z變換離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析

1、章節(jié)第八章z變換、誠時(shí)間系統(tǒng)的z域分析1-3節(jié)日期教學(xué)目的理解z變換及其收斂域，掌握典型序列z變換教學(xué)重點(diǎn)典型序列z變換；z變換的收斂域教學(xué)難點(diǎn)z變換的收斂域教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容第八章z變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析8.1引言z變換方法的原理可以追溯到18世紀(jì)。棣莫弗(DeMoivre)、拉普拉斯(P.S.Lapalce)相繼作出過杰出的貢獻(xiàn)。在離散信號(hào)與系統(tǒng)的理論中，z變換成為一種重要的數(shù)學(xué)工具。它把離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一一差分方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程，使其求解過程得以簡化。因此，其地位類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。下面借助抽樣信號(hào)的拉氏變換引出其定義。若連續(xù)因果信號(hào)x(t)經(jīng)均勻沖激抽樣，則抽樣

2、信號(hào)xs(t)為：O0xs(t)=x(t)、T(t)x(nT)、(t-nT)n=0取拉氏變換：二項(xiàng).'：三stXs(s)=£x(t)edt=匚，x(nT)6(tnT)edtnOQ=Lx(nT)、(t-nT)e項(xiàng)dtn歹00QO=、x(nT)e"(t-nT)dtn=0x(nT)e"n-0asT1令：z=e或?qū)懽鱯=lnz，且一般令T=1則：ToOoOX(z)x(nT)z='x(n)z43(8-1)n=0n-0sz=e上式即為單邊z變換。記為：X(z)=Lx(n)=Ex(n)z=x(0)中)+")+(8-2)nTzz8.2z變換定義、典型序列

3、z變換與拉氏變換類似，z變換也有單邊和雙邊之分，對(duì)于一切n只都有定義的序列x(n)，定義雙邊z變換為：0X(z)=Lx(n)='、'x(n)z*n=-：:顯然，如果x(n)為因果序列，則雙邊和單邊是等同的。上面兩式表明，序列的z變換是復(fù)變量z=的藉級(jí)數(shù)(亦稱洛朗級(jí)數(shù))，其系數(shù)是序列x(n)值。有些文獻(xiàn)當(dāng)中也把X(z)稱為序列x(n)的生成函數(shù)。由于離散時(shí)間系統(tǒng)非因果序列也有一定的應(yīng)用范圍，因此在著重介紹單邊z變換的同時(shí)兼顧雙邊下面介紹一些典型序列的（一）單位樣值函數(shù)定義為：z變換分析。如圖8-1所示。取z變換，得到:z變換。6(n)=(n=0)(n=0)、（n）A10n圖8-1

4、單位樣值函數(shù)oOZ、.（n）、.（n）zJ=1nz0可見，與連續(xù)系統(tǒng)單位沖激函數(shù)的拉氏變換類似，單位樣值函數(shù)的于1。z變換等（二）單位階越序列定義為：u(n)=-1(n芝0)P(n<0)u(n)圖8-2單位階越序列如圖8-2所示。取z變換，得到:QOZu(n)-、'u(n)z"QO-頊zn=0若|z|>1,該幾何級(jí)數(shù)收斂,它等于11-zJ（三）斜變序列斜變序列為：如圖8-3所示。取z變換，得到:該變換可以用下面的方法間接求得。x(n)=nu(n)Zx(n)-'nz0已知，當(dāng)|z|A1時(shí)有：Zu(n)=Hn=0-nz11-zJ將上式兩邊分別對(duì)z求導(dǎo)，得到:o

5、O/4xn4n(z)n=0142(1z)兩邊各乘z，就可得到斜變序列的z變換:+x(n)0n圖8-3斜變序列COZnu(n)-'、'nzn=0(z-1)2(|z|)同樣，若對(duì)上式再對(duì)z求導(dǎo)，可以得到:z(z1)Zn2u(n)=3(z-1)33z(zzZcos("n)u(n)=。_ze4z1)ZE"(z1)4(四)指數(shù)序列單邊指數(shù)序列：如圖8-4。取z變換，得到:Zanux(n)=anu(n)0圖8-4單邊指數(shù)序列(n)=Lanz"=：即)項(xiàng)n蟲若滿足：|z|>|a|,則可收斂為:牛堀)=1二飛，若令a=eb，當(dāng)|z|>|eb|時(shí)，則:同

