線性規(guī)劃模型與銷售計(jì)劃問題

1、線性規(guī)劃模型與銷售計(jì)劃問題摘 要：這篇文章主要討論了線性規(guī)劃模型與銷售計(jì)劃問題。這是在生產(chǎn)和銷售中經(jīng)常提到的問題。通過合理的銷售方案以達(dá)到更大的經(jīng)濟(jì)效益。為解決這樣的問題，主要是通過分析建立線性規(guī)劃模型，然后利用Matlab軟件工具箱中求解線性規(guī)劃模型的函數(shù)linprog , 編寫Matlab程序，最后就可以求出滿足題意的解。關(guān)鍵詞：銷售；線性；實(shí)際1 問題的提出某商店擬制定某種商品712月的進(jìn)貨、售貨計(jì)劃，已知商店倉庫最大容量為1500件，6月底已存貨300件，年底的庫存以不少于300件為宜，以后每月初進(jìn)貨一次，假設(shè)各月份該商品買進(jìn)、售出單價(jià)如下表。表1月789101112買進(jìn)（元/件）28

2、2625272423.5售出（元/件）292726282525假設(shè)每件每月的庫存費(fèi)用為0.5元，為使凈收益最多，各月進(jìn)貨、售貨計(jì)劃該如何安排。2 問題的分析 在中國戰(zhàn)國時(shí)期，曾經(jīng)有過一次流傳后世的賽馬比賽，相信大家都知道，這就是田忌賽馬。田忌賽馬的故事說明在已有的條件下，經(jīng)過籌劃、安排，選擇一個(gè)最好的方案，就會(huì)取得最好的效果。解決該問題的核心是要確定一組決策變量，使得在確定的約束條件下，目標(biāo)函數(shù)取得最大值。其中，約束條件是決策變量的線性方程或線性不等式，目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)。由此可知，這種計(jì)劃的安排歸屬于線性規(guī)劃問題，可以建立線性規(guī)劃模型求解。該問題中決策變量、目標(biāo)函數(shù)較多，無法利用圖

3、解法，而如果利用單純性法求解過程很復(fù)雜，所以使用Matlab軟件編程求解。3 模型假設(shè)（1）該種商品的價(jià)值不隨時(shí)間變化而發(fā)生增值或減值，每月實(shí)際售出商品可以是庫存商品或是當(dāng)月買進(jìn)商品；（2）每月月初進(jìn)貨，需要計(jì)算庫存費(fèi)用的商品量為當(dāng)月月底庫存商品量；（3）只有銷售商品收入、買進(jìn)商品費(fèi)用、庫存費(fèi)用計(jì)入凈收益計(jì)算公式，而運(yùn)輸費(fèi)，攤位費(fèi)等管理費(fèi)用不計(jì)；（4）每月進(jìn)貨、售貨計(jì)劃商品量相互獨(dú)立，互不影響。4 模型原理線性規(guī)劃是求一個(gè) 函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）在規(guī)定條件（稱為約束條件）下的極大值或極小值問題。設(shè)線性規(guī)劃模型的一般式為： （5.1）約束條件（s.t.） （5.2）滿足約束條件（5.2）的一組數(shù)，

4、稱為該線性規(guī)劃模型的可行解。為討論方便，我們規(guī)定線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型，而其它非標(biāo)準(zhǔn)型總可以通過一些方法化為標(biāo)準(zhǔn)型。線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型為：目標(biāo)函數(shù) （5.3）約束條件 （s.t.） （5.4）注意，在線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型中，約束條件是一組線性等式，也稱為約束方程組，利用向量或矩陣符號(hào)，線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型還可以記為：目標(biāo)函數(shù) 約束條件（s.t.）其中，是指的各分量。5 建立模型 根據(jù)線性規(guī)劃模型的原理和方法，結(jié)合題目數(shù)據(jù)和要求，建立適合本題的模型。(1)確定決策變量因?yàn)樵摲N商品在712月均涉及進(jìn)貨、售貨兩種計(jì)劃，令i=1，2，3，4，5，6分別代表7月，8月，9月，10月，11月，12月；令j

