降落傘選擇的數(shù)學(xué)模型

1、tnii學(xué)朮友叢網(wǎng)論文發(fā)表專家一l降落傘選擇的數(shù)學(xué)模型摘要本文建立了一個(gè)關(guān)于對(duì)降落傘選擇使得費(fèi)用最節(jié)省的模型。根據(jù)降落傘傘面的大小、材質(zhì)、所懸掛重物的質(zhì)量與降落傘下落速度之間的關(guān)系，建立在空氣阻力作用下物體降落的模型，運(yùn)用最小二乘法擬合出阻力系數(shù)。利用高度與時(shí)間的關(guān)系式，計(jì)算出不同半徑的降落傘的最大載重量。關(guān)鍵詞空氣阻力系數(shù)；線性規(guī)劃；matlab數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)知識(shí)、實(shí)際問題與計(jì)算機(jī)應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，旨在提高學(xué)生的綜合素質(zhì)與分析問題、解決問題的能力。對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的原型，為了某個(gè)特定目的，作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)、式子與圖象）模

2、擬現(xiàn)實(shí)的模型。把現(xiàn)實(shí)模型抽象、簡(jiǎn)化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。本文建立了一個(gè)關(guān)于對(duì)降落傘選擇使得費(fèi)用最節(jié)省，最優(yōu)化的模型。根據(jù)降落傘傘面的大小、材質(zhì)、所懸掛重物的質(zhì)量與降落傘下落速度之間的關(guān)系，建立在空氣阻力作用下物體降落的物理模型，并對(duì)其進(jìn)行有效分析。運(yùn)用線性最小二乘法，擬合出空氣的阻力系數(shù)。利用高度h與時(shí)間t的關(guān)系式，計(jì)算出不同半徑的降落傘的最大載重量。1問題引出為向?yàn)?zāi)區(qū)空投一批共2000kg的救災(zāi)物資，需選購(gòu)一些降落傘，匸交發(fā)表專家一LB國(guó)學(xué)朮發(fā)叢網(wǎng)空投高度為500m其落地時(shí)的速度不能超過(guò)20m每秒，傘面為半徑為r的半球面，用每根長(zhǎng)I共16根繩索連接的重物m位于球心正下方球面處，

3、如圖：每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成：傘面費(fèi)用由傘的半徑r決定，繩索費(fèi)用由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)4元每米決定，固定費(fèi)用為200元；降落傘在降落過(guò)程中除受到重力外，受到空氣的阻力，可認(rèn)為與降落的速度和傘的面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m載重m=300kg的降落傘以500m高度作試驗(yàn)，測(cè)得各時(shí)刻t的高度x,試確定共需多少個(gè)傘，每個(gè)傘的半徑多大（在給定半徑的傘中選），在滿足空投要求的條件下，使總費(fèi)用最低。我們要考慮降落傘傘面的大小、材質(zhì)，所懸掛重物的質(zhì)量與降落傘下落速度之間的關(guān)系，因?yàn)榻德鋫阆陆颠^(guò)程是一個(gè)物理模型，根據(jù)物理理論，系統(tǒng)在下降過(guò)程中做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到所受阻力等于自身重

4、力時(shí)，加速度為零，速度達(dá)到最大。由已知，降落傘在降落過(guò)程中受到的空氣阻力與降落速度以及傘面積成正比，所以我們要先確定它們的比例系數(shù)k，在求k之前必須求出時(shí)間t與高度h的關(guān)系式。根據(jù)kvs=mg及20m/s的最大速度求出不同半徑的降落傘的最大載重量m最后通過(guò)lingo軟件得出結(jié)果。2問題求解降落傘在下降過(guò)程中受到的力符合牛頓定律，即am=mg-，a=（mg-kvs）/m，加速度、速度、位移之間通過(guò)微積分知識(shí)可知：tnii學(xué)朮友叢網(wǎng)論文發(fā)表專家一l且時(shí)間與高度之間的關(guān)系如表3根據(jù)物理公式可以得到高度h(t)的表達(dá)式:再根據(jù)表3數(shù)據(jù)，對(duì)阻力系數(shù)k利用非線性最小二乘法擬合求解。其中重力加速度g=9.8

5、m/s,m=30Ckg，在matlab中運(yùn)行程序如下:fun二inline(9.8*300*t)/(56.52*k)-(90000*9.8)/(k*56.56)*exp(-56.52*t*k/300)-(90000*9.8)/(k*56.56)','k','t');t=036912151821242730;y=03075128183236285340392445499;k=lsqcurvefit(fun,2,t,y)運(yùn)行結(jié)果為k=2.9720由如上分析，繼而根據(jù)表1可建立線性規(guī)劃模型如下：min=x1*(65+16*1.414*2*4+200)+x2*(

6、170+16*1.414*2.5*4+200)+x3*(350+16*1.414*3*4+200)+x4*(660+16*1.414*3.5*4+200)+x5*(1000+16*1.414*4*4+200)；x1*151+x2*236+x3*340+x4*463+x5*605>=2000;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0；gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5)；在lingo運(yùn)行結(jié)果為：采用半徑為2m的降落傘1個(gè)，半徑為2.5m的降落傘2個(gè)，半徑為3m的降落傘4個(gè)，這時(shí)2000kg物資能匸交發(fā)表專家一LB國(guó)學(xué)朮發(fā)叢網(wǎng)被完全投放，而且使得總費(fèi)用最低為4924.7兀。3結(jié)論由上述結(jié)論可以看出，一個(gè)實(shí)際問題在經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析之后，可以在操作之前經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算就進(jìn)行很好的預(yù)測(cè)，這樣可以節(jié)省大量的人力物力，并且杜絕浪費(fèi)行為，利用最少的條件得到最好的結(jié)果，這就是數(shù)