6、樣，對(duì)單邊指數(shù)序列變換式兩邊對(duì)Zabnu(n)z求導(dǎo)，可以求得：JZnanu(n)=彩2(1-az)2az(za)2Zn2anu(n)=："十：)(z-a)(五)正余弦序列單邊余弦序列cos(eo°n)如圖8-5所示。因?yàn)?Zabnu(n)=z-e令b=jo%,則當(dāng)|z|>|ej®|=1時(shí)，得：(|z|eb|)同樣，令b=-jCO。，則得:將上兩式相加，得:Zaj0nu(n)zz-ej°Zaj°nu(n)0圖8-5單邊余弦序列由z變換的定義可知：兩序列之和的z變換等于各序列到余弦序列的z變換：從上式可以直接得Zaj0nu(n)Zaj0nu

7、(n)zzz-ej0z-et0z變換的和。根據(jù)歐拉公式,z_z(z-cos0)z-e-0z2-2zcosb0+1同理可得正弦序列Z變換:1Zsin(pn)u(n)Z_j-0zn:_cj'。rT02j_z-'ez-'e以上兩式得收斂域都為：|zA1。zsin02z2zcos01在指數(shù)序列的變換式中，令a6e)®,則有:Z頊aj0nu(n)=1一Vj0zJ同理:Z'na°nu(n)借助歐拉公式，有上面兩式可以得到:Z-ncos(on)u(n)Z：nsin(on)u(n)1：zcos01-2z'coso：2z':z'sino

8、1-2zJcoso2z'z(zWcos0)z2-2zcos，0：2:zsino上面兩式就是單邊指數(shù)衰減(P<1)及增幅(BA1)的余弦、正弦的典型的單邊z變換列于附錄五。z2_2：zcoso；"2z變換。收斂域?yàn)椋簗z|P|。一些8.3z變換的收斂域只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，z變換才有意義。對(duì)于任意給定的有界序列x(n),使z變換定義式級(jí)數(shù)收斂之所有z值的集合，稱為z變換的收斂域(regionofconvergence，簡寫為ROC)。對(duì)于單邊變換，序列與變換式一一對(duì)應(yīng)，同時(shí)也有唯一的收斂域。而在雙邊變換時(shí)，不同的序列在不同的收斂域條件下可能映射為同一個(gè)變換式。也即：兩個(gè)不同的

9、序列由于收斂域不同，可能對(duì)應(yīng)于相同的z變換。因此，為了單值的確定z變換所對(duì)應(yīng)的序列，不僅要給出序列的z變換式，而且必須同時(shí)說明它的收斂域。在收斂域內(nèi)，z變換及它的導(dǎo)數(shù)是z的連續(xù)函數(shù)，即z變換函數(shù)是收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上的解析函數(shù)。雙邊z變換的表達(dá)式滿足收斂的充分條件是絕對(duì)可積：Q0、|x(n)z&|：n:上式左邊構(gòu)成正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有兩種方法判定收斂性：比值判定法和根值判定法。cd若一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)為Z|an|,判定其收斂的方法為:比值判定：lim冬也=P；根植判定：limV|an|=PnFan當(dāng)P<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)P>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)P=1時(shí)無法判定。利用上述判定方法討論幾類序列的收斂域

10、。(1)有限長序列這類序列只在有限區(qū)間(n1nn2)內(nèi)有非零的有限值，此時(shí)z變換為:上式是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)。當(dāng)n1<0,n2>。時(shí)，收斂域?yàn)楫?dāng)n<0,n2玄0時(shí)，收斂域?yàn)楫?dāng)n0,n>0時(shí)，收斂域?yàn)?2)右邊序列這類序列是有始無終的序列,X(z)='、'x(n)znfz手g且z,0,即：0<|z|<°°；z,即：|z|<°°；z。0,即：|z|A0。即當(dāng)n<n1時(shí)，x(n)=0，此時(shí)z變換為:zSp°時(shí)，若n0,則zH0；z0時(shí),若n|0,則z國。當(dāng)n，山都大于0時(shí)，收斂域包括巧:當(dāng)n

11、1,n2都小于0時(shí)，收斂域包括0。qQX(z)=x(n)z由根植判定法，該級(jí)數(shù)收斂應(yīng)滿足limn|x(nb|=1n_.即：|z|limn|x(n)|=Rxin:，其中，Rxi是級(jí)數(shù)的收斂半徑?？梢?，右邊序列的收斂域是半徑為Rxi的圓外部分。若n>0，則收斂域包括z=*,即|z|Rxi;若R|<0，則收斂域不包括z=°o,即Rxi<|z|<°0。顯然，當(dāng)ni=。時(shí)，右邊序列變成因果序列，也就是說，因果序列是右邊序列的一種特殊情況。(3)左邊序列這類序列是無始有終的序列，即當(dāng)nn2時(shí)，x(n)=0,此時(shí)z變換為：n2X(z)-'、'x(n