5、=1，2分別代表進(jìn)貨計(jì)劃和售貨計(jì)劃。設(shè)決策變量Xij為該種商品在第i月的j計(jì)劃下的數(shù)量（件）。(2)確定目標(biāo)函數(shù)由題意，6月底存貨300件，可知：7月存貨量為 300X11X12;8月份存貨量為 300X11X12X21X22;9月份存貨量為 300X11X12X21X22X31X32;10月份存貨量為 300X11X12X21X22X31X32X41X42;11月份存貨量為 300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52;12月份存貨量為 300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52X61X62;為使凈收益最大，目標(biāo)函數(shù)為：Max Z29X1228X

6、1127X2226X2126X3225X3128X4227X4125X5224X5125X6223.5X610.5×(300X11X12)(300X11X12X21X22) (300X11X12X21X22X31X32) (300X11X12X21X22X31X32X41X42) (300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52) (300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52X61X62) (3)確定約束條件a.倉庫最大容量不超過1500件：0300X11X1215000300X11X12X21X2215000300X11X12X21X22

7、X31X3215000300X11X12X21X22X31X32X41X4215000300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X5215000300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52X61X621500b.年底庫存量不少于300：300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52X61X62300c.且各決策變量要求非負(fù)，即Xij0，i1,2,3,4,5,6; j1,2(4)建立線性規(guī)劃模型綜上所述，該問題的線性規(guī)劃模型如下：Max Z29X1228X1127X2226X2126X3225X3128X4227X4125X5224X5

8、125X6223.5X610.5×(300X11X12)(300X11X12X21X22) (300X11X12X21X22X31X32) (300X11X12X21X22X31X32X41X42) (300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52) (300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52X61X62)s.t 0300X11X1215000300X11X12X21X2215000300X11X12X21X22X31X3215000300X11X12X21X22X31X32X41X4215000300X11X12X21X22X31X32

9、X41X42X51X521500300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52X61X621500300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X52X61X62300Xij0，i1,2,3,4,5,6; j1,26 模型求解運(yùn)用Matlab求線性規(guī)劃解(1)將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行整理，可得：Max Z32X1231X1129.5X2228.5X2128X3227X3129.5X4228.5X4126X5225X5125.5X6224X61900(2)為應(yīng)用Matlab求解上述線性規(guī)劃問題，將上述模型改寫成Matlab適用的模型，其形式為：Min Z31X1132X1

10、228.5X2129.5X2227X3128X3228.5X4129.5X4225X5126X5224X6125.5X62s.t. X11X121200X12X11300X11X12X21X221200X12X11X22X21300X11X12X21X22X31X321200X12X11X22X21X32X31300X11X12X21X22X31X32X41X421200X12X11X22X21X32X31X42X41300X11X12X21X22X31X32X41X42X51X521200X12X11X22X21X32X31X42X41X52X51300X11X12X21X22X31X32X

11、41X42X51X52X61X621200X12X11X22X21X32X31X42X41X52X51X62X610Xij0，i1,2,3,4,5,6; j1,2(3)建立M文件，編寫Matlab程序：c 31,-32,28.5,-29.5,27,-28,28.5,-29.5,25,-26,24,-25.5;A 1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 0,0,0,0,0,0,0,0;-1,1,-1,1, 0,0,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,0,0,0,0,0,0;-1,1,-1,1,

12、-1,1,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,1,-1,0,0,0,0;-1,1,-1,1, -1,1,-1,1,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,1,-1,1,-1,0,0;-1,1,-1,1, -1,1,-1,1,-1,1,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1;-1,1,-1,1, -1,1,-1,1,-1,1,-1,1;b 1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;0;lbzeros12,1;x linprog(c,A,b,lb);Z c*x(4)運(yùn)行上述Matlab程序，計(jì)算得：x 0 300 0 01500001500003000Z -61