高中函數(shù)與集合知識點歸納

1、集合與函數(shù)基本性質知識點匯總整理者:陳老師、集合）集合的有關概念1. 關于集合的元素的特征（1）元素的確定性：（2）元素的互異性：（3）元素的無序性2. 元素與集合的關系；屬于aA，不屬于aA二）集合的表示方法：列舉法；描述法；圖示法；符號簡記法。三）集合的基本關系：1、集合與集合之間的“包含”關系；2、集合與集合之間的“相等”關系；AB且BA,則A即AB3、真子集的概念B中的元素是一樣的，因此ABBA4、空集的概念：不含有任何元素的集合稱為空集，記作：規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。5、結論:1)、OAAAB，且BC，則AC2）、點集與數(shù)集的交集是(例：A=(x,y)|y

2、=x+1B=yy=x2+1則AAB=)般地，含n（n豐0）個元素的集合a1,a2,an的所有子集的個數(shù)是2n，所有真子集的個數(shù)是2n-1，非空真子集的個數(shù)為2n2+四）集合的基本運算1.并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,記作：AUB；AUB=x|xA，或xBVenn圖表示：稱為集合A與B的并集2.交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集(intersection)。記作：CuA；CuA=x|xU且有全集的限制補集的Venn圖表示xA說明：補集的概念必須要4.集合基本運算的一些結論：交集：AABA,AABB,AAA=A,AAAAB

3、=BAA并集：AAUB,BAUB,AUA=A,AU記作：AAB；AAB=x|A，且xB交集的Venn圖表示3. 補集：全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集（Universe）,通常記作U。補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集（complementaryset），簡稱為集合A的補集，AUB=BUA補集(CuA)UA=U,若AAB=A，貝UAE若x(AAB)，貝Ux6.摩根定律：(AAB)U(AUB)AC:二、函數(shù)相關概念和性質：(CuA)AA=J，反之也成立若AUB=B，則AB，

4、反之也成立A且xB若x(AUB),貝UxA，或xBC=(AUC)A(AUC)=(AAC)U(AAC)1、函數(shù)概念、解析式、分段函數(shù)、復合函數(shù)概念:1) 映射2) 函數(shù)3) 函數(shù)的表示列表法：用表格的形式表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法，稱為列表法.圖象法：用圖象把兩個變量間的函數(shù)關系表示出來的方法，稱為圖象法.解析法：一個函數(shù)的對應關系可以用自變量的解析式表示出來，這種方法稱為解析法.4) 分段函數(shù)(1) 分段函數(shù)的定義：在定義域的不同部分，有不同對應法則的函數(shù)稱為分段函數(shù).(2) 分段函數(shù)的定義域和值域：分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集.5) 復合函數(shù)：若y是u的函數(shù)

5、，u又是x的函數(shù)，即yf(u),ug(x),x(a,b),u(m,n)，那么y關于u的取值范圍是g(x)的值域。axb，求得g(x)的范ag(x)b，求得x的范F(x)af2(x)bf(x)cx的函數(shù)yff(x),x(a,b)，叫做f和g的復合函數(shù)，u叫做中間變量,2、函數(shù)定義域：(1) 確定函數(shù)定義域的原則(四條)(2) 復合函數(shù)定義域的求法： 若已知fg(x)的定義域為x(a,b)，求f(x)的定義域，其方法是：利用圍，此即f(x)的定義域。 若已知f(x)的定義域為x(a,b)，求fg(x)的定義域，其方法是：利用圍，此即fg(x)的定義域3、函數(shù)值域求解方法：一、直接法：從自變量x的范

6、圍出發(fā)，推出yf(x)的取值范圍。、配方法(二次函數(shù)法)：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法三、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。四、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以用反函數(shù)法。五、換元法：運用代數(shù)代換，獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如yaxb.cxd(a、b、c、d均為常數(shù)，且a0)的函數(shù)常用此法求解。六、判別式法：把函數(shù)轉化成關于x的二次方程F(x,y)0;通過方程有實數(shù)根，判別式0,從而求得原函數(shù)的值域，形如

7、aiX2bxG2(a1、a2xpxc2a2不同時為零)的函數(shù)的值域，常用此方法求解。七、函數(shù)的單調性法：確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性，求出函數(shù)的值域。八、利用函數(shù)的導數(shù)求最值：當一個函數(shù)在定義域上可導時，可據(jù)其導數(shù)求最值。九、利用重要的不等式：基本不等式求值域。十、圖像法(數(shù)形結合法)：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。注：求函數(shù)的值域沒有通性解法，只有根據(jù)函數(shù)解析式的結構特征來確定相應的解法。但不論哪種方法，都應遵循一個原則：定義域優(yōu)先的原則。4、反函數(shù):11) 反函數(shù)的定義：yf(x)2) 原函數(shù)與反函數(shù)

8、有兩個“交叉關系”：自變量與因變量、定義域與值域.求一個函數(shù)的反函數(shù)，分三步：逆解、交換、定域(確定原函數(shù)的值域，并作為反函數(shù)的定義域)注意：f(a)bf1(b)a,ff1(x)x,ff(x)x，但ff1(x)ff(x).函數(shù)yf(x1)的反函數(shù)是yf1(x)1，而不是yf1(x1).4、函數(shù)的單調性：1) 定義；特征：增(減)函數(shù)的y值，隨自變量x值的增大而增大(減小)，即從左邊往右邊看增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)圖象是下降的.2) 若函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，這一區(qū)間叫做函數(shù)yf(x)的單調區(qū)間此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單