12、)z頊進(jìn)行變量代換可得：oOX(z)=£x(n)zn由根植判定法，該級(jí)數(shù)收斂應(yīng)滿足lim偵|x(-n)zn|=p<i即：,i|z|iRx2nmnwn)|n其中，Rx2是級(jí)數(shù)的收斂半徑?？梢?，右邊序列的收斂域是半徑為Rx2的圓內(nèi)部分。若n>0，則收斂域不包括z=0,即0<|z|<Rx2;若n0，則收斂域包括z=0,即|z|<Rx2。(4)雙邊序列一般寫作：:二4X(z)='、'x(n)zT=、x(n)z'、'x(n)z該式可以看作是右邊序列(第一項(xiàng))和左邊序列(第二項(xiàng))的疊加。收斂域?yàn)閮刹糠质諗坑虻闹丿B部分:RxiWz&qu

13、ot;x2其中RxiA0,Rx2<8。所以，雙邊序列的收斂域通常是環(huán)形。若RxiARx2,則該序列不收斂。以上可以看到，收斂域取決于序列的形式。P52表8-i列出了幾類雙邊變換的收斂域。例8-1求序列x(n)=anu(n)bnu(nT)的z變換，并確定它的收斂域(其中bAa0)。解：這是一個(gè)雙邊序列。先求單邊z變換:QOQOQOX(z)=£x(n)z"=Zanu(n)一bnu(-n-1)z"=Zanz如果|z|a,則該級(jí)數(shù)收斂，可得到：v/；n_nzX(z)=，az=nza其零點(diǎn)位于z=0，極點(diǎn)位于z=a，收斂域?yàn)閨z|a。再求雙邊z變換：cOcOX(z)=

14、£x(n)z=Zanu(n)bnu(n1)z"QOn_nin_n=£az-£bzn=0njociaO0=£anz"+1£bnzn=0n=qo若|z|a且|z|<b,則該級(jí)數(shù)收斂，可得到：X(z)=+1+-=-+二zazbzazb其零點(diǎn)位于z=0及z=(a+b)/2，極點(diǎn)位于z=a及z=b，收斂域?yàn)閎>|z|a。注：z變換X(z)在收斂域內(nèi)是解析的，因此收斂域內(nèi)不應(yīng)該包含任何極點(diǎn)。通常，收斂域以極點(diǎn)為邊界。對(duì)于多個(gè)極點(diǎn)的情況，右邊序列的收斂域是從X(z)最外面(最大值)有限極點(diǎn)向外延伸至zT°0(可能包括

15、°0)；左邊序列的收斂域是從X(z)最里面(最小值)非零極點(diǎn)向內(nèi)延伸至z=0(可能包括z=0)。備注章節(jié)教學(xué)目的教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)方法第八章z變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析4-5節(jié)掌握z變換基本性質(zhì)以及逆變換的求法z變換基本性質(zhì)以及逆變換的求法逆變換的求法WS日期教學(xué)內(nèi)容8.4逆z變換若X(z)=Lx(n),則X(z)的逆變換記作x(n)=LX(z)2Jn1、.-C是包圍X(z)z所有極點(diǎn)之逆時(shí)針閉合積分路線，通常選擇明略。LX(z),它由以下圍線積分給出:1n_1.X(z)zdzz平面收斂域內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓。證求逆變換的計(jì)算方法有三種。(一)留數(shù)法(圍線積分法)C內(nèi)所包含X(z)

16、zn的各極點(diǎn)留數(shù)借助于復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理，可以把逆變換的積分表示為圍線之和。即：x(n)=上電X(z)zndz=£X(z)z口在C內(nèi)極點(diǎn)的留數(shù)2二j七m或簡寫為:n1x(n)='ResX(z)z式中，Res表示極點(diǎn)的留數(shù),mzm為X(z)zn_1的極點(diǎn)。若Zm為一階極點(diǎn)，則若Zm為S階極點(diǎn)，則ReqX(z)znJm=(z-zm)X(z)znLResX(z)znJzmmz-zm)SX(z)z"z%例8-2已知X(z)=/3：、5、,1丁2，求x(n)=ZX(z)。(z-1)(z-2)解：因?yàn)閄(z)zn4(3z-5)zn(z-1)(z-2)(1)當(dāng)n芝0時(shí)，圍線內(nèi)只有

