說數(shù)學(xué)分析(或微積分)是數(shù)學(xué)系最重要的一門基礎(chǔ)課程

1、說數(shù)學(xué)分析（或微積分）是數(shù)學(xué)系最重要的一門基礎(chǔ)課程，恐怕并非過譽(yù)。因?yàn)樗粌H是大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生進(jìn)校后首先面臨的一門重要課程，而且大學(xué)本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質(zhì)上都可以看作是它的延伸、深化或應(yīng)用，至于它的基本概念、思想和方法，更可以說是無處不在。正因?yàn)槿绱?，大家把關(guān)注的目光投射到這門課程及其教材的改革上，并從不同的角度付諸實(shí)踐，實(shí)在是很自然的。然而，自牛頓、萊布尼茨建立微積分，并經(jīng)柯西、魏爾斯特拉斯等人為之奠定了相當(dāng)嚴(yán)格的基礎(chǔ)以來，二三百年中經(jīng)過眾多科學(xué)家的努力，微積分的基本理論框架及表達(dá)方式已歷經(jīng)了一個(gè)千錘百煉的過程。大廈早已建成，格局已經(jīng)布就，改革談何容易。盡管國(guó)內(nèi)外已經(jīng)出版的微積

2、分教材為數(shù)頗多，但嚴(yán)格說來，真正能體現(xiàn)特色、符合改革精神的卻太少。這門課程的改革既舉足輕重，又頗具難度，是一個(gè)攻堅(jiān)戰(zhàn)。對(duì)這門課程的改革設(shè)想和實(shí)踐，就像“每個(gè)讀者心中都有自己的林妹妹”那樣，也往往見仁見智，看來在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)難以（也沒必要）完全取得共識(shí)。那么，不管特點(diǎn)如何各異，比較理想的微積分教材是否應(yīng)該具有某些共性呢？我想得用這個(gè)機(jī)會(huì)，談一些粗淺的認(rèn)識(shí)，作為一家之言，就正于方家與讀者。首先，任何一門學(xué)問，就其本質(zhì)來說，關(guān)鍵的內(nèi)容、核心的概念，往往就不過那么幾條；而發(fā)揮開來，就成了洋洋大觀的巨著。理解了這些核心和關(guān)鍵，并通過嚴(yán)格的訓(xùn)練將其真正學(xué)到手，就掌握了這門課程的精髓，就能得心應(yīng)手地加

3、以應(yīng)用和發(fā)揮，也就達(dá)到了學(xué)習(xí)這門課程的目的，并為培養(yǎng)創(chuàng)新人才打下了良好看基礎(chǔ)。微積分也不例外。要讓學(xué)生把主要的精力集中到那些最基本、最主要的內(nèi)容上，真正學(xué)深學(xué)透，一生受用不盡。將簡(jiǎn)單的東西故弄玄虛，講得復(fù)雜、煩瑣，使學(xué)生莫測(cè)高深的，絕不是一個(gè)水平高的好教師；相反，將復(fù)雜的內(nèi)容，抓住實(shí)質(zhì)講得明白易懂，使學(xué)生覺得自然親切、趣味盎然的，才是一個(gè)高水平的良師。不僅對(duì)那些無關(guān)大局、學(xué)了將來永遠(yuǎn)用不上、而且很快就會(huì)忘個(gè)精光的東西要盡要精簡(jiǎn)，而且對(duì)那些掌握了基本內(nèi)容與方法之后、將來要用的時(shí)候很容易學(xué)會(huì)、甚至可以自己創(chuàng)造出來的東西，也要盡量精簡(jiǎn)。不突出重點(diǎn)，事無巨細(xì)，面面俱到，搞繁瑣哲學(xué)，看似認(rèn)真負(fù)責(zé)，其實(shí)不

4、僅加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，影響了學(xué)生的深入理解，而且束縛了學(xué)生的思想，這是似乎是現(xiàn)有不少教材的一種通病?！吧俣钡脑瓌t講了好多年，看來要真正貫徹，還得花大力氣。返璞歸真，是一種很高的境界，也是編寫教材的一個(gè)重要的原則。微積分作為最重要的一門基礎(chǔ)課程，更應(yīng)該在這一方面樹立一個(gè)榜樣。其次，任何一門學(xué)科的產(chǎn)生與發(fā)展，都離不開外部世界的推動(dòng)，數(shù)學(xué)也是如此。牛頓、萊布尼茨當(dāng)年發(fā)明微積分，就是和解決力學(xué)與幾何學(xué)中的問題緊密聯(lián)系著的。直到今天，微積分這個(gè)威力無比的武器仍在各方面不斷發(fā)揮著重要的作用。這不僅為微積分增添了光彩，而且實(shí)際上也為編寫微積分教材提供了豐富的原材料?？上У氖?，以往的很多微積分教材往往過分地

5、追求“數(shù)學(xué)上的完美”，板著面孔講理論，割裂了微積分與外部世界的生動(dòng)活潑的聯(lián)系，也顯示不出微積分的巨大生命力和應(yīng)用價(jià)值。學(xué)生學(xué)了一大堆定義、定理和公式，可能還是沒搞清楚為什么要學(xué)習(xí)微積分，不知道學(xué)了微積分究竟有什么用?，F(xiàn)在大家強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，不少學(xué)校開設(shè)了種種有關(guān)數(shù)學(xué)模型的課程，固然是一個(gè)很好的舉措，但如果能在基礎(chǔ)課的教學(xué)中充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，在講述有關(guān)內(nèi)容時(shí)與相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型有機(jī)結(jié)合，在看來枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容與豐富多彩的外部世界之間架設(shè)起橋梁，而不是額外增加課程，豈不是可以收到事半功倍的效果？！作為一門基礎(chǔ)課，微積分是最有條件也最應(yīng)體現(xiàn)這一原則的。這樣做，不應(yīng)該視為對(duì)其他課程的支