9、調函數(shù).3) 判斷證明函數(shù)單調性的一般步驟是：設X1，X2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且X1<X2;作差f(xjf(X2)，并將此差式變形(要注意變形的程度)；判斷f(X1)f(X2)的正負(要注意說理的充分性)；根據(jù)f(X1)f(X2)的符號確定其增減性4) 復合函數(shù)單調性的判斷對于函數(shù)yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在區(qū)間(a,b)上是具有單調性，當x(a,b)時，u(m,n)，且yf(u)在區(qū)間(m,n)上也具有單調性，則復合函數(shù)yf(g(x)在區(qū)間(a,b)具有單調性的規(guī)律見下表：yf(u)增/減ug(x)增/減增/減yf(g(x)增/減減增/以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，

10、異向得減”或“同增異減”5、函數(shù)奇偶性：1、定義：如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意f(x)定義域內(nèi)的任意X都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù);X都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性如果函數(shù)同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)。注意：O函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個X，則X也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關于原點對稱)。(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定

11、函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱; 確定f(X)與f(x)的關系； 作出相應結論：若f(X)=f(x)或f(x)f(x)=0，貝Uf(x)是偶函數(shù)；若f(X)=f(x)或f(X)+f(x)=0,貝yf(x)是奇函數(shù)。2、函數(shù)奇偶性的幾個性質：(1) 奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱；(2) 奇偶性是函數(shù)的整體性質，對定義域內(nèi)任意一個X都必須成立；(3) f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)是奇函數(shù)；(4圖象的對稱性質：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；設f(x)，

12、g(x)的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇(5)根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。注：任何函數(shù)均可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和，即：F(x)g(x)h(x),其中g(x)為奇函數(shù)，h(x)為偶函數(shù)h(x)F(X)2F(X),g(x)F(X)/(X)6、周期性(1) 定義：如果存在使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x+T)=f(x)的非零常數(shù)T,則稱f(x)為周期函數(shù);(2) 性質： f(x+T)=f(x)常常寫作f(x夕)f(x£),若f(x)的周期中，存在一個

13、最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數(shù)f(x)的周期為T,則f(3x)(3工0)是周期函數(shù)，且周期為。II7、最值(1) 定義：最大值：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有f(x)wM; 存在x°I，使得f(xo)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有f(x)>M;存在xoI，使得f(xo)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。注意：函數(shù)最大(小)首先應該是某一個函數(shù)值，即存在xoI，使得f(xo)=M;函數(shù)最大(小)應該

14、是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xI，都有f(x)WM(f(x)>M)。(2) 利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)值； 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值；y=f(x)在x=b處有最大值f(b);y=f(x)在x=b處有最小值f(b); 禾U用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調遞增，在區(qū)間b,c上單調遞減則函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調遞減，在區(qū)間b,c上單調遞增則函數(shù)、函數(shù)的分類正比例函數(shù)，一次函數(shù)初中反比例函數(shù)二次函數(shù)初始函數(shù)冪函數(shù)亠+指數(shù)函數(shù)咼中對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)函數(shù)分類函

15、數(shù)四則運算構造函數(shù)函數(shù)的復合運算對稱變換函數(shù)的圖象變換平移變換伸縮變換1函數(shù)的單調性(1)設花X2a,b,X!X2那么(X1X2)f(xjf(X2)0f(X1)f(X2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；x1x2(X1X2)f(X1)f(X2)0丄一0f(x)在a,b上是減函數(shù)X1X2設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x)0,貝Uf(x)為增函數(shù)；如果f(x)0,貝Uf(x)為減函數(shù)注：如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù)，則復合函數(shù)yfg(x)是增函數(shù).2.奇偶函數(shù)的圖象特征奇

16、函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱,那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于注：若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，貝Uf(xf(xa)f(xa).注：對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).a)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(bx)恒成立，則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)xab兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關于直線x對稱.2a注：若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關于點(一,0)對稱；若f(x)f(xa),則函數(shù)2yf(x)為周期為2a的周期函數(shù)3.多項式函數(shù)P(x)anXnanixn

17、1Lao的奇偶性多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性(1)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).(2)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xab對稱f(a2mx)f(bmx)f(abmx)f(mx).4. 兩個函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x0(即y軸)對稱函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關于直線x-對稱.2m1函數(shù)yf(x)和yf(x)的圖象關于直線y=x對稱.25若將函數(shù)yf(x)的

18、圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.5. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系1f(a)bf(b)a."1ii27若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為yf(x)b,并不是yf(kxb),而函k11數(shù)yf(kxb)是yf(x)b的反函數(shù).k6. 幾個常見的函數(shù)方程(1) 正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.0.1(a0,a1).y)f(x)f(y)g(x)g(y),(2) 指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a(3) 對數(shù)函數(shù)f(x)l

19、ogax,f(xy)f(x)f(y),f(a)幕函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx,f(xg(x)f(0)1,Hm01.7. 幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)(1) f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a;(2) f(x)f(xa)0,1或f(xa)(f(x)0),f(x)1或f(xa)(f(x)0),f(x)1 廠或一f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a;f(xa)則f(x)的周期f(x,X2)半沖半斗且f(a)1(f(xJf(X2)1,0|x,X2I2a),1f(Xjf(X2)T=4a；(5) f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6) f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.8. 分數(shù)指數(shù)幕(1)a0,m,nN，且n1)1m(a0,m,nN，且n1)an9. 根式的性