17、z=1這個(gè)極點(diǎn)。所以n4x(n)=Re$(X(z)z"(3z-5)znz2=2zT(2)當(dāng)n<0時(shí)，z=0,z=1均為圍線內(nèi)的極點(diǎn)。所以x(n)=£ResX(z)zn=圍線內(nèi)所有極點(diǎn)本題中圍線內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)z=0,z=1，圍線外有一個(gè)極點(diǎn)z=2。根據(jù)留數(shù)的性質(zhì):£ResX(z)zN圍線內(nèi)所有極點(diǎn)=-ZReqX(z)zn。圍線外所有極點(diǎn)因此可以求得:(3z-5)zn枷一昭亦/七廠一z1-2n綜合(1)(2)可以得到:x(n)=2u(n)-2nu(-n-1)這道題說明，在應(yīng)用留數(shù)法求逆變換時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意收斂域內(nèi)圍線所包圍的極點(diǎn)情況，特別應(yīng)關(guān)注對(duì)不同的n值，在z=0處

18、的極點(diǎn)可能具有不同的階次。另外，收斂域的不同也會(huì)得到不同的結(jié)果，如書上P56,例8-2。(二)長除法(藉級(jí)數(shù)展開法)因?yàn)閤(n)的z變換定義為z的藉級(jí)數(shù)0X(z)=x(n)zJN(z),D(z)。若收斂域?yàn)閨z卜Rx1,則若收斂域?yàn)閨z|<Rx2,則N(z),D(z)所以，只要在給定的收斂域內(nèi)把X(z)展開成藉級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。一般情況下，X(z)是有理數(shù)，令分子、分母多項(xiàng)式分別為1.N(z),D(z)按z的降藉(或z的升藉)次序排列，進(jìn)行長除法;按z的升藉(或z的降藉)次序排列，進(jìn)行長除法。例8-3求X(z)=,|z>1的逆變換x(n)。z1解：根據(jù)收斂域可將X(

19、z)展開成按z的降藉排列的形式:X(z)2zz2-1進(jìn)行長除法可得：X(z)=1z'zz*1C所以：x(n)-一1(-1)u(n)例8-4求收斂域分別為|zA1,|z|<1兩種情況下,12z-1的逆變換x(n)。解：對(duì)于|z|>1,X(z)相應(yīng)的序列x(n)是因果序列X(z)=/1-2zJz'(右邊序列)，這時(shí)X(z)寫成按z的降藉排列:進(jìn)行長除法可得：X(z)=14z412zJX(z)=/1二2zzQO7z=L(3n-1)zn=0得到：x(n)=(3n1)u(n)對(duì)于|z|<1,X(z)相應(yīng)的序列x(n)是左邊序列，這時(shí)X(z)寫成按z的升藉排列:2z1X(

20、z)=乙4一z-2z41二-A進(jìn)行長除法可得：X(z)=2z5z"L"=七(3n-1)zn-x(3n1)z得到：x(n)=(3n1)u(-n-1)(三)部分分式展開法這里，部分分式展開法類似于拉氏變換中的部分分式展開法，不再細(xì)述，需要說明的是,z變換的基本形式是W一，所以在使用z變換部分分式展開法時(shí),z-zm通常是將X(z)用部分分式法展開,然后z每個(gè)分式乘以z，這樣對(duì)于一階極點(diǎn)，X(z)便可以展開成z的形式。z-zm例8-5已知X(z)=2z-2z,|z>1,求x(n)。-1.5z0.5解:X(z)AiA2zz21.5z0.5z-0.5z1式中:A1=X(z)(z0

21、.5)=一1-zz!5AX(z)A2(z-1)=2zz.因此X(z)2z由于收斂域|z|A1,所以z-1z-0.5x(n)是因果序列(右邊序列)，因此x(n)=(2-0.5n)u(n)例8-6已知X(z)=z+2z+1,|z|>1,求x(n)。z(z-1)(z-0.5)解:X(z)z32z21268=+2_2zz(z-1)(z-0.5)z13zz1z-0.5所以X(z)=26z：13zz0.5容易求得:x(n)=2、(n-1)6(n)8-13(0.5)nu(n)部分逆變換列于表8-2,3,4(P60)。8.5z變換的基本性質(zhì)(_)線性表現(xiàn)在疊加性與均勻性，若：Zx(n)=X(z),(Rx

