高等數(shù)學3.4曲線凹凸及拐點ppt課件

1、高高 等等 數(shù)數(shù) 學學主講人主講人 宋從芝宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術學院河北工業(yè)職業(yè)技術學院復復 習習定理定理2 2極值斷定定理一極值斷定定理一 00fx ，當當x x0 x x0 x x0時，時， ， 0fx 0fx 當當x x0 x x0 x x0時，時， ， 0fx 0fx 在在x0 x0兩側，兩側， 不變號，那么不變號，那么f (x0)f (x0)不是不是函數(shù)的函數(shù)的 fx 可導，且可導，且 假設假設 設函數(shù)設函數(shù) f (x) f (x)在點在點x0 x0近旁近旁 那么那么f (x0)f (x0)是函數(shù)的極大值；是函數(shù)的極大值； 那么那么f (x0)f (x0)是函數(shù)的極小值；是函數(shù)的極小

2、值； 極值。極值。能夠的極值點能夠的極值點x0 x0 ：0(2)()fx 若若不不存存在在。0(1)() =fx 若若0 0；駐點駐點不可導點不可導點 斷定函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：斷定函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟： 求定義域； 求出一階導，找到能夠的極值點；求出一階導，找到能夠的極值點； 列表討論列表討論: :用極值的斷定定理一用極值的斷定定理一, ,斷定子區(qū)間斷定子區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，檢查能夠的極值點兩側單調(diào)性的變化：內(nèi)的單調(diào)性，檢查能夠的極值點兩側單調(diào)性的變化： 假設由增變減，那么是極大值；假設由增變減，那么是極大值； 假設由減變增，那么是極小值。假設由減變增，那么是極小值。 假設兩側單調(diào)性不變

3、，那么不是極值。假設兩側單調(diào)性不變，那么不是極值。曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義曲線凹凸的斷定定理曲線凹凸的斷定定理曲線的凹凸及拐點的求法曲線的凹凸及拐點的求法極值斷定定理二極值斷定定理二3.4 3.4 曲線的凹凸及拐點曲線的凹凸及拐點問題問題: :xyo)(xfy abxyo)(xfy ab凸凸凹凹一一. 曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義問題問題: :曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向? ?)(xfy xyo)(xfy ab曲線在其上恣意點切線的上方曲線在其上恣意點切線的上方曲線在其上恣意點切線的下方曲線在其上恣意點切線的下方xyoab凸凸凹凹定義定義 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)，假設曲線位于其

4、恣意一點處內(nèi)，假設曲線位于其恣意一點處的切線的上方，那么曲線在的切線的上方，那么曲線在(a,b)(a,b)內(nèi)是凹的；內(nèi)是凹的； 假設曲線位于其恣意一點的切線的下方，假設曲線位于其恣意一點的切線的下方，那么曲線在那么曲線在(a,b)(a,b)內(nèi)是凸的。內(nèi)是凸的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB凹abBA0 y凸0 y當自變量當自變量 x x 增大時增大時如下圖，凹形的弧段如下圖，凹形的弧段切線斜率是遞增的切線斜率是遞增的切線傾斜角變大切線傾斜角變大導數(shù)遞增導數(shù)遞增導數(shù)的導數(shù)導數(shù)的導數(shù)00二階導數(shù)二階導數(shù)00二二. 曲線凹凸的斷定定理曲線凹凸的斷定定理設函數(shù)設函數(shù) f(x) f(x)在

5、區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)，內(nèi)具有二階導數(shù)，假設假設(a,b)(a,b)在內(nèi)，在內(nèi)， ，那么曲線，那么曲線y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b) 0fx 定理定理 假設在假設在(a,b)(a,b)內(nèi)，內(nèi)， ，那么曲線，那么曲線y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b) 0fx 內(nèi)是凹的；內(nèi)是凹的；內(nèi)是凸的。內(nèi)是凸的。雨水法那么雨水法那么例例1 1的凹凸性。的凹凸性。判斷曲線判斷曲線3xy 解解,32xy ,6xy 時時，當當0 x, 0 y）為凸的；）為凸的；在（在（則曲線則曲線0 , 時時，當當0 x, 0 y.)0 , 0(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由