6、持和援助，而是微積分課程自身合理建設(shè)的需要。否則，不關(guān)注模型，不重視應(yīng)用，割斷了來龍去脈，抽去了數(shù)學(xué)思想發(fā)展的線索，微積分就成了無源之水，無本之木。也就失去了生命力。重視并兼顧模型和應(yīng)用，應(yīng)是微積分這門課程的應(yīng)有之義，也是體現(xiàn)返璞歸真原則的一個(gè)重要的內(nèi)涵。第三，任何一門課程的內(nèi)容，都不應(yīng)該固步自封，一成不變，而應(yīng)該順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展和科技的進(jìn)步，及時(shí)地棄舊圖新，在概念及方法的引進(jìn)上，在教材內(nèi)容的取舍上，體現(xiàn)現(xiàn)代化的精神。從這個(gè)意義上說，在微積分課程中汲取一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和概念，對(duì)內(nèi)容進(jìn)行增刪和調(diào)整，都是完全可能且必要的，并要下大力氣去做。但是，每門課程都應(yīng)有自己明確的內(nèi)涵和范圍，絕不能“搶跑道”，

7、通過把后繼課程內(nèi)容下放的辦法來提高本門課程的檔次和水平，從而大亂整個(gè)課程有機(jī)體系的陣腳。微積分這門大學(xué)低年級(jí)的基礎(chǔ)課程，講的是具有良好性質(zhì)的函數(shù)（“好”的函數(shù)）的微積分。這是樸素的微積分，是學(xué)習(xí)中的一個(gè)階段性標(biāo)志。將研究相應(yīng)于“壞”的函數(shù)的微積分的一些后繼課程的內(nèi)容提前到微積分中來講授，看來是不相適宜的。應(yīng)該提倡教一樣，像一樣；學(xué)一樣，精一樣，一步一個(gè)腳印的打好必要的基礎(chǔ)。至于計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，不僅僅是數(shù)學(xué)的應(yīng)用在廣度和深度兩方面都達(dá)到前所未有的程度，而且深刻地影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程和思維模式。微積分的課程內(nèi)容應(yīng)該反映這一重要的趨勢(shì)。如果畫地為牢，囿于微積分的傳統(tǒng)框架不敢越雷池一步，在實(shí)際

8、計(jì)算或應(yīng)用時(shí)就會(huì)感到力不從心，甚至束手無策；而借助于數(shù)值計(jì)算方法的理論基礎(chǔ)，在微積分課程中介紹有關(guān)數(shù)值計(jì)算的基本思想和方法，是順理成章的。這一有機(jī)的結(jié)合，可以使學(xué)人如虎添翼，也將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)課程體系的改革提供有益的啟示。第四，學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。如前所述，微積分的基本原理和公式并不多，但如能得心應(yīng)手地加以運(yùn)用，卻可以發(fā)揮出神奇的威力。要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵在于要使學(xué)生接受嚴(yán)格而充分的訓(xùn)練，單靠課堂上的講授是絕對(duì)不夠的?，F(xiàn)在往往老師講得多，同學(xué)練得少。其實(shí)，熟能生巧，多講不如多練。只有通過嚴(yán)格而充分地鍛煉，才能使學(xué)生達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本要求理解與熟練。蘇步青老師說他自己曾做過一萬道微積分題，他在數(shù)學(xué)上

9、的深厚功底和卓越成就，由此也可見端倪。事實(shí)上，做一千道題有一千道題的體會(huì)，做一萬道題有一萬道題的體會(huì)。如果每種題型只蜻蜓點(diǎn)水地做上那么一二道題，加起來總共不過二三百道題，又怎么談得上牢固掌握、并在需要時(shí)能做到“運(yùn)用之妙，存乎一心”呢？！只有在編寫編寫教材時(shí)在量和質(zhì)兩方面認(rèn)真兼顧到習(xí)題（包括借助于計(jì)算機(jī)求解的習(xí)題）的配置，使課堂教學(xué)與課后訓(xùn)練有機(jī)配合、相得益彰，提高微積分課程的教學(xué)質(zhì)量才會(huì)有一個(gè)可靠的保障。李大潛1999.6.27近些年來，素質(zhì)教育的思想逐漸深入人心，教學(xué)不再只強(qiáng)調(diào)傳授知識(shí)，而是注意學(xué)生知識(shí)、能力、素質(zhì)的綜合協(xié)調(diào)發(fā)展。從數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的特點(diǎn)出發(fā)，課題組吸取一些高校的研究成果，總結(jié)了優(yōu)秀的數(shù)學(xué)本科生應(yīng)具備的十種基本的數(shù)學(xué)能力和五種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。十種基本的數(shù)學(xué)能力是：類比的能力，分析的能力，歸納的能力，抽象的能力，聯(lián)想的能力，演繹推理的能力，準(zhǔn)確計(jì)算的能力，學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件的能力，“應(yīng)用”數(shù)學(xué)的能力。五種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是：主動(dòng)探尋并善于抓住數(shù)學(xué)問題中的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；熟練地