22、1：|z|：Rx2)Zy(n)=Y(z),(Ry1：|z|：Ry)則:Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z),(R<|zR2)其中，R=maXRx1,Ry1),R2=min(Rx2,Ry2)。相加后序列收斂域一般為兩個(gè)收斂域的重疊部分,然而，如果在這些線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。例8-7求序列anu(n)a'u(nT)的Z變換。解：設(shè)x(n)=anu(n),y(n)=anu(n一1)已知：X(z)=Z(|z|a|)z-a而：Y(z)=£y(n)z"=，anz"=z(|z>|a|)所以：一一Lanu(n)-anu(

23、n-1)=X(z)-Y(z)=1收斂域變大，擴(kuò)展到整個(gè)z平面。例8-8求序列cos(n切0)u(n)和sin(0)u(n)的Z變換。解：已知cos(nco0)u(n)=(ejnQ)+enWh)u(n)2Zejn0u(n)=|z|1z-ej0zZejn0u(n)j0|z|1z-e因此:Zcos(n0)u(n)1(zz_z(z-cos，0)z-eT'rz2-2zcoscc>0+1|z|1zsin0Zsin(n'0)u(n)=z2-2zcos.°11(二)位移性位移性表示序列位移后的Z變化與原序列Z變換的關(guān)系。實(shí)際中可能遇到序列的左移(超前)或右移(延退)兩種情況，所

24、取的變換形式又可能有單邊與雙邊變換，他們的位移性基本相同，又各具特點(diǎn)，分以下情況討論。(1)雙邊Z變換設(shè)序列x(n)的雙邊Z變換為Zx(n)=X(z),則Zx(n-m)=zX(z)證明：根據(jù)定義OoOZx(n_m)='、x(n_m)z=zMx(k)z=zX(z)n=-：k=.：同理可得到：Zx(nm)=zmX(z)由以上特性可以看出，序列位移只會(huì)使Z變換在z=0或z=*處的零極點(diǎn)發(fā)生變化。如果x(n)為雙邊序列，則X(z)收斂域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，在這種情況下序列位移并不會(huì)使Z變換收斂域發(fā)生變化。(2)單邊Z變換若x(n)是雙邊序列，其單邊Z變換為Zx(n)u(n)=X(z)。則m-4Zx(n

25、m)u(n)=zmX(z)二：x(k)z*k=0證明：根據(jù)單邊Z變換的定義，可得OdO0Zx(nm)u(n)=x(nm)z工=zm'x(nm)znm)n-0噂mJ=zm'x(k)z*=zm'x(k)zx(k)k=mk=0km_1=zmX(z)-、x(k)z“kJ0同樣可以證明右移序列：.1Zx(n-m)u(n)=z.X(z)-2x(k)z“k-_m對(duì)于因果序列，由于£x(k)z空為零，于是對(duì)于右移序列有k-_mZx(n-m)u(n)=zX(z)而左移序列的Z變換不變。例8-9已知y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，邊界條件y(1)=0，用Z變換法求系統(tǒng)

26、響應(yīng)y(n)。解：對(duì)方程式兩端分別取Z變換，注意使用到位移定理。10.05zY(z)-0.9zY(z)=z12丫=0.05z(z0.9)(z1)為求逆變換，令Y(z)0.05zA1.A233"Iz(z-0.9)(z-1)(z-0.9)(z-1)容易求得：A0.05z|八“A=-0.45zT|z&90.05zA2=0.5z0.9zmY(z)0.45z工0.5zz(z-0.9)(z-1)y(n)=0.45X(0.9)n+0.5u(n)(三)時(shí)間反轉(zhuǎn)特性若Lx(n)=X(z),則Zx(n)hXG"1)證明：QOOOZx(n)=2x(n)z*=Nx(n)(z)=X(z)ni

27、n=-od(四)序列線性加權(quán)(z域微分)若已知Zx(n)=X(z),則:dZnx(n)"zdzX(z)證明：對(duì)Z變換式兩邊求導(dǎo)因此有:dX史；x(n)z，：x(n)9zndzdzdznoOJv.，、-znx(n)zn=Q=-zJLnx(n)dd2d2dzzdzX=zdz2dX(Z)ZdzXdZnX(n"ZdzX利用上式可以得到:2dZnx(n)-z一Znx(n)-zdz同樣道理可以得到:符號(hào)-,mdIdi-zi=zdzdzdd-zzdz|dzZnmx(n)="z£：X(z)-zX(zHl；>共求導(dǎo)m次。dz例8-10求斜變序列nu(n)的Z變換。解

