)部分可近似地認(rèn)為是直線。于是一個總體表現(xiàn)為非線性的過程可以按若干個小的線性過

12、程的迭加來處理，并且在每個增量步對應(yīng)的線性過程中計入該過程開始時的全部軸向力影響和應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系，這種線性化處理的結(jié)果也能很好地逼近原來的非線性過程。實際上，工程結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題多數(shù)屬于第二類，因為實際工程中的構(gòu)件不可避免地存在“初始缺陷”，結(jié)構(gòu)的幾何非線性和材料非線性對穩(wěn)定分析的影響也是客觀存在的。第一類穩(wěn)定問題不考慮這些因素對臨界荷載的影響，只是將給定荷載放大入倍，然后將其形成的結(jié)構(gòu)幾何剛度“一步到位”地迭加到結(jié)構(gòu)總剛中，去檢查它的“隨遇平衡”狀態(tài)，因而不可能考慮加載過程中的非線性效應(yīng)。不過，由于第一類穩(wěn)定問題的力學(xué)情況比較簡單明確，在數(shù)學(xué)上作為矩陣特征值問題也比較容易處理，而且它的臨界荷載

13、可近似代表相應(yīng)的第二類穩(wěn)定問題的上限，所以第一類穩(wěn)定問題在理論分析中仍占有重要地位。SAP2000中通過定義非線性靜力分析工況來處理非線性穩(wěn)定問題。其中，幾何非線性包括考慮P-效應(yīng)和大位移，材料非線性需要指定相應(yīng)的非線性較行為來模擬，如果模型中還含有其它非線性連接單元，其非線性屬性也會被考慮。當(dāng)然，限于相關(guān)理論和計算方法的發(fā)展，目前SAP2000對非線性穩(wěn)定問題的求解還存在一定的局限性。其一，目前程序還不能考慮殼的非線性，較指定僅限于框架單元。其二，桿件出現(xiàn)塑性較的位置需提前指定。因此，建議工程師首先進(jìn)行一個相同荷載的線性分析，了解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布，再根據(jù)單元的截面情況進(jìn)行非線性較指定。其三，默

14、認(rèn)的錢屬性都是基于國外規(guī)范，我國規(guī)范對此還沒有明確的規(guī)定。因此如果需要精確分析，必須基于大量的試驗數(shù)據(jù)來判定桿件的力學(xué)行為。在SAP2000的新版本中，將陸續(xù)完善上述問題，增加分層非線性殼單元、框架和剪力墻的纖維較自動生成等功能。關(guān)于材料非線性的詳細(xì)討論可參見后續(xù)相關(guān)章節(jié)，本節(jié)主要針對考慮幾何非線性的屈曲問題進(jìn)行討論。對于幾何非線性的屈曲問題，“屈曲因子”的概念不再適用，應(yīng)通過其它方法來判斷是否達(dá)到臨界荷載。比如觀察結(jié)構(gòu)變形的趨勢，或者觀察與外荷載相平衡的基底反力的變化規(guī)律，還可以通過荷載一位移曲線的形狀來判斷。下面，以一個三錢拱的例子來說明如何利用SAP2000來處理幾何非線性問題。18.3

15、.2 三較拱非線性屈曲分析算例【例題18.3】三校拱受到集中力的作用，模型如圖18-11所示，半徑R等于3米，張角2a為120°。1）利用柱坐標(biāo)系統(tǒng)建立模型，兩端約束設(shè)為校接，并將拱頂?shù)膹澗蒯尫?。定義名為p的荷載圖18-11三校拱模型面模型，所以在運(yùn)行分析前，應(yīng)在分析選項中指定相應(yīng)的有效自由度。圖18-12集中力荷載工況定義工況（圖18-12）,并將該荷載工況下的單位集中力施加于拱頂（圖18-13）。另外，該算例為一平圖18-13承受集中力的三校拱模型2）定義屈曲分析工況（圖18-14）。運(yùn)行屈曲分析工況的目的，是了解該三校拱線性屈曲的臨界荷載值的大小，有助于評估非線性屈曲分析的臨界

16、荷載值。計算結(jié)果表明，線性屈曲臨界荷載約為18300kN（圖18-15）。圖18-14定義屈曲分析工況OutputCaTeText5tepTp時TextStepNumUnitiesScaleFacJorUnities*_L_EUCK1Mode118299.04515EUCK1Mode222650.49392BUCK1Mode73824.747FUCK1Mede473824.747EUCK1Mode5123579.9335BUCK1Mode6123967.05113）定義靜力非線性分析工況，計算三校拱在集中荷載作用時的大變形。點擊命令定義分析工況，在彈出的對話框中，分析工況類型選擇“Static

17、"，分析類型為“非線性”，施加的荷載一欄仍然選擇荷載工況“p”，比例系數(shù)是對荷載值的調(diào)整，此處取一個較大的值20000。點擊非線性參數(shù)按鈕，勾選“P-和大位移”選項，即在運(yùn)算過程中考慮幾何非線性的影響。注意，SAP2000的大位移是指結(jié)構(gòu)發(fā)生大的變形（平動或轉(zhuǎn)動），但此時程序仍然假定所有的單元發(fā)生小應(yīng)變。因此，在建立模型時，對所有桿件都進(jìn)行了進(jìn)一步的剖分，保證每一單元內(nèi)的相對轉(zhuǎn)動較小。圖18-16定義靜力非線性工況本例中，定義了兩個靜力非線性工況NLSTAT1和NLSTAT2,分別采用荷載控制和位移控制兩種方式來施加荷載（圖8-17）。分析完成后，點擊命令顯示顯示繪圖函數(shù)，可以根據(jù)需

18、要生成曲線。這里定義橫軸為拱頂?shù)奈灰疲ü绊斘灰蒲?Z軸，故值為負(fù)），縱軸為Z方向的基底反力，由于基底反力與施加的集中荷載值平衡，故以此來間接反映集中荷載的變化。從而得到這兩個工況下的荷載一位移曲線。圖18-18給出NLSTAT1工況下的荷載一位移曲線，可以看到隨著荷載的增大，拱頂位移增加（注意：位移值為負(fù)代表位移方向與Z軸正向相反），當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲時，其剛度矩陣出現(xiàn)奇異，計算結(jié)果不再收斂，此時荷載一位移曲線幾乎平行于橫軸，即荷載不再增加而位移無限增大。圖中集中荷載的最大值為6245kNo圖18-19給出NLSTAT2工況下的荷載一位移曲線。在初始階段荷載值隨著拱頂位移的增大而增大，當(dāng)荷載增大到一定程度時，進(jìn)一步加大位移，荷載值反而減小并出現(xiàn)反號的情況。這表明此時結(jié)構(gòu)需要施加反