6、凸變凹的分界點點留意留意 ）定定義義域域（ ,）為凹的；）為凹的；在（在（則曲線則曲線, 00y 令令，0 x 解解得得。三三. 曲線的凹凸及拐點的求法曲線的凹凸及拐點的求法定義定義能夠的拐點能夠的拐點 (x , y) (x , y) ：0(2)()fx 若若不不存存在在。延續(xù)曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的延續(xù)曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的0(1)() =fx 若若0 0；拐點。拐點。 斷定曲線的凹凸及拐點的步驟：斷定曲線的凹凸及拐點的步驟： 求定義域； 求出一階、二階導數(shù)，找到能夠的拐點；求出一階、二階導數(shù)，找到能夠的拐點； 列表討論列表討論: :用用“雨水法那么斷定子區(qū)間內(nèi)的雨

7、水法那么斷定子區(qū)間內(nèi)的凹凹凸，檢查能夠的拐點左右近旁的符號：凸，檢查能夠的拐點左右近旁的符號： 假設變號，那么是曲線的拐點；假設變號，那么是曲線的拐點； 假設不變號，那么不是曲線的拐點。假設不變號，那么不是曲線的拐點。例例2 2 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間和拐點。的凹凸區(qū)間和拐點。 32693f xxxx 定義域為定義域為(-,+) fx 解解 0fx 令令，2x 解解得得。2x 用用將將定定義義域域分分區(qū)區(qū)間間，列列表表 fx 拐點拐點2，-1x fx f x ,2 2 2, 023129xx 612x 練習練習 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間和拐點。的凹凸區(qū)間和拐點。 4265f xxx 定義域為

8、定義域為(-,+) 3412fxxx 解解 0fx 令令，121,1xx 解解得得。121,1xx 用用將將定定義義域域分分區(qū)區(qū)間間，列列表表 21212fxx 拐點拐點-1,0拐點拐點1,0 x fx f x , 1 1 1,1 1 1, 0012(1)(1)xx 例例3 3 斷定曲線斷定曲線 的凹凸性。的凹凸性。1yx 定義域為定義域為(-,0)(0,+)y 解解10yx 由由于于在在點點 處處無無定定義義，y 時時，當當0 x, 0 y,0 則則曲曲線線在在（）為為凸凸的的；）為為凹凹的的；在在（則則曲曲線線 , 0時時，當當0 x, 0 y所所以以曲曲線線無無拐拐點點。21x 2x 3

9、2 x 32x 定理定理3 3極值斷定定理二極值斷定定理二 假設假設 ，那么，那么f (x0)f (x0)是函數(shù)的極小是函數(shù)的極小值；值； 00fx 假設假設 ，定理，定理3 3不能斷定不能斷定 f (x0) f (x0)能能否為否為 00fx 設函數(shù)設函數(shù) f (x) f (x)在點在點x0 x0處處存存假設假設 ，那么，那么f (x0)f (x0)是函數(shù)的極大是函數(shù)的極大值；值； 00fx 留意：留意： 00fx 00fx 在二階導數(shù)，且在二階導數(shù)，且 ，但，但 ：極值，需求用定理極值，需求用定理2 2斷定。斷定。四四. 極值斷定定理二極值斷定定理二例例3 3 求函數(shù)求函數(shù) 在在 內(nèi)的極值。內(nèi)的極值。解解 sincosf xxx cossin ,fxxx sincosfxxx 1,4x 254x 0,2 由由 ，即，即 ， 0fx cossin0 xx 在在 內(nèi)的駐點內(nèi)的駐點 0,2 sincos444f 0 0 555sincos444f 2 ,4f 那么極大值那么極大值為為 524f 。那么極小值為那么極小值為練習練習 求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸性的單