28、:Znu(n)=z§Zu(n)=z?dzdztz-lj(z-1)(五)序列指數(shù)加權(quán)(z域尺度變換)若已知Zx(n)=X(z)(Rxiz|<Rx2),a為非零實(shí)數(shù),則:Zanx(n)=Xz(Rxia<-<Rx2)a-n證明:Zanx(n)=£anx(n)z*=£x(n/j同樣可以得到:ZaJx(n)HX(az)(Rxiaz|<：R、?)Z(-1)nx(n)=X(-z)(Rxi，：|z|：Rx2)初值定理若x(n)是因果序列，已知Zx(n)=X(z)=£x(n)z*,則:n=0x(0)=|im_X(z)z證明：因?yàn)镼OX(z)=Lx(

29、n)z=x(0)x(1)zx(2)zn=0當(dāng)zt8,上式中除了第一項(xiàng)外，都趨于零。所以結(jié)論得證。終值定理oO若x(n)是因果序列，已知Zx(n)=X(z)=£x(n)z*,貝U：n=0x(二)=limx(n)=lim(z-1)X(z)n-z】1證明：因?yàn)閆x(n1)-x(n)=zX(z)-zx(0)-X(z)=(z-1)X(z)-zx(0)取極限得到:-x(n)zJlm(z1)X(z)=x(0)lmx(n1=x(0)x(1)-x(0)x(2)-x(1)x(3)-x(2)=x(二)所以limx(n)=lim(z-1)X(z)n)二z1可以看出，終值定理只有當(dāng)nT*時(shí)x(n)收斂才可應(yīng)用

30、。也就是說，要求X(z)的極點(diǎn)必須處在單位圓內(nèi)(在單位圓上只能位于z=+1點(diǎn)且是一階極點(diǎn))。例如X(z)=，則x(0)=既乂=1，而x(°o)不存在，因?yàn)橛袠O點(diǎn)z=1。以上兩個(gè)定理的應(yīng)用類似于拉氏變換，如果已知序列x(n)的Z變換X(z)，在不求逆變換的情況下，可以利用這兩個(gè)定理方便的求出序列的初值和終值。(六) 時(shí)域卷積定理已知兩序列x(n),h(n)，其z變換為Zx(n)=X(z)國：|z|<：Rx2)Zh(n)=H(z)(Rh1：|z|tW則：Zx(n)*h(n)=X(z)H(z)或?qū)懽鳎簒(n)*h(n)=Z-1X(z)H(z)一般情況下，其收斂域是兩收斂域的重疊部分，

31、即max(Rx1,Rh1)<|z|<min(Rx2,Rh2)。若位于某一z變換的極點(diǎn)被另一z變換的零點(diǎn)抵消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。證明：Q0Zx(n)*h(n)='x(n)*h(n)z上n二二：oOoO='、''、'x(m)h(n-m)zsn=.：m=：)='、x(m)二：h(-m)z"(n)zm=-：n=-：:oO='、,x(m)zH(z)m=-匚=X(z)H(z)可見兩序列在時(shí)域中的卷積等效于在z域中兩序列z變換的乘積。例8-11求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積：x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)。解：因?yàn)閄(

32、z)=z(|z|a|);H(z)=z(|z|b|)z一az一bY(z)=X(z)H(z)二(z_a)(z-b)顯然，其收斂域?yàn)閮墒諗坑虻闹丿B部分。用部分分式法求逆變換Y(z)1aza-b】z-abziz-by(n)=x(n)*h(n-(an+-bn41)u(n)a-b例8-12求下列兩序列的卷積：x(n)=u(n),h(n)=anu(n)-anu(n-1)。解：已知zzzz1X(z)(|z|1);H(z)z(|z|a|)z-1z-az-az-aY(z)=X(z)H(z)="1=z(|z|a|)z-1z-az-ay(n)=anu(n)顯然，零極點(diǎn)相消了，若|a|<1,則收斂域比兩

33、收斂域重疊部分要大。序列相乘(z域卷積定理)已知兩序列x(n),h(n)，其z變換為Lx(n)=X(z)(Rx1：|z"：Rx2)Lh(n)=H(z)(Rh1：|z|：Rh2)則：1z'_L中仰腭藥幺外；(誑w或?qū)懽?C2Lx(n)h(n)=2"CX(v)Hjvdv式中，C1,C2分別為XIH(v)或X(v),H-i收斂域重疊部分內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圍線。vvz變換一些主要這里對(duì)收斂域和積分圍線的選取限制較嚴(yán)，從而限制了它的應(yīng)用。這里不再細(xì)講。性質(zhì)列于表8-5(P73)。章節(jié)第八章z變換、部時(shí)間系統(tǒng)的z域分析6-8節(jié)日期教學(xué)目的使用z變換分析系統(tǒng)教學(xué)重點(diǎn)z變換解差分方程；

34、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)z尖換解差分方程教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容8.6z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系三種變換域方法之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。第四章討論過拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系，現(xiàn)在研究z變換與拉氏變換的關(guān)系。(一)z平面與s平面的映射關(guān)系z變換定義的時(shí)候有z與s的關(guān)系：ST1z=e或s=lnzT式中，T是序列的時(shí)間間隔。為了說明sz的映射關(guān)系，將s表示成直角坐標(biāo)形式，而把z表示成極坐標(biāo)的形式，即：s_jjz=re因此有：reju=e(Lj口于是得到：r=e，T=e"su-T=2ns上式表明s平面上任一點(diǎn)s0映射為z平面上一點(diǎn)z=e°。特殊情況卜，sz平面有如

35、卜應(yīng)設(shè)關(guān)系:s平面上的虛軸(b=0,s=j與)映射到z平面是單位圓，其右半平面(>0)映射到z平面是單位圓的圓外，而左半平面(：:0)是單位圓的圓內(nèi)。s平面上的實(shí)軸(仍=0,s=<!)映射到z平面是正實(shí)軸，平行于實(shí)軸的直線(仍為常數(shù))映射k到z平面是始于原點(diǎn)的輻射線，通過j一(k=±1,±3,)而平行于實(shí)軸的直線映射到z平面是負(fù)實(shí)軸。2sz平面映射關(guān)系如表8-6(P75)。(1) 由于e偈是以s為周期的周期函數(shù)，因此在s平面上沿虛軸移動(dòng)對(duì)應(yīng)于z平面上沿單位圓周期性旋轉(zhuǎn)，每平移"則沿單位圓轉(zhuǎn)一圈。所以sz映射并不是單值的。P76圖8-11說明了上述映射關(guān)

36、系。掌握上述映射關(guān)系，容易利用s域中零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的類似方法研究離散時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)z平面特性與系統(tǒng)時(shí)域特性、頻響特性以及穩(wěn)定性的關(guān)系。(二)z變換與拉氏變換表達(dá)式之對(duì)應(yīng)此部分內(nèi)容討論能否借助X(s)寫出X(z)。以下分析中，必須注意對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的突變點(diǎn)函數(shù)值與對(duì)應(yīng)序列樣值的區(qū)別。若連續(xù)時(shí)間信號(hào)？(t)由N項(xiàng)指數(shù)信號(hào)相加組合而成，即：NNX(t)=W?(t)=WAePitu(t)i4i其拉氏變換為：若序列x(nT)是對(duì)X(t)的抽樣信號(hào),NALX(t)='A舊s-Pi由N指數(shù)序列相加組合而成，即:x(nT)-、xJnT)=LAepnTu(nT)i-1i4其z變換為：Zx(nT)=

37、£A：11-ezx(nT)的樣值等于X(t)在t=nT各點(diǎn)之抽樣值。然而在t=0(n=0)點(diǎn)違反了這一規(guī)律，原因是在此點(diǎn)波形發(fā)生跳變。具體講，對(duì)于任意i值有：'0,(t<0)?(t)=<JAL(t=0)2AiePit(t>0)0,(n：0)xj(nT)=A(n=0)AiePinT(n0)可以看出，按抽樣規(guī)律建立二者聯(lián)系時(shí)必須在0點(diǎn)補(bǔ)足A/2,即：:)?(t)u(t)|頃n#0xi(nT)U(n)=h(t)u(t)|t+A/2n=0例8-13已知x(t)=eu(t),X(s)=，求抽樣序列e'nTu(nT)的z變換。sa解：只有一個(gè)一階極點(diǎn)s=-a,因

38、此1X(z)=1-ze0例8-14已知x(t)=sin(與°t)u(t),X(s)=，求抽樣序列sin(仁°nT)u(nT)的z變換。s.°解：顯然，極點(diǎn)位于s=±jco。，X(s)可展成部分分式X(s)T+土-一4X(z)2.2_zsin(0T)X(z)1-z%j0T1-z%0TlzWosJT)/這種對(duì)應(yīng)規(guī)律在借助模擬濾波器原理設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器是會(huì)很有用。P79表8-7列出了常用連續(xù)信號(hào)的拉氏變換與抽樣序列z變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系。8.7利用z變換解差分方程這種方法的原理是基于z變換的線性和位移性，把差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而使求解過程簡化。線性時(shí)不變離散系統(tǒng)

39、的差分方程一般形式是NM2.aky(n-k)='brx(n-r)k=0r=0將等式兩邊取單邊z變換，并利用z變換的位移公式可以得到：N匚M-4'、'akz"Y(z)'y(l)zbrz"X(z)、x(m)zk=0l-kr-0m-r若系統(tǒng)為零輸入響應(yīng)，則N'、aky(n-k)=0k0NJ'、akz"Y(z)、y(l)z=0kz0l-水于是，NA-'、Bz"'y(l)zY(z)=心n二k=0對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列是上式的逆變換，即：1y(n)=Z=Y(z)顯然這是零輸入響應(yīng)，該響應(yīng)由系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(l)

40、(-N14-1)而產(chǎn)生的。若系統(tǒng)為零起始狀態(tài)，即y(1)=0(N苴1苴1),貝U：NMJ、,'akz"Y(z)='brZX(z)，：x(m)zk=0r=0m若激勵(lì)信號(hào)為因果序列，上式可變成：NMakZ*Y(z)='brz'X(z)k=0r-0于是，M'bz”Y(z)=X(z)；=X(z)H(z)-kakzk=0M'、brz"這里，H(z)=稱為系統(tǒng)函數(shù)，是由系統(tǒng)的特性所決定的。此時(shí)對(duì)應(yīng)的序列為:kakzkz0y(n)=Z”X(z)H(z)這里得到的是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，它完全是由激勵(lì)產(chǎn)生的。綜合以上兩種情況可以看出，離散系統(tǒng)的總

41、響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的和。例8-15離散系統(tǒng)為y(n)by(nT)=x(n)，若激勵(lì)x(n)=anu(n)。(1)起始值y(1)=0，求響應(yīng)y(n)。(2)起始值y(1)=2，求響應(yīng)y(n)。解：(1)對(duì)差分方程兩邊取單邊z變換：Y(z)-bz、(z)-by(-1)=X(z)由于y(1)=0,所以Y(z)-bzY(z)=X(z)Y(z)=X(氣1-bz已知X(z)=z(|z|Na|),于是由于該系統(tǒng)處于零狀態(tài),(2)此時(shí)于是azY(z)=(z_a)(z_b)a-bz_ay(n)=1(an1bn1)u(n)a-b所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)。丫Xby-1-bz1-bz1bzIz-b

42、2bz+(za)(zb)zbazbz2bzI十a(chǎn)2z-az2z2y(n)1(an1-bn1)2bn1(n_0)a-b8.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(一)單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)上節(jié)已給出系統(tǒng)函數(shù)的形式為它表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)的M'bz°rd3Y(z)H(z)nX(z)、aakzkd3z變換的比值。將上式分子與分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解可寫為:M【(1-zz)H(z)=GN1H(1-Pkz)kd其中zr,Pk是H(z)的零極點(diǎn)，它們由差分方程的系數(shù)ak,br決定。利用系統(tǒng)函數(shù)可以求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)(除了使用卷積方法外)單位樣值響應(yīng)的卷積表示：O系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以用激勵(lì)與由時(shí)域卷積定理

43、其中y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)y(n)=ZX(z)H(z)O0H(z)=Zh(n)=Lh(n)z例8-16求下列差分方程描述系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位樣值響應(yīng)：y(n)ay(n1)=bx(n)解：將差分方程兩邊取z變換:4Y(z)-azY(z)-ay(-1)=bX(z)Y(z)(1-az)=bX(z)ay(-1)如果系統(tǒng)處于零狀態(tài)，即y(-1)=0，貝U：H5)Y(z)bbzn(Z)二二T二X(z)1azzah(n)=banu(n)(二)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性的影響(1)由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定單位樣值響應(yīng)與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用類似，在離散系統(tǒng)中，z變換函數(shù)X(z)的形式反映了時(shí)